甘肃省天水一中高三数学信息卷试题 理.doc

2013年天水一中信息卷数学理第卷为选择题，共60分；第卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。第卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合，集合，则（ ）abcd【答案】d【解析】因为集合，集合，所以。2已知是虚数单位，则等于（ ）abcd【答案】a【解析】。3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）a12 b11 c d【答案】a【解析】由三视图知：该几何体为四棱锥，四棱锥的底面是边长为3和4的长方形，四棱锥的高是3，所以该几何体的体积为。4若数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是（4）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（ ）a0个b1个c2个d3个【答案】b【解析】数列的前n项和为，故 ，若数列是递增数列，则数列不一定是递增数列，如0 时，数列是递减数列，故（1）不正确；由数列是递增数列，不能推出数列的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，满足是递增数列，但不满足数列的各项均为正数，故（2）不正确；若是等差数列（公差d0），则由不能推出，例如数列：-3，-1，1，3，满足，但 ，故（3）不正确；若是等比数列，则由可得数列的公比为-1，故有；由可得数列的公比为-1，可得，故（4）正确5如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）a b c d【答案】c【解析】易知：，所以质点落在图中阴影区域的概率是。6已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”则下列命题正确的是（ ）a命题“”是真命题 b命题“（）”是真命题c命题“（）”是真命题 d命题“（）（）”是真命题【答案】b【解析】易知：命题：“是的充分必要条件”是假命题，应该是充分不必要条件；命题：“”是真命题。因此命题“（）”是真命题正确，所以选b。7若空间三条直线a、b、c满足，则直线（ ）a一定平行b一定相交c一定是异面直线d一定垂直【答案】d【解析】若，则直线可能相交、也可能异面，不管相交还是异面他们都是垂直的，但直线一定不平行，因此选d。8函数 的图象大致是（ ）【答案】c【解析】因为函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，因此b排除。又，由，由此可以排除a、d，因此选c。9如图所示的方格纸中有定点，则（ ）a b c d【答案】c【解析】设，以op、oq为邻边作平行四边形，则夹在op、oq之间的对角线对应的向量即为向量，由长度相等，方向相同，所以。10设的最大值为（ ）a 80 b c 25d 【答案】a【解析】画出约束条件表示的可行域，目标函数的几何意义为：可行域内的点与点（-1，0）的距离的平方。由可行域知：点（3,8）与点（-1,0）的距离最大，最大为，所以的最大值为80.11若双曲线的左、右顶点分别为a、b，点p是第一象限内双曲线上的点。若直线pa、pb的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）abcd【答案】d【解析】易知双曲线的左顶点为a（-a，0），右顶点为b（a，0）设p（m，n），得：直线pa的斜率为；直线pb的斜率为，所以，因为p（m，n）是双曲线上的点，所以，得，代入（1）式得，因为直线pa、pb的倾斜角分别为，得，所以tantan=1，因为p是第一象限内双曲线上的点，得、均为锐角，所以。12若实数满足，则称是函数的一个次不动点设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则（ ）a b c d【答案】b【解析】因为函数与函数（其中为自然对数的底数）的图像关于直线对称，所以函数函数与的交点函数与的交点关于直线对称，所以。第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13展开式中常数为 ；【答案】4【解析】由，所以展开式中的常数项为，即-4.14在中，已知分别为，所对的边，为的面积若向量满足，则= 【答案】【解析】因为，所以，由三角形的面积公式和余弦定理，得：，所以=。15执行如图的程序框图，那么输出的值是 ；【答案】【解析】第一次循环：，再次循环；第二次循环：，再次循环；第三次循环：，再次循环；第四次循环：，再次循环；第五次循环：，再次循环；观察以上规律可知：s的值以3为周期循环出现，所以：第2012次循环：，结束循环，所以输出的s的值为。16、已知，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；【答案】，【解析】根据等式：，可猜想出的一般结论是。24三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知函数（）求的最小正周期；（）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值18（本小题满分12分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题 规定每位考生必须且只须在其中选做一题 设4名考生选做这两题的可能性均为（）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；（）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望。19（本小题满分12分）如图，是圆的直径，点在圆上，交于点，平面，（）证明：；abcefmo（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20（本小题满分12分）已知数列的前项和（） 求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和21（本小题满分12分）直线与椭圆交于，两点，已知，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点（）求椭圆的方程；（）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。22（本小题满分14分）已知函数（）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（）当时，试比较与1的大小；（）求证：参考答案一选择题1、d；2、a；3、a；4、b； 5、c；6、b；7、d；8、c；9、c；10、a；11、d；12、b；二填空题13、4； 14、；15、； 16、，。三解答题17解析：（） 2分4分 所以的最小正周期为6分（）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 8分时， 9分当，即时，取得最大值2 10分当，即时，取得最小值12分18解析：（）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立= 6分（）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且变量的分布表为：01234 12分19解析：（法一）（）平面平面， 1分又，平面而平面 3分是圆的直径，又，平面，平面与都是等腰直角三角形，即（也可由勾股定理证得）5分， 平面而平面， 6分（）延长交于，连，过作，连结由（1）知平面，平面，hgabcefmo而，平面平面，为平面与平面所成的二面角的平面角 8分在中，由，得又，则 11分是等腰直角三角形，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 12分（法二）（）同法一，得 3分如图，以为坐标原点，垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系xyzabcefmo由已知条件得， 4分由，得， 6分（）由（1）知设平面的法向量为，由 得，令得， 9分由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则， 11分平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 12分20解析：（）时，; 2分4分 6分（） 设，当时，；7分时， 10分12分21解析：（） 2分 椭圆的方程为 3分 （）依题意，设的方程为 由 显然 5分 由已知得： 解得 6分 （）当直线斜率不存在时，即，由已知，得 又在椭圆上， 所以 ,三角形的面积为定值7分 当直线斜率存在时：设的方程为 必须 即 得到， 9分 ， 代入整理得： 10分 11分 所以三角形的面积为定值 12分22解析：（）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分的极大值是，极小值是当时，；当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5分 （）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；