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不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系黄小琳（安康学院数学系 陕西 安康 725000）摘 要： 非零复数有三种表示方法：代数形式、三角形式、指数形式。这几种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问题的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有无穷多个辅角，故因规定的取值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。关键字：主辅角；反正切；关系；预备知识：1.复数的辅角：实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角合于称为复数的辅角，记为. 2. 复数的主辅角:复数的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为的主值，即Z的主辅角，记为。 对于一个复数我们可以借助于平面上横坐标为,纵坐标为的点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们也可以用极坐标与来确定复数在平面中的位置：用向量来表示复数，其中顺次等于沿轴与轴的分量。则向量的长度称为复数的模，用表示；实轴正向与非零向量间的夹角记为，对于每一确定的都有唯一的复数与之对应。 我们定义为复数的辅角，显然对于任意复数有无穷多个辅角。于是有规定在某一特定范围内复数的辅角的一个特定值为的主辅角。然而在不同定义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。（注意：当时，辅角无意义。）1. 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切的关系1.1 当向量在平面第一，四象限时 1.2 当向量在平面第二象限时，如图： 1.3 当向量在平面第三象限时，如图： 1.4 当指向轴正向时，；当指向轴负向时，；当指向轴正向时，；当指向轴负向时，；2. 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切的关系例1 设，且，则_.A) B) C) D) 由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第三象限，又因为，由1的图表可得，故选C.例2 设复数且,与的关系为 _；若，那么与的关系又为_。由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第四象限，又因为，由2的图表可得则；当，由1的图表可得. 参考文献：1王彩凤. 多值函数单值连续分支的研究J. 运城学院学报 , 2004,(02) 2刘宅成. 辐角函数与复多值函数J. 泰安师专学报 , 1996,(06) 3钟玉泉.复变函数论M.北京:高等教育出版社,2000.4谢娟,邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践J.合肥师范学院学报,2009.5张元林.积分变换M.第四版.北京:高等教育出版社,2006.6麻桂英.用Matlab 提高复变函数教学
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