辽宁省沈阳市重点高中协作校高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=( )a15b30c31d642在abc中，已知a=8，b=60，c=75，则b等于( )a4bc4d3在等比数列an中，已知a1=，a5=9，则a3=( )a1b3c1d34已知an是等差数列，a1=1，公差d0，sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则s8=( )a35b50c62d645在abc中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，则abc是( )a等边三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形6已知数列an中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列an的通项公式为( )abcd7下列命题中正确的是( )a当x0且x1时，b当c当的最小值为d当0x2时，无最大值8如果关于x的不等式（a2）x+2（a2）x40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )a（，2b（，2）c（2，2d（2，2）9abc中，2asina=（2bc）sinb+（2cb）sinc，则cosa的值为( )abcd10在abc中，已知a：b=1：2，角c的平分线cd把三角形面积分为4：3两部分，则cosa=( )abcd11若关于x的方程：9x+（4+a）3x+4=0有解，则实数a的取值范围为( )a（，8）0，+）b（8，4）c8，4d（，812已知等差数列前n项和为sn且s130，s120，则此数列中绝对值最小的项为( )a第5项b第6项c第7项d第8项二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在横线上。13在等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列，且b7=a7，则b5+b9=_14已知变量x、y满足：，则z=（）x+y的最大值为_15设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是_16若数列an是递减数列，且an=2n2+n9恒成立，则实数的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在abc中，设内角a、b、c的对边分别为a、b、c，（1）求角c的大小；（2）若且sina=2sinb，求abc的面积18在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且（1）求角b的大小；（2）若b=，且abc的面积为，求a+c的值19（1）已知x，求函数y=4x2+的最大值（2）已知a1且a0，解关于x的二次不等式ax22x2ax+4020在abc中，角a，b，c的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosa，cosb），=（a，2cb），且（）求角a的大小；（）若a=4，求abc面积的最大值21已知数列an的前n项和为sn，满足sn=2（ann），nn+*（1）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），tn为数列的前n项和，求tn22在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足bn=（）an，b1b2b3=（i）求数列an的通项公式；（）求a1b1+a2b2+anbn22015-2016学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=( )a15b30c31d64【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，故选：a【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题2在abc中，已知a=8，b=60，c=75，则b等于( )a4bc4d【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】先求得a，进而利用正弦定理求得b的值【解答】解：a=180bc=45，由正弦定理知=，b=4，故选a【点评】本题主要考查了正弦定理的运用考查了学生对基础公式的熟练应用3在等比数列an中，已知a1=，a5=9，则a3=( )a1b3c1d3【考点】等比数列的通项公式 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的性质可知，可求【解答】解：a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1a3=1当a3=1时，=9不合题意a3=1故选a【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题4已知an是等差数列，a1=1，公差d0，sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则s8=( )a35b50c62d64【考点】等差数列的前n项和 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出【解答】解：a1，a2，a5成等比数列，=a1a5，（1+d）2=1（1+4d），解得d=2s8=8+=64故选：d【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在abc中，若b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，则abc是( )a等边三角形b等腰三角形c直角三角形d等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinbsinc不为0，在等式两边同时除以sinbsinc，移项后再根据两角和与差的余弦函数公式化简，可得出cos（b+c）=0，根据b和c都为三角形的内角，可得两角之和为直角，从而判断出三角形abc为直角三角形【解答】解：根据正弦定理=2r，得到a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入已知的等式得：（2rsinb）2sin2c+（2rsinc）2sin2b=8r2sinbsinccosbcosc，即sin2bsin2c+sin2csin2b=2sinbsinccosbcosc，又sinbsinc0，sinbsinc=cosbcosc，cosbcoscsinbsinc=cos（b+c）=0，又b和c都为三角形的内角，b+c=90，则abc为直角三角形故选c【点评】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理解决了边角的关系，是本题的突破点，学生在化简求值时特别注意角度的范围6已知数列an中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列an的通项公式为( )abcd【考点】数列的概念及简单表示法 