甘肃省天水市秦安县高三数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合a=x|1x2，b=x|x1，则ab=（）ax|x1bx|1x2cx|1x1dx|1x12复数=（）abcd3已知向量=（2，1），=10，|+|=，则|=（）abc5d254函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）ap是q的充分必要条件bp是q的充分条件，但不是q的必要条件cp是q的必要条件，但不是q的充分条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd6设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）aabcbcabcacbdcba7已知0，0，直线x=和x=是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）abcd8已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点p（x，y），则点p的坐标满足不等式x2+y22的概率为（）abcd9已知函数f（x）的定义域为1，4，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示x10234f（x）12020当1a2时，函数y=f（x）a的零点的个数为（）a2b3c4d510定义行列式运算：若将函数的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）abcd11已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m（2，y0）若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|=（）abc4d12设f（x）是定义在r上的恒不为零的函数，对任意实数x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nn*），则数列an的前n项和sn的取值范围是（）a，2）b，2c，1）d，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13求函数在区间上的最大值14设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是15设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为16在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n=8时sn取得最大值，则d的取值范围为三、解答题：共70分解答应写出文字说明过程或演算步骤17在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和sn18为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率19如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=90（1）求证：pcbc；（2）求点a到平面pbc的距离20已知椭圆c： +=1（ab0）的一个长轴顶点为a（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆c交于不同的两点m，n，（）求椭圆c的方程；（）当amn的面积为时，求k的值21已知函数f（x）=x3+2bx2+cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x10（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值四、请在第22、23、24题中任选一题作答（本小题满分10分）22如图，已知ab是圆o的直径，c、d是圆o上的两个点，ceab于e，bd交ac于g，交ce于f，cf=fg（）求证：c是劣弧的中点；（）求证：bf=fg23已知曲线c1的极坐标方程为=6cos，曲线c2的极坐标方程为=（pr），曲线c1，c2相交于a，b两点（）把曲线c1，c2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦ab的长度24已知函数f（x）=|xa|（1）若不等式f（x）3的解集为x|1x5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合a=x|1x2，b=x|x1，则ab=（）ax|x1bx|1x2cx|1x1dx|1x1【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】利用交集和数轴即可求出ab【解答】解：ab=x|1x2x|x1=x|1x2，且x1=x|1x1故选d【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分2复数=（）abcd【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果【解答】解： =，故选a【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题3已知向量=（2，1），=10，|+|=，则|=（）abc5d25【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【专题】平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可【解答】解：|+|=，|=（+）2=2+2+2=50，得|=5故选c【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用4函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）ap是q的充分必要条件bp是q的充分条件，但不是q的必要条件cp是q的必要条件，但不是q的充分条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f（x）=3x2，由f（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：c【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础5abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用6设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）aabcbcabcacbdcba【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较【分析】因为101，所以y=lgx单调递增，又因为1e10，所以0lge1，即可得到答案【解答】解：1e3，0lge1，lgelge（lge）2acb故选：c【点评】本题主要考查对数的单调性即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减7已知0，0，直线x=和x=是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）abcd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及的范围，确定的值即可【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，所以t=2所以=1，并且sin（+）与sin（+）分别是最大值与最小值，0，所以=故选a【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力8已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点p（x，y），则点p的坐标满足不等式x2+y22的概率为（）abcd【考点】几何概型；简单线性规划【专题】概率与统计【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为aob，由，解得，即b（4，4），由，解得，即a（，），直线2x+y4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则oab的面积s=，点p的坐标满足不等式x2+y22区域面积s=，则由几何概型的概率公式得点p的坐标满足不等式x2+y22的概率为=，故选：d【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据几何概型的概率公式进行求解9已知函数f（x）的定义域为1，4，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示x10234f（x）12020当1a2时，函数y=f（x）a的零点的个数为（）a2b3c4d5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【专题】数形结合；导数的概念及应用【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1a2，即可得到函数y=f（x）a的零点的个数【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1a2，所以函数y=f（x）a的零点的个数为4个故选：c【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减10定义行列式运算：若将函数的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值【解答】解：由定义的行列式运算，得=将函数f（x）的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为由该函数为奇函数，得，所以，则m=当k=0时，m有最小值故选c【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=asin（x+）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题11已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m（2，y0）若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|=（）abc4d【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】关键点m（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点m的坐标，由此可求|om|【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p0）点m（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xm（2，y0）|om|=故选b【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程12设f（x）是定义在r上的恒不为零的函数，对任意实数x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nn*），则数列an的前n项和sn的取值范围是（）a，2）b，2c，1）d，1【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】根据f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列an是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得sn，进而sn的取值范围【解答】解：对任意x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），即=f（1）=，数列an是以为首项，以为等比的等比数列，an=f（n）=（）n，sn=1（）n，1）故选c【