黑龙江省龙东南四校高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

黑龙江省龙东南四校2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每题5分，共60）1 （2014秦州区校级模拟）i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论解答：解：=38i，对应的坐标为（3，8），位于第三象限，故选：c点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键2 （2005重庆）已知、均为锐角，若p：sinsin（+），q：+，则p是q的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性分析：由、均为锐角，我们可以判断sinsin（+）时，+是否成立，然后再判断+时，sinsin（+）是否成立，然后根据充要条件的定义进行判断解答：解：当sinsin（+）时，+不一定成立故sinsin（+）+，为假命题；而若+，则由正弦函数在（0，）单调递增，易得sinsin（+）成立即+sinsin（+）为真命题故p是q的必要而不充分条件故选b点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，即若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件3 （2009广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）a36种b12种c18种d48种考点：排列、组合的实际应用专题：排列组合分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，若小张或小赵入选，若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案解答：解：根据题意分2种情况讨论，若小张或小赵入选，则有选法c21c21a33=24；若小张、小赵都入选，则有选法a22a32=12，共有选法12+24=36种，故选a点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏4 （2010阎良区模拟）甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是（）a0.42b0.49c0.7d0.91考点：相互独立事件专题：计算题分析：由甲、乙两人各用篮球投篮一次，且两人投中的概率都是0.7，我们根据对立事件减法公式易得到两人都不中的概率为10.7=0.3，再后分析要求恰有一人投中的所有情况为：甲投中乙投不中和甲投不中乙投中，然后代入相互独立事件概率公式，即可求解解答：解：设甲投篮一次投中为事件a，则p（a）=0.7，则甲投篮一次投不中为事件，则p（）=10.7=0.3，设甲投篮一次投中为事件b，则p（b）=0.7，则甲投篮一次投不中为事件，则p（）=10.7=0.3，则甲、乙两人各用篮球投篮一次恰有一人投中的概率为：p=p（a）+p（b）=p（a）p（）+p（）p（b）=0.70.3+0.70.3=0.42故选a点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解5 （2015春黑龙江期末）若椭圆的短轴为ab，它的一个焦点为f1，则满足abf1为等边三角形的椭圆的离心率是（）abcd考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：设出|ab|=2b，利用abf1是等边三角形，推断出|af1|=2b求得a和b的关系，进而利用a，b和c的关系求得a和c的关系及椭圆的离心率解答：解：设|ab|=2b，因为abf1是等边三角形，所以|af1|=2b，即a=2b，有故选b点评：本题主要考查了椭圆的简单性质灵活利用题设中a，b和c的关系6 （2015春黑龙江期末）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2+log23，则输出y的值为（）ab8c12d24考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，利用对数运算即可得解解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图执行过程中的数据变化如下：x=2+log23=log212，不满足条件log2124？，x=log224，y=24输出y为24故选：d点评：本题主要考查了选择结构程序框图，模拟执行程序框图，正确得程序框图的功能是解题的关键，属于基础题7 （2013浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）a108cm3b100cm3c92cm3d84cm3考点：由三视图求面积、体积专题：立体几何分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积v=663=100故选b点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键8 （2015春黑龙江期末）随机变量服从正态分布n（40，2），若p（30）=0.2，则p（3050）=（）a0.2b0.4c0.6d0.8考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（40，2），得到曲线关于x=40对称，根据曲线的对称性得到：若p（30）=0.2，则可知p（3050）=10.4解答：解：根据题意，由于随机变量服从正态分布n（40，2），若p（30）=0.2，则可知p（3050）=10.4=0.6，故选：c点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布的概率的求解，是一个基础题9 （2015东阳市模拟）已知数列an满足a1=1，an+1an=2n（nn*），则s2015=（）a220151b210093c3210073d210083考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：由已知得数列an的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和解答：解：a1=1，an+1an=2n，a2=2，当n2时，anan1=2n1，=2，数列an中奇数项、偶数项分别成等比数列，s2015=+=210093，故选：b点评：本题考查数列的前2015项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列an的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列10 （2011潍坊一模）已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21，2，则f（1）的取值范围是（）a，3b，6c3，12d，12考点：简单线性规划；函数在某点取得极值的条件专题：计算题；压轴题；数形结合分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（1）的值域，设z=x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点a时，从而得到z=x+3y的最大值即可解答：解：f（x）=3x2+4bx+c，（2分）依题意知，方程f（x）=0有两个根x1、x2，且x12，1，x21，2等价于f（2）0，f（1）0，f（1）0，f（2）0由此得b，c满足的约束条件为 （4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分（6分）由题设知f（1）=2bc，由z=2bc，将z的值转化为直线z=2bc在y轴上的截距，当直线z=2bc经过点（0，3）时，z最小，最小值为：3当直线z=2bc经过点c（0，12）时，z最大，最大值为：12故选c点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题11 （2011汕头二模）下列四个命题中，正确的是（）a已知函数f（a）=0asinxdx，则b设回归直线方程为，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位c已知服从正态分布n（0，2），且p（20）=0.4，则p（2）=0.2d对于命题p：x0r，x02+x0+10；则p：xr，x2+x+10考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断；定积分在求面积中的应用；回归分析的初步应用专题：计算题分析：对于a，利用定积分公式计算即可；对于b：回归方程=22.5x，变量x增加一个单位时，变量平均变化22.5（x+1）（22.5x），及变量平均减少2.5个单位，得到结果对于c：利用正态分布n（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果d中，本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可解答：解：对于a：f（a）=0asinxdx=（cosx）|0a=1cosa，即，（a）正确对于b：回归方程=22.5x，变量x增加一个单位时，变量平均变化22.5（x+1）（22.5x）=2.5变量平均减少2.5个单位，故错对于c：由随机变量服从正态分布n（0，2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而p（2x0）=0.4，p（2x2）=0.8则p（2）=（1p（2x2）=0.1，故错；对于选项d：命题“存在x0r，使x02+x0+10”是一个特称命题命题“存在x0r，使x02+x0+10”的否定是“对任意x0r，使x02+x0+100”故d错故选a点评：本小题主要考查定积分、正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、回归分析的初步应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题12 （2015春黑龙江期末）与双曲线x2=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（）a=1b=1c=1d=1考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设双曲线方程为，利用双曲线过点（2，2），求出k，即可得出双曲线方程解答：解：设双曲线方程为双曲线过点（2，2），k=3故选：b点评：本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础二、填空题（每题5分，共20分）13 （2012蓝山县校级模拟）有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点o为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为考点：几何概型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题分析：本题利用几何概型求解先根据到点o的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点p到点o的距离大于1的概率解答：解：到点o的距离等于1的点构成一个球面，如图，则点p到点o的距离大于1的概率为：p=，故答案为：点评：本小题主要考查几何概型、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型14 （2015春黑龙江期末）直线xysin+1=0（r）的倾斜角范围是考点：直线的倾斜角分析：由直线的倾斜及和斜率的关系，以及正切函数的值域可得解答：解：设直线xysin+1=0的倾斜角为，当时，则sin=0，符合题意，当时，sin0，可得直线的斜率k=，又0，或综上满足题意的倾斜角范围为：故答案为：点评：本题考查斜率的概念及正弦、正切函数的图象和值域，属基础题15 （2014顺义区一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到原点的距离，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域：z的几何意义为区域内的点p到原点的距离，由图象可知当点p位于点a，（a为原点o在直线2x+y2=0的垂足），此时z的最小值为原点到直线2x+y2=0的距离，即d=，故答案为：；点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合点到直线的距离公式是解决本题的关键16 （2014瓦房店市校级模拟）已知向量=（x2，x+1），=（1x，t），若函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围为t5考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质专题：导数的概念及应用；平面向量及应用分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t3x22x在（1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论解答：解：=（x2，x+1），=（1x，t），f（x）=x2（1x）+t（x+1）=x3+x2+tx+1，f（x）=3x2+2x+t，函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，f（x）=3x2+2x+t0在（1，1）上恒成立，t3x22x在（1，1）上恒成立，而函数y=3x22x，x（1，1）的值域为，5）t5故答案为：t5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题三、解答题（共70分）17 （2015潮南区模拟）abc的三个内角a，b，c对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csina+acosc=0（1）求c的值；（2）若cosa=，c=5，求sinb和b的值考点：正弦定理专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sina不为0，两边除以sina再利用同角三角函数间的基本关系求出tanc的值，由c为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出c的度数；（2）由a为三角形的内角，及cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，由b=ac，利用诱导公式得到sinb=sin（a+c），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出sinb的值，由sinb，sinc及c的值，利用正弦定理即可求出b的值解答：解：（1）将csina+acosc=0利用正弦定理化简得：2rsincsina+2rsinacosc=0，即2sincsina+2sinacosc=0，sina0，sinc+cosc=0，即tanc=，c（0，），c=；（2）cosa=，a（0，），sina=，则sinb=sin（ac）=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=（）+=，sinb=，c=5，sinc=sin=则由正弦定理=，得：b=34点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18 （2015春黑龙江期末）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第3，4，5组的频率（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图专题：概率与统计分析：（1）直接利用频率分布直方图，求出各组的频率，然后求出频数（2）利用频率样本=频数，求出各组人数（3）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可解答：解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.065=0.3，第4组的频率为0.045=0.2，第5组的频率为0.025=0.1 （2分）（2）第3组的人数为0.3100=30，第4组的人数为0.2100=20，第5组的人数为0.1100=10因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：6=3； 第4组：6=2； 第5组：6=1所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 （6分）（3）记第3组的3名志愿者为a1，a2，a3，第4组的2名志愿者为b1，b2，第5组的1名志愿者为c1则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c1），（b1，b2），（b1，c1），（b2，c1），共有15种其中第4组的2名志愿者b1，b2至少有一名志愿者被抽中的有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（b1，c1），（b2，c1），共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p= 点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力19 （2013江苏）如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，ab=ac=2，aa1=4，点d是bc的中点（1）求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；（2）求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系axyz，利用向量法能求出异面直线a1b与c1d所成角的余弦值（2）分别求出平面aba1的法向量和平面adc1的法向量，利用向量法能求出平面adc1与aba1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面adc1与aba1所成二面角的正弦值解答：解：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系axyz，则由题意知a（0，0，0），b（2，0，0），c（0，2，0），a1（0，0，4），d（1，1，0），c1（0，2，4），=（1，1，4），cos=，异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为（2） 是平面aba1的一个法向量，设平面adc1的法向量为，取z=1，得y=2，x=2，平面adc1的法向量为，设平面adc1与aba1所成二面角为，cos=|cos|=|=，sin=平面adc1与aba1所成二面角的正弦值为点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用20 （2015春黑龙江期末）已知椭圆c：=1（ab0）过点a，离心率为，点f1，f2分别为其左右焦点（1）求椭圆c的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆c恒有两个交点p，q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由离心率，推出b=c，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a、b，即可得到椭圆c方程（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0r1），当直线pq的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程组，令p（x1，y1），q（x2，y2），利用韦达定理，结合x1x2+y1y2=0推出3b2=2k2+2，利用直线pq与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线pq的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果解答：解：（1）由题意得：，得b=c，因为，得c=1，所以a2=2，所以椭圆c方程为（4分）（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0r1）当直线pq的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，由得（1+2k2）x2+4bkx+2b22=0，令p（x1，y1），q（x2，y2），（6分），x1x2+y1y2=0，3b2=2k2+2（8分）因为直线pq与圆相切，=所以存在圆当直线pq的斜率不存在时，也适合x2+y2=综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足题意 点评：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆的以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力21 （2015春黑龙江期末）已知函数f（x）=lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0（）求f（x）的解析式；（）求f（x）的单调区间；（）若在区间，5内，恒有f（x）x2+lnx+kx成立，求k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（）由求导公式、法则求出f（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1）代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；（）由（i）求出函数的定义域和f（x），求出f（x）0和f（x）0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间；（）先化简f（x）x2+lnx+kx，并分离常数k，再构造函数g（x）=，求出g（x）并求出g（x）大于、小于零的解集，求出g（x）的单调区间和最小值，再求出k的取值范围解答：解：（）由题意