第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件.ppt

1对弧长的曲线积分 2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分 第十章曲线积分与曲面积分 5对坐标的曲面积分 6高斯公式 通量与散度 7斯托克斯公式 环流量与弦度 第十章曲线积分与曲面积分 第十章曲线积分与曲面积分 1对弧长的曲线积分 一对弧长的曲线积分的概念与性质 讨论物质曲线的质量问题 例求一段弯曲的金属丝的质量 该金属丝在不同处具有不同的线密度 单位长度的质量 不妨设该金属丝是在xOy平面上的一段分段光滑的曲线L 假定L的起点为A 终点为B 设在点 x y 处的 线密度为m x y 它是L上的连续函数 就是曲线段L的质量的近似值 极限 就是曲线段L的质量 用l表示n个小弧段的最大长度 当l 0时和式的 定义1设L是xOy平面上一条可求长曲线 函数 f x y 在L上有定义 在L上任取n 1个分点 依次为A0 A1 An 1 An 其中A0 A An B 将曲线L分成n个小弧段 线弧L上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分 记作 其中f x y 被积函数 L 积分路径 ds 弧长微元 若L是闭曲线 即L的两个端点重合 那么f x y 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 性质1对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关 即 性质2 性质3若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1 L2 则 性质4若在L上f x y g x y 则 特别 有 二对弧长的曲线积分的计算法 定理设函数f x y 在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 证明假定当参数t由a变至b时 L上的点M x y 依点A至点B的方向描出曲线L 在L上取一列点 应用积分中值定理得 于是 上式右端是函数 上的定积分 而该函数在 a b 上是连续的 故这个 定积分存在 因此上式左端的曲线积分也存在 并 且有 若曲线L由方程 y y x a x b给出 又设y x 在 a b 上连续 那么 若弧G由参数方程 注把对弧长的曲线积分化为定积分来计算时 定积分的下限a一定要小于上限b 例1计算 点 2 2 的一段 解 注该例题中曲线L的方程也可写成 然后化为关于自变量y的定积分 例2计算 方程为x acost y asint z kt 0 t 2p k 0 解 2对坐标的曲线积分 第十章曲线积分与曲面积分 一对坐标的曲线积分的概念与性质 例讨论变力使质点沿曲线移动作功问题 设质点在变力 的作用下 沿xOy面内的一条光滑曲线段L 从点A移到点B 其中函数P x y Q x y 在L上连续 求变力F x y 所作的功 注 不能直接按常力作功的公式来计算 可通过 分割 近似 求和 取极限 的步骤来处理 定义1设L是xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧 函数P x y Q x y 在L上有定义 在L上沿L的方向任意插入一点列 把L分成n个有向小弧段 有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分 记作 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分 记作 于是 其中P x y Q x y 称为被积函数 L称为积分路径 注 以上两个积分统称为对坐标的曲线积分或第二型曲线积分 在求两个积分之和 为了书写简便 可简写成 或写成向量形式 注1 变力所作的功可表示成 注2 可推广到积分路径为空间有向曲线弧的情形 例 函数P x y z 在有向曲线弧 上对坐标的曲线积分定义为 在空间中 对坐标的曲线积分的向量形式为 性质1 注 对坐标的曲线积分 必须注意积分路径的方向 性质2 性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1 L2 则 二对坐标的曲线积分的计算方法 定理设函数 定义且连续 L的参数方程为 在有向曲线弧L上有 证明在L上取一列点 对应一列单调变化的参数值 有 上式右端就是定积分 因此 上式左端的曲线积分也存在 并且有 同理可得 注意定积分的下限a不一定小于上限b 关键是下限a对应于L的起点 上限b对应于L的终点 若曲线L由方程 这里下限a对应L的起点 上限b对应L的终点 