（临门一脚 山东专用）高考数学 热点专题复习热点四 数列 理 (2).doc

热点四 数列【考点精要】考点一. 等差、等比数列的定义. 等差数列的前项和在公差不为0时是关于的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和. 则数列为等差数列的充要条件是；在等差数列中,也是等差数列. 在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注. 如是等比数列，则就不一定是等比数列. 考点二. 数列的递推关系. 解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行转换. 把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理. 转化的常用方法有：(1)待定系数法. 如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列. (2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为. (3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、注意的取值，不能出错考点三. 分段数列. 通过考查分段函数进而明晰数列在不同的范围内赋予不同的意义. 如：数列中，= 求.考点四. 数列的通项公式以及前n项和. 数列的通项公式以及前项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性. 高考中诸多题目均能涉及. 数列求和的常用方法：（1）公式法：（1）等比数列的前项和s2，则_（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的. 二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）（2）分组求和法： （答：）（3）倒序相加法：_（答：）（4）错位相减法：（1）设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）.（5）裂项相消法：（1）求和： （答：）；（2）在数列中，且s，则n_（答：99）（6）通项转换法：求和： （答：）如：设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_. 考点五等差数列前n项和最值的求法： ；利用二次函数的图象与性质. 考点六. 考查数列（其中均为常数，. 一般地，要先在原递推公式两边同除以，进行化简求解. 巧点妙拨1根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 掌握数列通项与前n项和之间的关系. 2根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和，（4）利用数列的周期性求和，（5）利用正整数的方幂和公式求和等. 3以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用. 4. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项. 5. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式. 6. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向. 【典题对应】例1. (2014 山东理19) 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列. （i）求数列的通项公式；（ii）令=求数列的前项和. 命题意图：本题主要考查数列的通项公式，前n项和公式，分情况讨论求和，考查学生的衍生数列的应对策略以及分类讨论思想. 解析：（i）解得（ii） 名师坐堂：数列求和的方法较多，运用何种方法关键是分析好通项公式，当通项公式中含有时要进行讨论. 例2(2012山东理20) 在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求数列an的通项公式；（）对任意mn，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和sm. 命题意图：主要考查等差数列中等差中项的性质及数列求和的方法. 解析：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（）对任意mn，则，即，而，由题意可知，于是，即. 名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力. 例3（2013山东理）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.命题意图：主要考查等差数列的前项和以及等差数列的通项公式，考查学生运用错位相减法求和的能力.解析: ()设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得, 因此 ()由题意知: 所以时, 故, 分所以, 则 两式相减得 整理得 .所以数列数列的前n项和.名师坐堂：将一个数列通过某种运算得到另一个数列并求其和，此类问题往往转化成列项求和、分组求和、错位相减等，此类问题的关键是能看透新生数列的特性. 例4. （2011全国大纲理20） 设数列满足且（）求的通项公式；（）设命题意图：主要考查等差数列与不等式的结合应用. 解析：（i）由题设即是公差为1的等差数列.又所以（ii）由（i）得，名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰简单的问题是数学中的重要思想，本题中的第 （）问，采用将相邻的两项相消，求出数列之和，由n的范围证出不等式. 【命题趋向】1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”. 但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查. 2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题. 4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和. 5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点. 今后在这方面还会体现的更突出. 7. 在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合在知识交汇处命题综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法. 【直击高考】1. 如果数列满足，且(2)，则第10项等于( )a. b. c. d.2. 已知是由正数组成的等比数列，表示数列的前项的和，若，则的值为( )a b69 c93 d189 3. 在数列中，已知，则等于( )a. b. c. d.4. 已知等差数列的前项和是,若三点共线, 为坐标原点，且(直线不过点)，则等于( )a. b. c. d. 5. 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( )a0 b3 c8 d116. 函数满足=（nn*）且，则为( )a95b97c105d1927. 知函数. 项数为27的等差数列满足，且公差. 若，则当 时，. 8. 有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为_9. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.10. 设数列的前项和为，且对任意正整数,点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.11. 已知各项均为正数的数列an满足：a13，(nn*)，设bn，snbbb.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：sn.12. 设数列的各项都是正数，且对任意，都有,，其中为数列的前n项和. ()求数列的通项公式；()设(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有.热点四 数列【直击高考】1. 解析：由得：，所以为等差数列，故应选d.2. 解析：因为，所以，所以，故选c.3. 解析：，.4解析：b. 5. 解析：由已知知由叠加法既得.选b。6. 解析：bf（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=977. 解析：函数是奇函数，图像关于原点对称，等差数列有27项，若，则必有，。8. 解析：答案426第1斜行有一个数字，第2斜行有2个数字，第n斜行有n个数字，第20行从左向右数第10个数字在第29斜行，为倒数第10个数字，435，第20行从左向右数第10个数字为4359426.9. 解析：（1）点都在函数的图像上，,当时， 当时，满足上式，所以数列的通项公式为 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.由4，得-得： . （3）,.又，其中是中的最小数，是公差是4的倍数，又，,解得27. 所以，设等差数列的公差为，则 ，所以的通项公式为.10解析：(1)由题意可得： 时, 得， ， 是首项为，公比为的等比数列， （2）由(1)知 若为等差数列， 则成等差数列, 得 又时，显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列. 1