（5年高考真题备考题库）高考数学一轮复习 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用 文 湘教版 (1).doc

20092013年高考真题备选题库第3章 三角函数、解三角形第8节 正弦定理和余弦定理的应用考点 解三角形在实际中的应用1(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量，cos a，cos c.(1)求索道ab的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力(1)在abc中，因为cos a，cos c，所以sin a，sin c.从而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.由正弦定理，得absin c1 040(m)所以索道ab的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离a处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得bcsin a500(m)乙从b出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内2(2010福建，12分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10，此时v30.即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0ac，且对于线段ac上任意点p，有opocac.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在a，c之间(包含c)的任意位置相遇设cod(090)，则在rtcod中，cd10tan ，od.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan取得最小值，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.法三：(1)同法一或法二(2)设小艇与轮船在b处相遇依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.()若0v30，则由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0，得v15.从而，t，v15，30)当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0即v15时等号成立当t时，同理可得.()若v30，则t；综合()、()可知，当v3