黑龙江省大庆外国语学校高中数学 第一章《立体几何》高考题汇编 新人教A版必修2.doc

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章立体几何2009年高考题汇编一、选择1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.zxxk.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 a和 b和 c和 d和 2.（2009广东卷理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 a. 和 b. 和 c. 和 d. 和.3.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )a b c d4.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则 5.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面边长为1，与底面abcd成60角，则到底面abcd的距离为( )ab1cd6.（2009北京卷理）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 （ ） a b1 c d7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 a. b. c. d. 俯视图 8. (2009山东卷理)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件9. (2009山东卷文)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 10.（2009全国卷文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（a） (b) (c) (d) 11.（2009全国卷文）设oa是球o的半径，m是oa的中点，过m且与oa成45角的平面截球o的表面得到圆c。若圆c的面积等于，则球o的表面积等于 12.（2009全国卷理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ d ）（a） （b） （c） (d) 13.（2009全国卷理）已知二面角-l-为 ，动点p、q分别在面、内，p到的距离为，q到的距离为，则p、q两点之间距离的最小值为（ c ）(a) (b)2 (c) (d)4 14.（2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为15.（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为 a是正三棱锥b直线平面c直线与所成的角是d二面角为16.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 a. b. c. 直线 d. 直线所成的角为4517.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90，, 球心o到平面的距离是，则两点的球面距离是 a. b. c. d.218.（2009全国卷理）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为a. b. c. d. 19.（2009辽宁卷理）正六棱锥pabcdef中，g为pb的中点，则三棱锥dgac与三棱锥pgac体积之比为（a）1：1 (b) 1：2 (c) 2：1 (d) 3：2 20.（2009宁夏海南卷理） 如图，正方体棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a）（b）（c）三棱锥的体积为定值（d）异面直线所成的角为定值21.（2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（a）48+12 （b）48+24 （c）36+12 （d）36+24解析：选a.22.（2009湖北卷文）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，acb=900,acc1=600,bcc1=450,侧棱cc1的长为1，则该三棱柱的高等于a. b. c. d.【答案】a23.（2009湖南卷文）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 c 】a3 b4 c5 d6 24.（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.2525.（2009全国卷文）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(a) (b) (c) (d) 26.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 a. b. c. 直线 d. 直线所成的角为4527.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90，, 球心o到平面的距离是，则两点的球面距离是 a. b. c. d.228.（2009陕西卷文）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (a) (b) (c) (d) 29.（2009宁夏海南卷文） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a） （b） （c）三棱锥的体积为定值 （d）30.（2009宁夏海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 （a） （b） （c） （d）31.(2009湖南卷理)正方体abcd的棱上到异面直线ab，c的距离相等的点的个数为（c）a2 b3 c. 4 d. 5 32.（2009四川卷理）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 c. 直线平面.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）33.（2009四川卷理）如图，在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是a. b. c. d.【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）34.（2009重庆卷理）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）a2b3c4d535.（2009重庆卷文）在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）a若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为b若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为c若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为d若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为二、填空题1.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 2.（2009浙江卷理）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 答案： 3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 4.（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .5.（2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 6.（2009全国卷理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。7.（2009安徽卷理）对于四面体abcd，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。 相对棱ab与cd所在的直线异面；由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd的三条高线的交点；若分别作abc和abd的边ab上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解析8.（2009安徽卷文）在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，2），b(1，-3，1)，点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是_。9.（2009安徽卷文）对于四面体abcd，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。11相对棱ab与cd所在的直线是异面直线；22由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd的三条高线的交点；33若分别作abc和abd的边ab上的高，则这两条高的垂足重合；44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。w.w.w.zxxk.c.o.m 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断正确,可举例说明错误.【答案】10.（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案：11.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 12.（2009全国卷理）设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 . 13.（2009辽宁卷理）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434【答案】414.