基于欧拉角的万向联轴节速比关系推导.pdf

1 基于欧拉角的万向联轴节速比关系推导基于欧拉角的万向联轴节速比关系推导1 李春明 中国石油大学 华东 机电工程学院机械设计系 山东东营 257061 E mail Lchming mingming000111 摘摘 要 要 根据欧拉角在右手坐标系中推导的万向联轴节两轴之间转速关系 可修正教材中的 公式 以主动轴为研究对象 求得在既定位置中间十字头上某点的坐标 再根据中间十字头 的特点 求得从动轴某点的坐标 从而确定从动轴的转角 进而得出主动轴与从动轴的位置 关系 再而通过求导得到两轴的速比关系 计算结果表明当主动轴匀速转动时 从动轴的转 速呈周期性变化 变化的幅值与两轴之间的夹角有关 关键词 关键词 多体动力学 万向联轴节 仿真 机械原理 十字叉 中图分类号 中图分类号 TH112 1 引言 引言 万向联轴节是一种常用的联轴装置 在机械原理教材中均有介绍 其从 主动轴的速比 关系多根据文献 1 直接给出 如文献 2 4 在授课中如果只给学生计算公式 而不简单介绍 公式的推导过程是不太负责任的 可是教材中均没有做介绍 因此 基于欧拉空间角的变换 关系推导该公式 以飨读者 2 基于欧拉空间姿态角的坐标系 基于欧拉空间姿态角的坐标系 欧拉角是指 在右手坐标系中 当连体坐标系与移动坐标系 000 zyx O 重合时 绕 z0 轴 转动角 进动角 到达位置 111 zyx O 再绕 x1 轴转动角 章动角 到达位置 222 zyx O 最后绕 z2 轴转动角 自转角 到达位置 333 zyx O 该转动次序 5 为 333 2 222 1 111 0 000 zyx z zyx x zyx z zyx OOOO 连体坐标系关于平移坐标系的方向余弦矩阵为 c cs c sc ss c cs s s cc c ss sc c cc s s ss cc 万向联轴节的移动坐标系建立如图 1 所示 2 4 图 1 万向联轴节简图 Fig 1 Figure of universal joint 1本课题得到山东省自然科学基金 项目编号 Q2006A08 的资助 2 以主动轴为研究对象 移动坐标系的 x0 轴与从动轴重合 y0 轴重合于从动轴初始位置 时与十字头铰接的轴线 z0 轴重合于主动轴初始位置时与十字头铰接的轴线 即在图示位 置有 13 0 在工作位置 主动轴安装角 为进动角 主动轴与 x1 轴重合 主动轴转角 1 为章动 角 由于连体坐标系不进行第三次转动 因此连体坐标系关于平移坐标系的方向余弦矩阵 11 11 11 11 11 cossin1 Asincoscossin 1sincos cossincossinsin sincoscoscossin 0sincos 3 速比关系式的推导 速比关系式的推导 设主动轴上 C 点在连体坐标系中的坐标为 001 T 从动轴上 B 点在图示位置的坐 标为 010 T 当主动轴转角为 1 时 C 点在移动坐标系中的坐标为 1 1 1 sinsin cossin cos C C C x y z 由于 C B 均为十字头上的点 且相互垂直 所以有 0 CB CB CB xx yy zz 根据 OB 与 x 轴始终垂直 有 1 00 0 B B B x y z 可得 0 B x 所以有 0 CBCB yyzz 即 11 cossincos0 BB yz 1 注 再根据 OB 为单位长 可求出其具体坐标 再由 3 tan B B z y 得 31 tantancos 2 上式与文献 6 采用三元复数推导出的结果一致 对 2 式求导 得 3 3122 31 11 cos coscos 3 由 2 式得 222 31 2 223 12 3 2 223 12 3 2 322 1 tantancos sin tancos cos 1cos tancos cos 1 cos tancos1 4 将 4 式代入 3 式 得 3 222 1 11 222222 1111 22 22 1 1 cos costancos1 coscos sincoscossincos1sin coscos 1sinsin1sincos1 5 即 从动轴与主动轴的转速比为 3 22 11 cos 1sinsin 6 主动轴匀速转动时 从动轴转速呈周期性变化 变动范围为 11 cossec 6 式与现行教材的相关公式不同 如果取从动轴为研究对象 并建立相应的移动坐标系 则 角的符号相反 得到关系 式 1 2222 333 coscos 1sinsin1sinsin 7 4 双万向联轴节的公式推导 双万向联轴节的公式推导 采用单万向联轴节 只要主动轴安装角 主 从动轴的转速比就不是常数 在主动 轴匀速转动的情况下 从动轴做变速转动 将引起角加速度的变化 产生惯性力 为了使从 动轴的转速为常数 可选用双万向联轴节 见图 2 设中间轴为 M 分别以十字头中心为 原点建立坐标系 则各轴间的转速比为 1 1 22 11 cos 1sinsin MM 3 3 22 33 cos 1sinsin MM 4 22 331 11 22 33113 1sinsincos 1sinsincos M M MM 可见 使传动比为常数的条件为 1313 MM 满足条件 13MM 则须中 间轴的两叉面在同一平面内 即三个轴线共面 该定传动比的安装条件见文献 2 3 图 2 双万向联轴节简图 Fig 2 Figure of double universal joint 5 计算结果及分析 计算结果及分析 图 3 为不同 角 100 200 300 400 500 600 700 800 所对应的转速比 转速比 随主动轴旋转角度的不同而不同 图中波动幅值由大到小的图线表示 3 1 随主动轴位置的 变化规律 可见增加 角 则从动轴的速度波动加剧 图 3 计算结果 Fig 3 The computational result 6 结束语 结束语 万向联轴节速比关系在课程体系中微不足道 但在讲课时说明公式的来龙去脉有助于学 5 生的学习 对经典公式的修正可以使学生在上课时即接触到正确的知识 尤其是唯实创新的 教风有助于学生的成长 目前在科学研究中普遍采用右手坐标系 本文在右手坐标系中推导 出的主 从动轴转速关系式可用于其它领域在右手坐标系中的相关研究 参考文献参考文献 1 钟一谔等著 转子动力学 M 北京 清华大学出版社 1987 2 刘会英 杨志强 张明勤 刘加光 机械原理 M 北京 机械工业出版社 2005 6 3 安子军 张善璞 李纯德 机械原理教程 北京 机械工业出版社 2003 7 4 綦耀光刘峰机械设计基础东营中国石油大学出版社 2006 2 5 李春明 提高多体系统离散时间传递矩阵法计算精度的研究 国 2001 35 博士后研究报告 南京理工大 学 2003 6 夏新念 万向节两传动轴转角关系的三元复数推证方法 J 机械设计与制造 2007 1 1 3 The rotation angle relation of universal joint based on Eulor s Angle Li Chunming Department of Machine Design School of Mechatronic Engineering China University of Petroleum East China Dongying Shandong 257061 Abstract The getting rotation angle relation can correct the formula in teaching material in the right hand ordinarate system For the initiative shaft a coordinate of a point is gotten Then the coordinate of other point on crosshead is gotten Then the angle of shaft can be gotten Then the rotation angle relation between two shafts is gotten Helping to derivative the rotation velocity relation is gotten The computational result shows that the rotation velocity of driven shaft is changed periodic while the initiative shaft is rotating equably The breadth of rotation ratio is upping with the accretion of