重庆市一中高三数学上学期第一次模拟试卷 理（含解析）.doc

重庆一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知集合a=0，1，m，b=x|0x2，若ab=1，m，则m的取值范围是( )a（0，1）b（1，2）c（0，1）（1，2）d（0，2）3设有算法如图所示，如果输入a=144，b=39，则输出的结果是( )a144b3c0d124下列命题错误的是( )a若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10b若命题pq为真，则pq为真c一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同d根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=15在等腰abc中，bac=120，ab=ac=2，则的值为( )abcd6定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )a1bc1d7若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )a（0，1）bcd（1，+）8数列an共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1ak|=1（k=1，2，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )a100b120c140d1609抛物线y=2x2上两点a（x1，y1），b（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=1，则2m的值是( )a3b4c5d610sin410+sin450+sin470=( )a1bcd二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11已知随机变量n（，2），且p（1）=，p（2）=0.4，则p（01）=_12设f1，f2为双曲线=1的左右焦点，以f1f2为直径作圆与双曲线左支交于a，b两点，且af1b=120则双曲线的离心率为_13设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为_三、考生注意：1416题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e若abc的面积s=adae，则bac=_15在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线（t为参数）与曲线=2asin（为参数且a0）相切，则a=_16若不等式|x1|+|x2|a2+a+1的解集不为，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=若函数f（x）=asin（2x+）（a0，0）在x=处取得最大值，且最大值为a3（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（）=1，（，），求sin（a+）的值18现有3所重点高校a，b，c可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请a高校的概率；（2）4人申请的学校个数的分布列和期望19已知函数（xr）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，b为锐角，且f（b）=，ac=4，d是bc边上一点，ab=ad，试求adc周长的最大值20已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2（其中a0）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x0，2时，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围21已知椭圆c中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点m（，1），离心率为（1）求椭圆c的方程（2）若a，b为椭圆c上的动点，且（其中o为坐标原点）求证：直线ab与定圆相切并求该圆的方程与oab面积的最小值22已知数列an的前n项之积tn满足条件：为首项为2的等差数列；t2t5=（1）求数列an的通项公式an；（2）设数列bn满足bn=an，其前n项和为sn求证：对任意正整数n，有0sn重庆一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限解答：解：复数z=3i，复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，1）在第四象限故选：d点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查2已知集合a=0，1，m，b=x|0x2，若ab=1，m，则m的取值范围是( )a（0，1）b（1，2）c（0，1）（1，2）d（0，2）考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解解答：解：a=0，1，m，m0且m1，ab=1，m，0m2，综上0m2且m1，故m的取值范围是（0，1）（1，2），故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，根据集合元素的互易进行检验是解决本题的关键3设有算法如图所示，如果输入a=144，b=39，则输出的结果是( )a144b3c0d12考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图，是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到解答：解：（1）a=144，b=39，c=27，继续循环；（2）a=39，b=27，c=12，继续循环；（3）a=27，b=12，c=3，继续循环；（4）a=12，b=3，c=0，退出循环此时a=3故选：b点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4下列命题错误的是( )a若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10b若命题pq为真，则pq为真c一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同d根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=1考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据存在性命题的否定方法，可判断a；根据复合命题真假判断的真值表，可判断b；计算出数据的平均数、众数、中位数，可判断c；根据回归直线必要样本数据中心点，可判断d解答：解：若命题p：x0r，x02x0+10，则p：xr，x2x+10，故a正确；若命题pq为真，则命题p，q中存在真命题，但可能一真一假，此时pq为假，故b错误；数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数均为3，故c正确；回归直线必要样本数据中心点，当=2，=