（2009全国卷文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.15.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。16.（2009陕西卷文）如图球o的半径为2，圆是一小圆，a、b是圆上两点，若=，则a,b两点间的球面距离为 .答案: abo1o 17.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有a , b, c 三点，ab=6，bc=8，ca=10，则（1）球心到平面abc的距离为 12 ；（2）过，b两点的大圆面为平面abc所成二面角为（锐角）的正切值为 3 【答案】：（1）12；（2）318.（2009天津卷理）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。19.（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。20.（2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是20.（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面直线与ad所成角的大小是_（结果用反三角函数表示）.【答案】 21.（2009年上海卷理）已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_.【答案】二、填空题1.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥pefgh,下半部分是长方体abcdefgh.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线bd平面peg【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结eg,hf及 bd，eg与hf相交于o,连结po. 由正四棱锥的性质可知,平面efgh , 又 平面peg 又 平面peg；2.（2009广东卷理）（本小题满分14分）zyxe1g1如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.3.（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （i）设是的中点，证明：平面； （ii）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（i）如图，连结op，以o为坐标原点，分别以ob、oc、op所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系o，则，由题意得，因，因此平面boe的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（ii）设点m的坐标为，则，因为平面boe，所以有，因此有，即点m的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点m的坐标得点到，的距离为4.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，平面，分别为的中点（i）证明：平面；（ii）求与平面所成角的正弦值（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四边形dcqp是平行四边形，所以 所以平面abe， 所以直线ad在平面abe内的射影是ap， 所以直线ad与平面abe所成角是 在中， ，所以5.（2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上.（）求证：平面；（）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， o，e分别为db、pb的中点， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.【解法2】如图，以d为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）当且e为pb的中点时， 设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.6.（2009北京卷理）（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）pa底面abc，pabc.又，acbc.bc平面pac.（）d为pb的中点，de/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角，pa底面abc，paab，又pa=ab，abp为等腰直角三角形，在rtabc中，.在rtade中，与平面所成的角的大小.（）ae/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe，aep为二面角的平面角，pa底面abc，paac，.在棱pc上存在一点e，使得aepc，这时，故存在点e使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以a为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），bcap.又，bcac，bc平面pac.（）d为pb的中点，de/bc，e为pc的中点，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.7.(2009山东卷理)（本小题满分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分别是棱ad、aa、ab的中点。（1） 证明：直线ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中点f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1/a1d，又因为e、e分别是棱ad、aa的中点，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因为平面fcc，平面fcc，所以直线ee/平面fcc.（2）因为ab=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形,取cf的中点o,则obcf,又因为直四棱柱abcd-abcd中,cc1平面abcd,所以cc1bo,所以ob平面cc1f,过o在平面cc1f内作opc1f,垂足为p,连接bp,则opb为二面角b-fc-c的一个平面角, 在bcf为正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f,在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值为.e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 解法二:（1）因为ab=4, bc=cd=2, f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形, 因为abcd为等腰梯形,所以bac=abc=60,取af的中点m,连接dm,则dmab,所以dmcd,以dm为x轴,dc为y轴,dd1为z轴建立空间直角坐标系,则d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,设平面cc1f的法向量为则所以取,则,所以,所以直线ee/平面fcc.（2）,设平面bfc1的法向量为,则所以,取,则,所以,由图可知二面角b-fc-c为锐角,所以二面角b-fc-c的余弦值为.【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.8.（2009全国卷文）（本小题满分12分）如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分别为aa1、b1c的中点，de平面bcc1（）证明：ab=ac（）设二面角a-bd-c为60,求b1c与平面bcd所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取bc中点f，通过证明af平面bcc1,再证af为bc的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形afed是正方形可证平面def平面bdc，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取bc中点f，连接ef，则ef，从而efda。acba1b1c1de连接af，则adef为平行四边形，从而af/de。又de平面，故af平面，从而afbc，即af为bc的垂直平分线，所以ab=ac。（）作agbd，垂足为g，连接cg。由三垂线定理知cgbd，故agc为二面角a-bd-c的平面角。由题设知，agc=600. 设ac=2，则ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四边形adef为正方形。因为bcaf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。连接ae、df，设aedf=h，则ehdf，eh平面bcd。连接ch，则ech为与平面bcd所成的角。因adef为正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即与平面bcd所成的角为300.解法二：（）以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系axyz。设b（1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），则（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）设平面bcd的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得于是 ， ， 所以与平面所成的角为309.（2009江苏卷）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）ef平面abc；（2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。10.