甘肃省嘉峪关一中高三数学二模试题（含解析）.doc

甘肃省嘉峪关一中2013年高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知向量，若，则x=（）a1b2cd1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题：平面向量及应用分析：由数量积的坐标运算可得12（1）x=0，解之即可解答：解：由题意可得：，解得x=1，故选a点评：本题考查向量数量积的坐标运算，属基础题2（5分）（2012浙江）设集合a=x|1x4，集合b=x|x22x30，则a（rb）=（）a（1，4）b（3，4）c（1，3）d（1，2）（3，4）考点：交、并、补集的混合运算.专题：计算题分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合b，再求出b的补集，再由交的运算规则解出a（rb）即可得出正确选项解答：解：由题意b=x|x22x30=x|1x3，故rb=x|x1或x3，又集合a=x|1x4，a（rb）=（3，4）故选b点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键3（5分）的共轭复数是（）a2+ib2+ic2id2i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题分析：把给出的复数分母平方运算后，采用复数的除法运算把该复数化简为a+bi的形式，然后可得其共轭复数解答：解：所以复数的共轭复数是2+i故选a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题4（5分）（2013锦州二模）下列命题错误的是（）a对于命题p：xr，使得x2+x+10，则p为：xr，均有x2+x+10b命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”c若pq为假命题，则p，q均为假命题d“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件考点：复合命题的真假.专题：阅读型分析：根据命题：xr，使得x2+x+10是特称命题，其否定为全称命题，即：xr，均有x2+x+10，从而得到答案故a对；根据逆否命题的写法进行判断b即可；pq为假命题p、q不均为真命题故c错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行d的判定解答：解：命题：xr，使得x2+x+10是特称命题否定命题为：xr，均有x2+x+10，从而得到答案故a对b命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”故正确；c：若pq为假命题，则p、q不均为真命题故错误；d“x2”“x23x+20”，反之不成立，“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故选c点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答5（5分）（2012广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）a105b16c15d1考点：循环结构.专题：计算题；压轴题分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=135（2i1），由此能够求出结果解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=135（2i1）输入n的值为6时，输出s的值s=135=15故选s点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答6（5分）（2009山东）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系.分析：判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，m，则，反过来则不一定所以“”是“m”的必要不充分条件故选b点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题7（5分）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=60，b+c=4，sabc=则a=（）ab2c1d考点：解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算.专题：计算题分析：根据三角形的面积公式，可以求出bc=4，利用b+c=4，可得b2+c2，利用余弦定理，我们可以求得结论解答：解：a=60，sabc=，sabc=bc=4b+c=4，b2+c2=（b+c）22bc=8a2=b2+c22bccosaa2=824cos60=4a=2故选b点评：解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边8（5分）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则（）a2b3c4d0考点：抛物线的标准方程；二次函数在闭区间上的最值.专题：计算题分析：利用点（x，y）在抛物线y2=4x上，将函数转化为z=（x+1）2+2，利用其在0，+）上为单调增函数，即可求得函数的最小值解答：解：点（x，y）在抛物线y2=4x上，=x2+2x+3=（x+1）2+2y2=4x0函数z=（x+1）2+2在0，+）上为单调增函数x=0时，函数z=（x+1）2+2取得最小值是3故选b点评：本题重点考查函数的最值，解题的关键是利用抛物线，将函数转化为二次函数，利用单调性求函数的最值9（5分）有以下程序：根据如图程序，若函数g（x）=f（x）m在r上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（）am1b0m1cm0或m=1dm0考点：函数的零点；程序框图.专题：常规题型分析：首先分析程序框图转化为数学问题，然后利用数形结合解决函数的零点问题，转化为图象交点判断选项即可解答：解：根据程序框图，得到：g（x）=f（x）m在r上有且只有两个零点，由图可得m0或m=1，故选c点评：本题考查程序框图以及函数的零点，通过对程序框图的理解，转化为函数图象，然后把函数零点转化为交点个数问题，属于基础题10（5分）（2012山东）函数y=的图象大致为（）abcd考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性.专题：计算题分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除a，利用极限思想（如x0+，y+）可排除b，c，从而得到答案d解答：解：令y=f（x）=，f（x）=f（x），函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除a；又当x0+，y+，故可排除b；当x+，y0，故可排除c；而d均满足以上分析故选d点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题11（5分）（2009山东）在区间，上随机取一个数x，cos x的值介于0到之之间的概率为（）abcd考点：几何概型.