设函数P x y z Q x y z R x y z 在有向曲线弧G连续 G的参数方程为 空间函数的情形 点a对应于G的起点 点b对应于G的终点 x t y t 和z t 在 a b 上具有一阶连续导数 且 x t 2 y t 2 z t 2 0 则 例1计算 从点A到点B的一段弧 解椭圆的参数方程为 当点沿椭圆从A变到B时 参数t由 变到 例2设力场 质点由A沿L到B所作的功 其中L分别是 1 点A和点B连接的直线段C2 2 螺旋线C1 解 1 直线C2的方程是 2 在螺旋线C1上 注 曲线积分的值不仅与起点和终点有关 而且还与所沿的路径有关 例3计算 1 抛物线x y 上从O 0 0 到B 1 1 的一段弧 2 有向直线段OB 3 有向折线OAB 这里A点坐标是 1 0 解 1 化为对y的定积分 L 2 在有向直线段OB上 3 有向折线OAB由有向直线段OA和有向直线段AB组成 三两类曲线积分之间的联系 设L是以A点为起点 B点为终点的有向曲线 M x y 为L上任意一点 取弧AM的长度s为参数 那么L的参数方程可写成 其中l是曲线L的长度 或 所以 两类曲线积分有如下联系 空间曲线G上两类曲线积分有如下联系 式中cosa cosb cosg为有向曲线G上过点M x y z 处的切线的方向余弦 P Q R a b g都是G上点 x y z 的函数 3格林公式及其应用 第十章曲线积分与曲面积分 一格林公式 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的区域都属于D 则称D为单连通区域 否则称为复连通区域 例如 平面上的圆形区域 上半平面 都是单连通区域 圆环 形区域 都是复连通区域 设平面区域D的边界是由一条或几条光滑曲线所围成 边界曲线L的正向规定为 当人沿边界行走时 区域D总在他的左边 定理1格林 Green 公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数 其中L是D的取正向的边界曲线 证明 i 假设穿过区域D内部且平行坐标轴的直线与D的边界曲线L的交点至多为两点 即区域D既是X 型又是Y 型的情形 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 因此 同理可得 ii 如果闭区域D 含复连通区域 不满足 i 的条件 那么 在D内引进一条或几条辅助曲线 把D分成有限个部分闭区域 使得每个部分闭区域都满足上述 i 的条件 在每个部分闭区域上应用公式 得 把上面三个等式相加 即得 式 这是因为沿 一般地 公式 对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立 辅助曲线来回各积分一次 其积分值相互抵消 利用曲线积分 可以求平面图形的面积 在格林公式中令 则 即有 其中A为平面区域D的面积 例1求椭圆 所围成图形的面积A 解 注 当在一条非闭的曲线上关于坐标的曲线积分I1不易计算时 可以适当添加若干条辅助曲线 使它成为一个适当的闭区域的边界曲线 以便利用格林公式把曲线积分转化为重积分J来计算 当算出整条边界曲线上的积分后 应减去在辅助曲线上的积分I2 例2计算 其中L为从点A 1 0 到点B 5 0 的上半圆周 解添加直线段 故 利用格林公式可得 例3计算 时针方向绕行而不经过坐标原点的简单封闭曲线 解令 记L所围成的闭区域为D 二平面上曲线积分与路径无关的条件 定义1设D是一个区域 函数 在D内具有一阶连续偏导数 如果对于D内的任意 取定的两点A B及从A点到B点在D内任意两条曲线L1和L2 都有 成立 则称曲线积分 在D内与路径无关 否则称为与路径有关 定理2若函数 连通区域D内连续 则下面四个命题相互等价 A 曲线积分 与路径L无关 B 在D内存在一个函数 C 对D内任意一点 D 对D内任意光滑或逐段光滑闭曲线C 有 例4求 终点为A 0 4 的上半圆周 起点为O 0 0 解 故该曲线积分与路径无关 取沿x轴上从点O 0 0 到 点A 0 4 的线段OA积分 在OA上 三原函数与全微分方程 定义2如果u x y 是D上的可微函数且其全微分du P x y dx Q x y dy 则称u u x y 是表达式P x y dx Q x y dy的一个原函数 若u x y 是表达式P x y dx Q x y dy的一个原函数 则对任意常数C u x y C也是原函数 反之 若u v 都是P x y dx Q x y dy的一个原函数 则d u v 0 从而u v是一个常数 所以u x y C是所有原函数的一般表达式 例5验证 在整个平面内 是某个函数的全微分 并求出它的一个原函数 解设 径为 0 0 x 0 和 x y 连成的折线 则 为所求的一个原函数 