1，=3，则=1，故d正确；故选：b点评：本题以命题的真假判断与应用为载体考查了存在性命题的否定方法，复合命题真假判断的真值表，平均数、众数、中位数的计算，回归直线的性质等知识点，难度不大，属于基础题5在等腰abc中，bac=120，ab=ac=2，则的值为( )abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：在等腰abc中，bac=120，ab=ac=2，解答：解：在等腰abc中，bac=120，ab=ac=2，=（）（）=|2|2=4422（）=故选：a点评：本题考查了向量运算，数量积的运算，属于计算题6定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )a1bc1d考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由log220（4，5），可得4log220（1，0），结合定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），可得：f（log220）=f（log2204）=f（4log220），再由x（1，0）时，f（x）=2x+，可得答案解答：解：log220（4，5），log2204（0，1），4log220（1，0），又定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x）=f（x+4），f（log220）=f（log2204）=f（4log220），x（1，0）时，f（x）=2x+，f（4log220）=+=+=1620+=1，故f（log220）=1，故选：c点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档7若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )a（0，1）bcd（1，+）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：欲使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，则只要方程有3个不同的实数解，结合函数g（x）=的图象可求解答：解：要使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，所以只要方程有3个不同的实数解，变形得=，设函数g（x）=，如图所以只要04即可，所以k；故选c点评：本题考查了函数的图象的交点与方程根的关系，考查了数形结合解决方程根的个数问题，关键是准确构造函数，准确画出图象，经常考查，属于中档题8数列an共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1ak|=1（k=1，2，10），则满足该条件的不同数列的个数为( )a100b120c140d160考点：数列的应用 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论解答：解：|ak+1ak|=1，ak+1ak=1或ak+1ak=1设有x个1，则有10x个1a11a1=（a11a10）+（a10a9）+（a2a1）4=x+（10x）（1）x=7这样的数列个数有=120故选：b点评：本题考查数列知识，考查组合知识的运用，确定数列中1的个数是关键9抛物线y=2x2上两点a（x1，y1），b（x2，y2）关于直线y=x+m对称，若2x1x2=1，则2m的值是( )a3b4c5d6考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得 ，y1=2x12，y2=2x22，变形得到x1+x2 =，代入2m=（y1+y2）（x1+x2） 进行运算解答：解：由，以及y1=2x12，y2=2x22 可得，=，故选：a点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，两点关于某直线对称的性质，式子的变形是解题的难点，属于中档题10sin410+sin450+sin470=( )a1bcd考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：原式各项利用诱导公式化简将正弦变形为余弦，利用二倍角的余弦函数公式化简，利用完全平方公式整理后，利用和差化积公式及诱导公式化简，计算即可得到结果解答：解：sin410+sin450+sin470=cos480+cos440+cos420=cos420+cos440+cos480=（）2+（）2+（）2=+（cos40+cos80+cos160）+（cos240+cos280+cos2160）=+（2cos60cos20cos20）+（+）=+0+（3+cos80cos20+cos40）=+（32sin50sin30+sin50）=+=故选：b点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及和差化积公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）11已知随机变量n（，2），且p（1）=，p（2）=0.4，则p（01）=0.1考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：确定曲线关于x=1对称，利用p（2）=0.4，可求p（01）解答：解：随机变量n（，2），且p（1）=，曲线关于x=1对称，p（2）=0.4，p（01）=0.1故答案为：0.1点评：本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征12设f1，f2为双曲线=1的左右焦点，以f1f2为直径作圆与双曲线左支交于a，b两点，且af1b=120则双曲线的离心率为+1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a，b两点，且af1b=120，可得of1a是等边三角形，再利用双曲线的定义，即可求得离心率解答：解：以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a，b两点，且af1b=120，of1a是等边三角形|af1|=c，|af2|=c，2a=|af2|af1|=（1）c，e=+1故答案为：+1点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题13设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为y=sin2x考点：函数y=asin（x+）的图象变换；简单线性规划 