高中数学 第一章 解三角形 1.3 实习作业要点归纳素材 新人教A版必修5.doc

1.3 实习作业要点归纳北apb解斜三角形的应用主要是利用正弦定理、余弦定理来解决一些实际问题，它是把需要求的问题归结到一个或几个三角形中，也就是建立合理的数学模型，将实际问题正确转化为数学问题，然后运用所学知识解决问题，在实际应用中要准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角等解斜三角形的知识在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类问题一要对实际问题有所了解并吃透题意；二要正确理解和区分有关的专业名词与术语；三要注意数形结合思想在解题中的灵活运用一、 实际应用问题中有关的名称、属术语1仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角如下图视线铅垂线仰角水平线俯角 视线2视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角3坡度：斜坡其止点的高度差与其水平距离的比值4坡角：坡面与水平面的夹角5坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比：常用表示：如图= tan6方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的夹角，如图方向线pa、pb的方位角分别为、北oab7方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式如图目标线oa、ob的方向角分别为北偏东，和南偏西二、要点归纳1已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，一般有两条思路：化角为边，进行代数恒等变形求出三条边之间的关系(是否有两边相等？或用余弦定理确定最大角是锐角还是钝角？)，再作判断；化边为角，进行三角恒等变形，求出三个角之间的关系(是否有两个角相等？三个角相等？有无直角或钝角？)，再作出判断不过这两种思路中都需要利用正弦定理或余弦定理进行转化2运用正、余弦定理解斜三角形分为四种类型：已知三边：这种类型应先由余弦定理求出两个角来，再由abc =，求出第三角已知两边及一边的对角：这种类型先应用正弦定理求出另一边的对角(有时有两解，有时有一解，有时无解)，再利用正弦或余弦定理求其它已知两边及夹角：这种类型应先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦或余弦定理求另两角已知两角及一边：这种类型应先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边3解斜三角形主要应用正弦定理和余弦定理，但有时也会用到周长公式和面积公式，比如：p = abc (p为三角形的周长)；s =ah ( h表示a边上的高)；s =absinc =acsinb =bcsina；s = (可用正弦定理推得)；s =r(abc) (r为内切圆半径)4解斜三角形应用问题的步骤：准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语；根据题意画出图形；将要求解的问题归结为到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，最终把问题解决5三角形中的三角函数式的变换，要意识到无非就是增加了一个隐含条件abc =，从而可有ab =c及=等变形条件应用，所以恒等变换与以前的变换就一致了三、特别提示：1在处理三角形中的三角函数求值时，要注意角的范围与三角函数值的符号之间的联系与影响在确定角的范围或函数值的符号时，可以从以下两方面入手：内角和为，即可以通过角的范围来确定三角函数值的符号；abc中，必有sin(ab)0，从中检验问题的角是否合理；反之，若所给条件中某一内角的三角函数值已确定，实际上就告诉了我们这个角的范围；如cosa0，则a，又若sin2a0，则0a，从中可以帮助我们判别所要求的其它的三角函数值的个数及符号情况2解三角形的应用题大体可分为测量问题、航行问题、几何及工业问题等类型解答时要注意如下几点：由题意正确画出图形，把实际问题抽象转化为纯数学中的解三角形问题；在解三角形问题以后，必须注意检验其合理性；在处理三角形中的三角函数求值、证明问题时，要注意角的范围与三角函数值的符号之间的联系与影响四、典型例题解析例1 某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度东北南西abc解：如图所示，a、b两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到c点时，测得bco =， aco =，bca =bcoaco =由题意，知bac =，abc =在abc中，由正弦定理，得：=，即有ac = =6在直角三角形aoc中，有：oc = accos= (6)= 9设步行速度为x米/分，则x = 34.7即此人步行的速度为4.7米/分评析：此例是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决，因此，用正弦定理解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等例2 在相距3400m的a、b两监测所中，听到同一爆炸的时间差为6s，且b处的声强是a处声强的4倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点到两监测所中点q的距离aqbp解：如图，记爆炸点为p，根据声强与距离的平方成反比，可得|ap| = 2|bp|，又根据时间差及声音的传播速度，可得|ap|bp| = 6340(m)联立、解得：|ap| = 4080(m)，|bp| = 2040(m)在abp中，由余弦