定义3具有如下形式的一阶微分方程 P x y dx Q x y dy 0 如果其中的P Q满足 则称该方程为全微分方程或恰当微分方程 若u x y 的全微分du x y P x y dx Q x y dy 则 ux x y P x y uy x y Q x y 且方程P x y dx Q x y dy 0可化成 du x y 0 如果y y x 是P x y dx Q x y dy 0的解 那么 du x y x 0 故u x y x C 这说明方程P x y dx Q x y dy 0的解是由方程u x y x C所确定的隐函数 反之 若方程u x y x C确定了一个隐函数y y x 则 u x y x C 两边求导得 ux uyy 0 或uxdx uydy 0 由 知P x y dx Q x y dy 0 所以y y x 是方程P x y dx Q x y dy 0的解 例6求解微分方程 3x2 6xy2 dx 6x2y 9y2 dy 0 解 先求原函数u x y 取 0 0 0 y 和 x y 连成的 折线作为路径 从 0 0 到 0 y 的直线段上x 0 故 于是 所求微分方程的通解为 第十章曲线积分与曲面积分 4对面积的曲面积分 一对面积的曲面积分的概念与性质 定义1设曲面 是光滑的 函数f x y z 在 上有 定义 把 任意分成n块小曲面 若当各小块曲面的直径的最大者 和的极限总存在 即极限的存在性及极限的值与小曲面的分划及每个小曲面上的代表点Mi的选取方法无关 则称此极限为函数 上对面积的曲面积分或第一型曲面积分 记作 二对面积的曲面积分的计算法 定理设 例1计算 解 的方程为 投影区域 例2求抛物面壳 解抛物面的方程为 投影区域 第十章曲线积分与曲面积分 5对坐标的曲面积分 一对坐标的曲面积分的概念与性质 通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧 例如在曲面z z x y 上 取法向量n的指向朝上 指n与 z轴正向的夹角为锐角 则表示取定曲面的上侧 如在闭曲面上 取法向量的指向向外 则表示取定曲面的外侧 凡取定了侧的曲面称为有向曲面 投影到xOy面上得一投影区域 投影区域面积记为 类似 可定义 S在yOz面及zOx面上的投影 设 是有向曲面 在 上取一小块曲面 S 把 S 定义设 有定义 把S任意分成n块小曲面 其面积也记为 在有向曲面S上对坐标x y的曲面积分 记作 即 类似 可定义函数 以上三个曲面积分统称为对坐标的曲面积分或第二型曲面积分 上连续时 对坐标的曲面积分是存在的 在许多实际应用问题中 要考虑三个积分之和 为书写简便起见 写成 二对坐标的曲面积分的计算法 定理1 证明根据对坐标的曲面积分的定义 有 由二重积分的定义得 在定理的条件下 若S取下侧 此时 当 取前侧时取正号 当 取后侧时取负号 当 取右侧时取正号 当 取左侧时 取负号 例1求曲面积分 解把有向曲面 分成两部分 化为二重积分 有 变换 得 从而 例2计算曲面积分 解把有向曲面 分成以下六部分 其余四片曲面在yOz面上的投影均为零 类似地可得 于是 所求曲面积分为 三两类曲面积分之间的联系 定理2设 为光滑有向曲面 函数 向量的方向余弦 第十章曲线积分与曲面积分 6高斯公式 通量与散度 一高斯公式 定理1 或 称为高斯 Gauss 公式 例1利用高斯公式计算曲面积分 解 P x Q y R z 1 易检验W是个简单区域 例2计算 解 应用高斯公式 得 二通量与散度 设有一个稳定流动的不可压缩流体 假定密度为1 的速度场 则单位时间内流体经过S指定侧的总质量F为 把高斯公式改写成 左端称为v在点M x y z 的散度 记作divv 即 于是 高斯公式也可改写成 一般地 设某向量场由 例3带电量为e的电荷放置在原点 构成电场强度为 解 同理 即除原点外 场中任意点的散度皆为0 既不是源也不是洞 第十章曲线积分与曲面积分 7斯托克斯公式 环流量与弦度 一斯托克斯公式 定理1 上述公式称为斯托克斯 Stokes 公式 利用行列式记号可把斯托克斯公式写成如下形式 利用两类曲面积分间的联系 可得斯托克斯公式的另一形式 例1计算曲线积分 解应用斯托克斯公式 有 例2利用斯托克斯公式计算曲线积分 解 根据斯托克斯公式 有 二空间曲线积分与路径无关的条件 定理2 在单连通区域W内连续 则下面四个命题相互等价 1 曲线积分 4 对W内任意光滑或逐段光滑闭曲线C 有 三环流量与旋度 定义1设有向量场 那么 沿场中有向闭曲线G的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线G的环流量 其中 dr dxi dyj dzk 如果P Q R具有一阶连续 的偏导数 则向量 环流量是流体力学中的相应概念的推广 设A x y z 是速