【专题】等差数列与等比数列【分析】由2nan+1=（n+1）an，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：2nan+1=（n+1）an，数列是等比数列，首项，公比为，故选：b【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式求数列的通项公式，属于基础题7下列命题中正确的是( )a当x0且x1时，b当c当的最小值为d当0x2时，无最大值【考点】函数的值域 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据基本不等式a+b2的应用条件以及“=”成立的条件，判定选项中正确的命题是哪一个即可【解答】解：a中，当x=0时，lg+=2，命题不成立，a是错误的；b中，根据基本不等式知，+2，当且仅当x=1时取“=”，b正确；c中，当0时，0sin1，sin+取不到最小值2，c错误；d中，当0x2时，是增函数，有最大值2，d错误；故选：b【点评】本题考查了基本不等式a+b2的应用问题，解题时应注意“=”成立的条件是什么，是基础题8如果关于x的不等式（a2）x+2（a2）x40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )a（，2b（，2）c（2，2d（2，2）【考点】函数恒成立问题 【专题】综合题；转化思想；判别式法；函数的性质及应用【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解【解答】解：关于x的不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切实数x恒成立，当a=2时，对于一切实数x，不等式（a2）x2+2（a2）x40恒成立；当a2时，要使对于一切实数x，不等式（a2）x2+2（a2）x40恒成立，则，解得：2a2综上，实数a的取值范围是（2，2故选：c【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题9abc中，2asina=（2bc）sinb+（2cb）sinc，则cosa的值为( )abcd【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosa，将得出关系式代入即可求出cosa的值【解答】解：abc中，2asina=（2bc）sinb+（2cb）sinc，利用正弦定理化简得：2a2=b（2bc）+c（2cb），整理得：b2+c2a2=bc，则cosa=故选：a【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键10在abc中，已知a：b=1：2，角c的平分线cd把三角形面积分为4：3两部分，则cosa=( )abcd【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形【分析】由a与b的度数之比，得到b=2a，且b大于a，可得出ac大于bc，利用角平分线定理根据角平分线cd将三角形分成的面积之比为4：3，得到bc与ac之比，再利用正弦定理得出sina与sinb之比，将b=2a代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosa的值【解答】解：a：b=1：2，即b=2a，ba，acbc，角平分线cd把三角形面积分成4：3两部分，由角平分线定理得：bc：ac=bd：ad=3：4，由正弦定理=得：=，整理得：=，则cosa=故选：b【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题11若关于x的方程：9x+（4+a）3x+4=0有解，则实数a的取值范围为( )a（，8）0，+）b（8，4）c8，4d（，8【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【专题】计算题【分析】可分离出a+4，转化为函数f（x）=的值域问题，令3x=t，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可【解答】解：a+4=，令3x=t（t0），则=因为4，所以4，a+44，所以a的范围为（，8故选d【点评】本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法12已知等差数列前n项和为sn且s130，s120，则此数列中绝对值最小的项为( )a第5项b第6项c第7项d第8项【考点】等差数列的前n项和；数列的应用 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得a6+a70，a70，进而得出|a6|a7|=a6+a70，可得答案【解答】解：s13=13a70，s12=6（a6+a7）0a6+a70，a70，|a6|a7|=a6+a70，|a6|a7|数列an中绝对值最小的项是a7故选c【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a70，a70，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在横线上。