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，yr，都有f（x）f（y）=f（x+y）得到数列an是等比数列，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13求函数在区间上的最大值【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的正弦与余弦将f（x）=sin2x+sinxcosx转化为f（x）=sin（2x）+，再利用正弦函数的性质即可求得在区间，上的最大值【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x）+又x，2x，sin（2x），1，sin（2x）+1，即f（x）1，故f（x）在区间，上的最大值为故答案为：【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题14设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是【考点】几何概型【专题】计算题；概率与统计【分析】根据题意，在区域d内随机取一个点p，则p点到坐标原点的距离大于2时，点p位于图中正方形oabc内，且在扇形oac的外部，如图中的阴影部分因此算出图中阴影部分面积，再除以正方形oabc面积，即得本题的概率【解答】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点o为圆心、半径为2的圆外区域d：表示正方形oabc，（如图）其中o为坐标原点，a（2，0），b（2，2），c（0，2）因此在区域d内随机取一个点p，则p点到坐标原点的距离大于2时，点p位于图中正方形oabc内，且在扇形oac的外部，如图中的阴影部分s正方形oabc=22=4，s阴影=s正方形oabcs扇形oac=422=4所求概率为p=故答案为：【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题15设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为7【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点b时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即b（3，2），此时z的最大值为z=1+23=1+6=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法16在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n=8时sn取得最大值，则d的取值范围为（1，）【考点】等差数列的性质【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据题意当且仅当n=8时sn取得最大值，得到s7s8，s9s8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围【解答】解：sn =7n+，当且仅当n=8时sn取得最大值，即，解得：，综上：d的取值范围为（1，）【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明过程或演算步骤17在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和sn【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（）把（）中求得的an代入bn=log3an，得到数列bn的通项公式，由此得到数列bn是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得；（），bn=log3an，则数列bn的首项为b1=0，由bnbn1=n1（n2）=1（n2），可知数列bn是以1为公差的等差数列【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题18为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率【考点】频率分布直方图【专题】综合题【分析】（1）由频率分步直方图知样本中男生人数为2+5+13+14+2+4，全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，知道每个个体被抽到的概率是0.1，得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数（2）由图可知样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170185cm之间的频率用样本的频率来估计总体中学生身高在170180cm之间的概率（3）由题意知本题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果【解答】解：（）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；（）样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，样本中学生身高在170185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170180cm之间的概率p=0.5；（）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为，从上述6人中任取2人的树状图为：从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，所求概率p2=【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中19如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=90（1）求证：pcbc；（2）求点a到平面pbc的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（1），要证明pcbc，可以转化为证明bc垂直于pc所在的平面，由pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=90，容易证明bc平面pcd，从而得证；（2），有两种方法可以求点a到平面pbc的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取ab的中点e，容易证明de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等，而a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面pbc平面pcd，交线是pc，所以只求d到pc的距离即可，在等腰直角三角形pdc中易求；方法二，等体积法：连接ac，则三棱锥pacb与三棱锥apbc体积相等，而三棱锥pacb体积易求，三棱锥apbc的地面pbc的面积易求，其高即为点a到平面pbc的距离，设为h，则利用体积相等即求【解答】解：（1）证明：因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc由bcd=90，得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd因为pc平面pcd，故pcbc（2）（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：易证decb，de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因为pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f易知df=，故点a到平面pbc的距离等于（方法二）等体积法：连接ac设点a到平面pbc的距离为h因为abdc，bcd=90，所以abc=90从而ab=2，bc=1，得abc的面积sabc=1由pd平面abcd及pd=1，得三棱锥pabc的体积因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc又pd=dc=1，所以由pcbc，bc=1，得pbc的面积由vapbc=vpabc，得，故点a到平面pbc的距离等于【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力20已知椭圆c： +=1（ab0）的一个长轴顶点为a（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆c交于不同的两点m，n，（）求椭圆c的方程；（）当amn的面积为时，求k的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据椭圆一个顶点为a （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆c的方程；（）直线y=k（x1）与椭圆c联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，从而可求|mn|，a（2，0）到直线y=k（x1）的距离，利用amn的面积为，可求k的值【解答】解：（）椭圆一个顶点为a （2，0），离心率为，b=椭圆c的方程为；（）直线y=k（x1）与椭圆c联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0设m（x1，y1），n（x2，y2），则x1+x2=，|mn|=a（2，0）到直线y=k（x1）的距离为amn的面积s=amn的面积为，k=1【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|mn|21已知函数f（x）=x3+2bx2+cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x10（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值【考点】利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；压轴题【分析】（1）利用f（2）=0和f（2）=5可得关于b，c的两个方程，解出b，c即可（2）转化为g（x）=0有实根根据判别式求出对应的根，在找极值即可【解答】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，即4b+c+3=0f（x）=3x2+4bx+c，由已知，f（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0联立、，解得c=1，b=1，于是函数解析式为f（x）=x32x2+x2（2）g（x）=x32x2+x2+mx，g（x）=3x24x+1+，令g（x）=0当函数有极值时，0，方程3x24x+1+=0有实根，由=4（1m）0，得m1当m=1时，g（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g（x）0，故函数g（x）无极值当m1时，g（x）=0有两个实根，x1=（2），x2=（2+），当x变化时，g（x）、g（x）的变化情况如下表：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+） g（x）+ 00 + g（x）极大值极小值 故在m（，1）时，函数g（x）有极值；当x=（2）时g（x）有极大值；当x=（2+）时g（x）有极小值【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值四、请在第22、23、24题中任选一题作答（本小题满分10分）22如图，已知ab是圆o的直径，c、d是圆o上的两个点，ceab于e，bd交ac于g，交ce于f，cf=fg（）求证：c是劣弧的中点；（）求证：bf=fg【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题【分析】（i）要证明c是劣弧bd的中点，即证明弧bc与弧cd相等，即证明cab=dac，根据已知中cf=fg，ab是圆o的直径