专题：计算题；压轴题分析：求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率解答：解：所有的基本事件构成的区间长度为解得或“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cos x的值介于0到之间的概率为p=故选a点评：本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式易错题12（5分）已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1（1，1），x2（1，4），则2a+b的取值范围是（）a（6，4）b（6，1）c（10，6）d（10，1）考点：函数在某点取得极值的条件.专题：压轴题；导数的概念及应用分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值解答：解：函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，x1，x2是导函数f（x）=x2+ax+b的两根由于导函数f（x）=x2+ax+b的图象开口朝上且x1（1，1），x2（1，4），则满足条件的约束条件的可行域如下图所示：令z=2a+b，则za=1，zb=6，zc=10，故2a+b的取值范围是（10，1）故选d点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知，x是第二象限的角，则tanx=考点：同角三角函数间的基本关系.专题：三角函数的求值分析：由x为第二象限角，得到cosx的值小于0，由sinx的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos想的值，即可求出tanx的值解答：解：sinx=，x是第二象限的角，cosx=，则tanx=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）（2010四川）直线x2y+5=0与圆x2+y2=8相交于a、b两点，则|ab|=2考点：直线与圆的位置关系.分析：可以直接求出a、b然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解解答：解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x2y+5=0的距离为d=，故，得|ab|=2故答案为：2点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题15（5分）（2008长宁区二模）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则+的最小值为8考点：基本不等式.专题：计算题；压轴题分析：由题意可得定点a（2，1），2m+n=1，把要求的式子化为 4+，利用基本不等式求得结果解答：解：由题意可得定点a（2，1），又点a在直线mx+ny+1=0上，2m+n=1，则+=+=4+4+2=8，当且仅当 时，等号成立，故答案为：8点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+，是解题的关键16（5分）（2012辽宁模拟）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 （单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为29cm2考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；压轴题分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即=2r，r=该三棱锥的外接球的表面积为：该三棱锥的外接球的表面积为：4（）2=29故答案为：29点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题三、解答题（每小题0分，共60分）17等差数列an的前n项和为sn，已知a2=2，s5=0，求（1）该数列an的通项公式an（2）当n为何值时，sn取得最大值考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列分析：（1）等差数列an的前n项和为sn，根据等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，求出首项和公比，从而求解；（2）根据（1）求出sn，利用配方法可出sn的最大值；解答：解：（1）等差数列an的前n项和为sn，a2=2，s5=0，解得a1=4，d=2an=4+（n1）（2）=62n（2）=n2+5n=nn*，当n=2或n=3时，sn取得最大值6点评：此题主要考查等差数列前n项和公式以及通项公式的应用，第二问利用配方法进行求解会比较简单，此题是一道基础题；18（12分）（2010东城区二模）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，dab=90，adbc，ad侧面pab，pab是等边三角形，da=ab=2，bc=ad，e是线段ab的中点（）求证：pecd；（）求四棱锥pabcd的体积；（）求pc与平面pde所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.专题：证明题分析：（）先证明adpe，再证明peabadab=a，推出pe平面abcd然后证明pecd（）说明pe是四棱锥pabcd的高求出pe=然后求出（）以e为原点，建立如图所示的空间直角坐标系exyz推出，设=（x，y，z）为平面pde的法向量利用由即，可得=（1，2，0）设pc与平面pde所成的角为利用推出pc与平面pde所成角的正弦值为解答：（）证明：因为ad侧面pab，pe平面pab，所以adpe（2分）又因为pab是等边三角形，e是线段ab的中点，所以peab因为adab=a，所以pe平面abcd（4分）而cd平面abcd，所以pecd（5分）（）解：由（）知：pe平面abcd，所以pe是四棱锥pabcd的高由da=ab=2，bc=ad，可得bc=1因为pab是等边三角形，可求得pe=所以（9分）（）解：以e为原点，建立如图所示的空间直角坐标系exyz则e（0，0，0），c（1，1，0），d（2，1，0），p（0，0，），设=（x，y，z）为平面pde的法向量由即，令x=1，可得m=（1，2，0）（12分）设pc与平面pde所成的角为所以pc与平面pde所成角的正弦值为（14分）点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型19（12分）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：x24568y3040605070（i）画出散点图；（ii）试求出线性回归方程（iii）试根据（ii）求出的线性回归方程，预测销售额为115万元时约需多少广告费？参考公式：回归方程为=bx+a，其中b=，a=b，参考数值：230+440+560+650+870=1380，22+42+52+62+82=145考点：线性回归方程；回归分析的初步应用.