13在等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列，且b7=a7，则b5+b9=8【考点】等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由a3a11=4a7，解出a7的值，由 b5+b9=2b7 =2a7 求得结果【解答】解：等比数列an中，由a3a11=4a7，可知a72=4a7，a7=4，数列bn是等差数列，b5+b9=2b7 =2a7 =8，故答案为：8【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7的值是解题的关键，是基础题14已知变量x、y满足：，则z=（）x+y的最大值为2【考点】简单线性规划 【专题】计算题；数形结合；不等式的解法及应用；不等式【分析】首先画出可行域，求出x+y的最大值，然后求z 的最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图当直线a=x+y过a时a最大，即z最大，由得a（1，2）所以；故答案为：2【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值15设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】计算题；压轴题【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案【解答】解：是3a与3b的等比中项3a3b=3a+b=3a+b=1ab=（当a=b时等号成立）+=4故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用使用基本不等式时要注意等号成立的条件16若数列an是递减数列，且an=2n2+n9恒成立，则实数的取值范围为9【考点】数列的函数特性 【专题】转化思想；等差数列与等比数列【分析】数列an是递减数列，可得anan+1，化简解出即可得出【解答】解：数列an是递减数列，anan+1，2n2+n92（n+1）2+（n+1）9，化为：4n+2，6，故答案为：6【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在abc中，设内角a、b、c的对边分别为a、b、c，（1）求角c的大小；（2）若且sina=2sinb，求abc的面积【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题【分析】（1）首先利用余弦的和差公式化简，再根据角的范围求出c的度数；（2）利用正弦定理sina=2sinb得出a=2b，再利用余弦定理求出a、b的值，然后根据【解答】解：（1），在abc中，0c，（2）sina=2sinba=2bc2=a2+b22abcoscb=2，a=4，【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用、正余弦定理的运用，（1）问中注意角c的范围属于基础题18在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且（1）求角b的大小；（2）若b=，且abc的面积为，求a+c的值【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosbsina=sin（b+c），由三角形内角和定理即sina0，可得cosb=，又b为三角形的内角，即可解得b的值（2）由面积公式可解得ac=6，由余弦定理，可得a2+c2ac=7，即（a+c）2=3ac+7，将代入即可解得a+c的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理可得，可得2cosbsina=sin（b+c），a+b+c=，2cosbsina=sina，cosb=，b为三角形的内角，b=6分（2）b=，b=，由面积公式可得：=，即ac=6，由余弦定理，可得：=7，即a2+c2ac=7，由变形可得：（a+c）2=3ac+7，将代入可得（a+c）2=25，故解得：a+c=512分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题19（1）已知x，求函数y=4x2+的最大值（2）已知a1且a0，解关于x的二次不等式ax22x2ax+40【考点】一元二次不等式的解法；函数的最值及其几何意义 【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由x，得54x0，由此利用均值定理能求出函数y=4x2+的最大值（2）由已知得（ax2）（x2）0由此根据a=1，0a1，a0进行分类讨论，能求出关于x的二次不等式ax22x2ax+40的解集【解答】解：（1）x，54x0，y=4x2+=（54x+）+32+3=1当且仅当54x=，即x=1时，ymax=1（2）a1且a0，ax22x2ax+40，（ax2）（x2）0当a=1时，解集为x|x2；当0a1时，解集为x|x或x2；当a0时，解集为x|【点评】本题考查函数的最大值的求法，考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值定理的合理运用20在abc中，角a，b，c的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosa，cosb），=（a，2cb），且（）求角a的大小；（）若a=4，求abc面积的最大值【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】解三角形【分析】（i）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinc不为0，求出cosa的值，由a为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数；（ii）由a与cosa的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sina的值即可得到三角形abc面积的最大值【解答】解：（i）向量=（cosa，cos b），=（a，2cb），且，acosb（2cb）cosa=0，利用正弦定理化简得：sinacosb（2sincsinb）cosa=0，sinacosb+cosasinb2sinccosa=0，即sin（a+b）=sinc=2sinccosa，sinc0，cosa=，又0a，则a=；（ii）由余弦定理a2=b2+c22bccosa，得：16=b2+c2bcbc，即bc16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，sabc=bcsina4，则abc面积的最大值为4【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21已知数列an的前n项和为sn，满足sn=2（ann），nn+*（1）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），tn为数列的