专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用分析：首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果解答：解：设x、y的线性约束条件解得a（1，1）目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为2即：a+b=2所以：则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x故答案为：y=sin2x点评：本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型三、考生注意：1416题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e若abc的面积s=adae，则bac=90考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：由题设条件推导出abeadc，从而得到abac=adae，再由s=，且s=，能求出sinbac=1，由此能求出bac解答：解：abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于e，bae=cad，aeb与acb是同弧上的圆周角，aeb=acd，abeadc，即abac=adae，s=，且s=，abacsinbac=adae，sinbac=1，又bac是三角形内角，bac=90故答案为：90点评：本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和三角形面积公式的合理运用15在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线（t为参数）与曲线=2asin（为参数且a0）相切，则a=1考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：把直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出解答：解：直线（t为参数），化为=0，曲线=2asin（为参数且a0）即2=2asin，化为x2+y22ay=0，配方为x2+（ya）2=a2，可得圆心c（0，a），半径r=a直线与圆相切，=a，化为=2a，a0，解得a=1故答案为：1点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题16若不等式|x1|+|x2|a2+a+1的解集不为，则实数a的取值范围是（，10，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：选作题；不等式分析：令f（x）=|x1|+|x2|可求得f（x）min，依题意，a2+a+1f（x）min，解之即可解答：解：令f（x）=|x1|+|x2|，由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的结论之和，可知函数f（x）的最小值为：1，即f（x）min=1不等式|x1|+|x2|a2+a+1的解集不为，a2+a+1f（x）min=1，a2+a0解得：a0或a1实数a的取值范围是（，10，+）故答案为：（，10，+）点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=若函数f（x）=asin（2x+）（a0，0）在x=处取得最大值，且最大值为a3（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（）=1，（，），求sin（a+）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；等比数列的通项公式 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据等比数列，结合三角函数的最值性质求出a 和的值，即可求函数f（x）的解析式（2）若f（）=1，（，），根据两角和差的正弦公式即可求sin（a+）的值解答：解：（1）由得，由已知有a=3，（2），+点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及两角和差的正弦公式的应用，考查学生的计算能力18现有3所重点高校a，b，c可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请a高校的概率；（2）4人申请的学校个数的分布列和期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（i）试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请a学校，共有种，根据等可能事件的概率公式能求出恰有2人申请a高校的概率（ii）由题意知的可能取值是1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出4人申请的学校个数的分布列和期望解答：解：（i）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请a学校，共有种，根据等可能事件的概率公式得到恰有2人申请a高校的概率p=（ii）由题意知的可能取值是1，2，3p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，的分布列是： 1 2 3 pe= 点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一19已知函数（xr）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，b为锐角，且f（b）=，ac=4，d是bc边上一点，ab=ad，试求adc周长的最大值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=由，可得单调递增区间（2）由得又，则可求得，由ab=ad可求得：ad+dc=bd+dc=bc，又由正弦定理可得bc=8sinbac由，可得故可得周长最大值解答：解：（1）=由，得（kz）单调递增区间为，kz（2）由得又，则，从而，由ab=ad知abd是正三角形，ab=ad=bd，ad+dc=bd+dc=bc，在abc中，由正弦定理，得，即bc=8sinbacd是bc边上一点，知当时，ad+cd取得最大值8，周长最大值为点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题20已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2（其中a0）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x0，2时，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：（1）先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值（2）分a=1、a1、0a1三种情况，分别检验条件是否成立，从而得出a的范围解答：解：（1）由函数f（x）=ln（x+1）+ax2（其中a0），可得x+10，即x1，故f（x）的定义域为（1，+）当a=1时，令=0，求得x=0，且f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，此时f（x）的最小值为f（0）=0（2）由（1）知当a=1时，f（x）0恒成立，即恒成立；所以当a1，x0，2时，满足条件，故a1符合要求当0a1时，由于方程ax2+（2a+1）x+a1=0的=8a+10，所以该方程有两个不等实根x1，x2，且x1x2由知，x10x2 ，f（x）在（0，x2）上单调递减若0x22，则f（x2）f（0）=0，矛盾；若x22，则f（2）f（0）=0，也与条件矛盾综上可知，a的取值范围为1，+）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的