高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.1 向量的概念优化训练 新人教B版必修4.doc

2.1.1 向量的概念5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功.其中不是向量的有( )a.1个 b.2个 c.3个 d.4个解析：一个量是不是向量就是看它是否具备向量的两要素：大小和方向.既有大小又有方向，所以是向量；而只有大小没有方向，所以不是向量.答案：d2.下列命题中真命题的个数为( )两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 若非零向量与共线，则a、b、c、d四点共线 若非零向量a与b共线，则a=b 四边形abdc是平行四边形，则必有= ab，则a、b方向相同或相反a.0 b.1 c.2 d.3解析：显然为假命题；中与共线，只能说明ab、cd所在直线平行或在一条直线上，所以错；a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以错；对；a可能为零向量，则ab，但零向量的方向为任意的，所以错.答案：b3.如图2-1-1的四边形abcd中，=，则相等的向量是( )图2-1-1a.与 b.与c.与 d.与解析：判断出四边形abcd为平行四边形即得出=.答案：d4.在o中，以o点为起点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )a.方向 b.大小 c.大小和方向 d.以上均不对解析：由于o半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的.答案：b10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各命题中，正确命题的个数为( )若|a|=|b|，则a=b或a=-b 若=，则a、b、c、d是一个平行四边形的四个顶点 若a=b，b=c，则a=c 若ab，bc，则aca.4 b.3 c.2 d.1解析：|a|=|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量相等或反向，故此命题不正确；由=可得|=|且，由于可能是a、b、c、d在同一条直线上，故此命题不正确；正确；b=0时，ac不一定成立，命题不正确.答案：d2.以下说法中正确的是( )a.长度相等的两个向量一定是相等向量b.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时，这两个向量为共线向量c.零向量没有方向d.单位向量的长度一定是1解析：相等向量不仅长度相等，而且方向相同，a错；共线向量所在直线可以相互平行，也可以是同一条直线，b错；零向量方向为任意方向，c错.答案：d3.如图2-1-2所示，d、e分别是abc的边ab、ac的中点，则图中，向量中共线的向量有( )图2-1-2a.1组 b.2组 c.3组 d.4组解析：与、与、与分别共线.答案：c4.在四边形abcd中,若,且|,则四边形为_.解析：由梯形的定义及向量的概念判断.答案：梯形5.在四边形abcd中，若=且|=|，则四边形为_.解析：=，四边形abcd为平行四边形，又|=|.四边形abcd为菱形.答案：菱形6.如图2-1-3，d、e、f分别为正abc的各边中点，则在以a、b、c、d、e、f六个点中任意两点为起点与终点的向量中：图2-1-3(1)找出与向量相等的向量；(2)是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？(3)与向量共线的向量有几个？(4)若abc为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗？解析：由向量相等与向量共线的定义可知：(1)与相等的向量有、；(2)存在，例如、；(3)有7个，分别为、；(4)不会.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在下列命题中，正确的是( )a.若|a|b|，则ab b.若|a|=|b|，则a=bc.若a=b，则a与b共线 d.若ab，则a一定不与b共线解析：a错.因为向量有大小和方向两个要素，无法比较大小；b错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同；c对.相等向量方向一定相同，因此共线；d错.因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能.答案：c2.设o为abc外心，则、是( )a.相等向量 b.平行向量c.模相等向量 d.起点相同的向量解析：o为abc外心，oa=ob=oc，即|=|=|.答案：c3.在矩形abcd中，ab=2ad，m、n分别为ab和cd的中点，则在以a、b、c、d、m、n六点中任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，相等向量有( )a.9对 b.11对 c.18对 d.22对解析：其中=；=；=；=.以上分别取相反向量(如变为)又有4组.经计算，共有22对.答案：d4.如图2-1-4，点o是正六边形abcdef的中心，则在以a、b、c、d、e、f、o七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与模相等的向量个数为n，则m、n的值分别是( )图2-1-4a.3，23 b.3，11 c.3，24 d.以上都不对解析：(1)与方向相同的向量仅有、四个，而|，|=|=|，故m=3.(2)与的模相等的向量有两类：一是以o为起点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点，以o为终点的向量，有26-1=11个;还有六边形的六条边26=12个.答案：a5.下列命题中正确的是( )a.|a|=|b|a=b b.|a|b|abc.a=bab d.aba=b解析：由向量相等的概念知a错,c对；向量不能比较大小，b错；向量平行不能推出相等，d错.答案：c6.一架飞机向西飞行100 km，然后改变方向向南飞行100 km，则飞机两次位移的和是_.解析：如图，令起点为a，向西飞行100 km到达b，由b向南飞行100 km到达c，则飞机两次飞行后的位移向量为，且|= km.答案： km7.如图2-1-5，四边形abcd和abde都是平行四边形.图2-1-5(1)与向量ed相等的向量为_;(2)若|=3，则向量的模等于_.答案：(1), (2)68.如图2-1-6,b、c、d是线段ae的四等分点，分别以a、b、c、d、e为起点和终点，最多可以写多少个互不相等的非零向量？图2-1-6解：设|=1，则与方向相同，模为1的向量算一个向量，与方向相同，模为2的向量算一个向量,与方向相同，模为3的向量算一个向量，与方向相同，模为4的向量算一个向量，与方向相同，互不相等的向量共有4个.同理与方向相反，互不相等的向量共有4个.共8个.9.已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地什么地方？丁地距甲地多远？解：如图，a、b、c、d分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知abc为正三角形，ac=2 000 km.又acd=45，cd=1 0002，acd为等腰直角三角形，即ad=km，cad=45.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地km.快乐时光 教授在考试当天突然宣布延期考试