专题：计算题；作图题分析：（i）根据表格中所给的数据，写出对应的点的坐标，在在直角坐标系中描出这几个点，得到散点图（ii）首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程（iii）根据上一问做出的线性回归方程，当y的值是一个确定的值时，把值代入做出对应的x的值解答：解：（i）画出散点图如下图，（ii）解：=5=50b=6.5a=506.55=17.5回归方程为y=6.5x+17.5（iii）由（ii）知回归方程为y=6.5x+17.5115=6.5x+17.5x=15答：销售额为115万元时约需15万元广告费点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，在解题过程中注意条件中所给的公式和所给的两组数据应用，本题是一个符合新课标高考要求的题目20（12分）（2012陕西）已知椭圆，椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率（1）求椭圆c2的方程；（2）设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆c1和c2上，求直线ab的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.专题：综合题；压轴题分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率，即可确定椭圆c2的方程；（2）设a，b的坐标分别为（xa，ya），（xb，yb），根据，可设ab的方程为y=kx，分别与椭圆c1和c2联立，求出a，b的横坐标，利用，即可求得直线ab的方程解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率椭圆c2的焦点在y轴上，2b=4，为b=2，a=4椭圆c2的方程为；（2）设a，b的坐标分别为（xa，ya），（xb，yb），o，a，b三点共线，且点a，b不在y轴上设ab的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，=4，解得k=1，ab的方程为y=x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解21（12分）（2012天门模拟）已知函数f（x）=x2+axlnx，ar（i）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（ii）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（iii）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题；压轴题分析：（i）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（ii）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围（iii）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x（0，e时g（x）有最小值3解答：解：（i）a=0时，曲线y=f（x）=x2lnx，f（x）=2x，g（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程xy=0（ii） 在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有 得 ，得 （ii）假设存在实数a，使g（x）=axlnx（x（0，e）有最小值3，=当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，a=e2，满足条件当 时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值3点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减22（12分）（理科）已知函数的图象在点（2，f（2）处的切线方程为16x+y+20=0（1）求实数a、b的值（2）曲线y=f（x）上存在两点m、n，使得mon是以坐标原点o为直角顶点的直角三角形，且斜边mn的中点在y轴上，求实数c的取值范围（3）当c=e时，讨论关于x的方程f（x）=kx（kr）的实根个数考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（1）求导函数，利用函数图象在点（2，f（2）处的切线方程为16x+y+20=0，建立方程组，即可求得实数a、b的值；（2）设出m，n的坐标，分类讨论，利用mn的中点在y轴上，且，即可求实数c的取值范围；（3）就x0时进行研究，方程等价于，利用函数的图象，分类讨论，即可得到结论解答：解：（1）当x1时，f（x）=3x2+2ax+b函数图象在点（2，f（2）处的切线方程为16x+y+20=0切点坐标为（2，12），则有解得a=1，b=0（3分）（2）由（1）得，根据条件m，n的横坐标互为相反数，不妨设m（t，t3+t2），n（t，f（t），（t0）若t1，则f（t）=t3+t2，由mon是直角得，即t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，t4t2+1=0（无解）若t1，则f（t）=clnt由于mn的中点在y轴上，且，点n不能在x轴上，即t1由，t2+（t3+t2）clnt=0，分离参数得到函数（t1）的值域是（0，+）c的取值范围是（0，+）（7分）（3）方程f（x）=kx，即，可知0一定是方程的根，所以仅就x0时进行研究，方程等价于令（8分）下面研究函数k（x）的性态，进而画出其大致图象对于x1且x0部分，函数k（x）=x2+x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当时取得最大值，其值域是；对于x1部分，函数，令，得x=e，所以函数k（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以k（x）在x=e时取得最大值1，其值域是0，1，k（1）=0，并且当x无限增大时，其图象在x轴上方向右无限接近x轴但永远也达不到x轴（10分）因此可画出函数k（x）的图象的示意图如下：可得：当k1时，方程f（x）=kx只有唯一实根0；当k=1或者k0时，方程f（x）=kx有两个实根；当时，方程f（x）=kx有三个实根；当时，方程f（x）=kx有四个实根；当时，方程f（x）=kx有五个实根；（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查向量知识的运用，属于中档题四、选做题（本题满分30分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.23（10分）（2012焦作模拟）在abc中，ab=ac，过点a的直线与其外接圆交于点p，交bc延长线于点d（1）求证：；（2）若ac=3，求apad的值考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定.专题：计算题；证明题分析：（1）先由角相等cpd=abc，d=d，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于acd=apc，cap=cap，从而得出两个三角形相似：“apcacd”结合相似三角形的对应边成比例即得apad的值解答：解：（1）cpd=abc，d=d，dpcdba，又，（5分）（2）acd=apc