（2009全国卷理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点m在侧棱上，=60（i）证明：m在侧棱的中点（ii）求二面角的大小。（i）解法一：作交于n，作交于e，连me、nb，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 m为侧棱的中点m. 解法二:过作的平行线.解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. （ii）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为am的中点，取sa的中点g，连gf，易证，则即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线am垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。11.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）如图，四棱锥fabcd的底面abcd是菱形，其对角线ac=2，bd=，ae、cf都与平面abcd垂直，ae=1，cf=2.（i）求二面角bafd的大小；（ii）求四棱锥eabcd与四棱锥fabcd公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（i）（综合法）连接ac、bd交于菱形的中心o，过o作ogaf，g为垂足。连接bg、dg。由bdac，bdcf得bd平面acf，故bdaf。 于是af平面bgd，所以bgaf，dgaf，bgd为二面角bafd 的平面角。由， ，得，由，得（向量法）以a为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面abf的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面adf的法向量。由知，平面abf与平面adf垂直，二面角b-af-d的大小等于。（ii）连eb、ec、ed，设直线af与直线ce相交于点h，则四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd的公共部分为四棱锥h-abcd。过h作hp平面abcd，p为垂足。因为ea平面abcd，fc平面abcd，所以平面acfe平面abcd，从而由得。又因为故四棱锥h-abcd的体积13.（2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，abcd的边长为2的正方形，直线l与平面abcd平行，g和f式l上的两个不同点，且ea=ed，fb=fc， 和是平面abcd内的两点，和都与平面abcd垂直，（）证明：直线垂直且平分线段ad：w.w.w.zxxk.c.o.m （）若ead=eab=60，ef=2，求多面体abcdef的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。【解析】(1)由于ea=ed且点e在线段ad的垂直平分线上,同理点f在线段bc的垂直平分线上.又abcd是四方形线段bc的垂直平分线也就是线段ad的垂直平分线即点ef都居线段ad的垂直平分线上.所以,直线ef垂直平分线段ad.(2)连接eb、ec由题意知多面体abcd可分割成正四棱锥eabcd和正四面体ebcf两部分.设ad中点为m,在rtmee中,由于me=1, .abcd又bcf=vcbef=vcbea=veabc多面体abcdef的体积为veabcdvebcf=14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为o是bd的中点，则o点到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的一半，由（1）知，平面于m，则|dm|就是d点到平面abm距离.因为在rtpad中，所以为中点，则o点到平面abm的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为.（3）设所求距离为，由，得：15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.解：方法一：（1）依题设知，ac是所作球面的直径，则ammc。又因为p a平面abcd，则pacd，又cdad，所以cd平面，则cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设d到平面acm的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得pc=6。因为annc，由，得pn。所以。故n点到平面acm的距离等于p点到平面acm距离的。又因为m是pd的中点，则p、d到平面acm的距离相等，由（2）可知所求距离为。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。16.(2009湖北卷理)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，点e是sd上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角caed的大小为，直线be与平面abcd所成的角为，若，求的值18.（）证法1：如图1，连接be、bd，由地面abcd是正方形可得acbd。 sd平面abcd，bd是be在平面abcd上的射影，acbe（）解法1：如图1，由sd平面abcd知，dbe= , sd平面abcd，cd平面abcd, sdcd。 又底面abcd是正方形， cdad，而sd ad=d，cd平面sad.连接ae、ce，过点d在平面sad内作deae于f，连接cf，则cfae，故cdf是二面角c-ae-d的平面角，即cdf=。在rtbde中，bd=2a，de=在rtade中, 从而在中，.由，得.由，解得，即为所求.（i） 证法2：以d为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 d（0，0，0），a（，0，0），b（，0），c（0，0），e（0，0）， ， 即。（ii） 解法2：由（i）得.设平面ace的法向量为n=(x，y，z)，则由得。 易知平面abcd与平面ade的一个法向量分别为. . 0， . 由于，解得，即为所求。19.（2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的大小。【解析】解法一：因为平面abef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因为aef=45,所以feb=90，即efbe.因为bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中点n,连结cn,mn,则mnpc pmnc为平行四边形,所以pmcn. cn在平面bce内,pm不在平面bce内, pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延长线于g,则fgea.从而fg平面abcd,作ghbd于h,连结fh,则由三垂线定理知bdfh. fhg为二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.设ab=1,则ae=1,af=,则在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=,在rtfgh中, , 二面角的大小为 12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (i) 设，则，从而，于是， , 平面，平面， （ii），从而 于是 ，又平面，直线不在平面内， 故平面（iii）设平面的一个法向量为，并设（ 即 取，则，从而（1，1，3） 取平面d的一个法向量为 故二面角的大小为20.（2009全国卷理）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（i）证明：（ii）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（i）分析一：连结be，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（ii）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。21.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行abcd 和dcef不在同一平面内，m，n分别为ab，df的中点 。（i）若平面abcd 平面dcef，求直线mn与平面dcef所成角的正值弦；（ii）用反证法证明：直线me 与 bn 是两条异面直线。（18）（i）解法一：取cd的中点g，连接mg，ng。设正方形abcd，dcef的边长为2， 则mgcd，mg=2，ng=.因为平面abcd平面dced，所以mg平面dcef，可得mng是mn与平面dcef所成的角。因为mn=，所以sinmng=为mn与平面dcef所成角的正弦值 6分解法二： 设正方形abcd，dcef的边长为2，以d为坐标原点，分别以射线dc，df，da为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则m（1,0,2）,n(0,1,0),可得=(1,1,2). 又=（0，0，2）为平面dcef的法向量，可得cos(,)= 所以mn与平面dcef所成角的正弦值为cos 6分()假设直线me与bn共面， 8分则ab平面mben，且平面mben与平面dcef交于en由已知，两正方形不共面，故ab平面dcef。又ab/cd，所以ab/平面dcef。面en为平面mben与平面dcef的交线，所以ab/en。又ab/cd/ef，所以en/ef，这与enef=e矛盾，故假设不成立。所以me与bn不共面，它们是异面直线. 12分22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥s-abcd 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，p为侧棱sd上的点。 （）求证：acsd；（）若sd平面pac，求二面角p-ac-d的大小（）在（）的条件下，侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac。若存在，求se：ec