（全国通用）高考数学 3.8 应 用 举 例练习.doc

课时提升作业(二十三)应 用 举 例 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧a,b间的距离,给定下列四组数据,不一定能确定a,b间距离的是()a.,a,bb.,ac.a,b,d.,b【解析】选a.选项b中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定ab.选项c中可由余弦定理确定ab.选项d同b类似.选项a中利用正弦定理求时可能会有两解,故选a.2.已知abc的外接圆的半径为2,设其三边长为a,b,c,若abc=16,则三角形的面积为()a.1b.2c.2d.4【解题提示】根据正弦定理用上外接圆的半径,由此选择三角形的面积公式求解.【解析】选b.由正弦定理,得=22=4,即sin a=,因为abc=16,所以s=bcsin a= =2.3.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75的斜坡,改造成倾斜角为30的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长()a.100 mb.100 mc.50(+)md.200 m【解析】选a.设坡底需加长x m,由正弦定理得,解得x=100.4.(2015石家庄模拟)在abc中,面积s=a2-(b-c)2,则cos a=()【解析】选b.s=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccos a=bcsin a,所以sin a=4(1-cos a),16(1-cos a)2+cos2a=1,所以cos a=.5.(2015成都模拟)台风中心从a地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市b在a的正东40千米处,b城市处于危险区内的持续时间为()a.0.5小时b.1小时c.1.5小时d.2小时【解题提示】数形结合,求台风进入以b点为圆心以30千米为半径的圆内的弦长,路程除以速度得时间.【解析】选b.如图,设以b点为圆心,以30千米为半径的圆与台风的航线交于c,d两点.在bac中,ab=40,bc=30,bac=45,设ac=x,则由余弦定理得302=x2+402-2x40cos 45,即x2-40x+700=0.因为在bad中,ab=40,bd=30,bad=45,所以ac,ad的长是方程的两个根,设为x1,x2,则x1+x2=40,x1x2=700,ad-ac=|x2-x1|=故持续的时间为=1(小时).【一题多解】解答本题你还有其他方法吗?选b.如图,作becd,则be=ea=20,又bc=30,所以ce= =10.故cd=20,所以持续的时间为=1(小时).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在abcd中,ab=6,ad=3,bad=60,则abcd的面积为.【解析】abcd的面积s=2sabd=abadsinbad=63sin 60=9.答案:97.(2015宜宾模拟)要测量底部不能到达的电视塔ab的高度,在c点测得塔顶a的仰角是45,在d点测得塔顶a的仰角是30,并测得水平面上的bcd=120,cd=40 m,则电视塔的高度为m.【解析】设电视塔ab高为x m,则在rtabc中,由acb=45,得bc=x.在rtadb中,adb=30,所以bd=x.在bdc中,由余弦定理,得bd2=bc2+cd2-2bccdcos 120,即(x)2=x2+402-2x40cos 120,解得x=40,所以电视塔高为40 m.答案:408.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在a处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的c处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如图,设舰艇在b处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则ab=21t,cb=9t.在abc中,根据余弦定理,则有ab2=ac2+bc2-2acbccos 120,可得,212t2=102+81t2+2109t.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=- (舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案: 【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有bac=60,bad=75,所以cad=cda=15,从而cd=ca=10,在直角三角形abc中,可得ab=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:10海里三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014新课标全国卷)四边形abcd的内角a与c互补,ab=1,bc=3,cd=da=2.(1)求c和bd.(2)求四边形abcd的面积.【解题提示】(1)设出bd的长,利用余弦定理求解.(2)利用s四边形abcd=sabd+sbcd求解.【解析】(1)设bd=x,在abd,bcd中,由余弦定理,得cos a=,cos c=.因为a+c=,所以cos a+cos c=0,联立上式解得x=,cos c=,所以c=,bd=.(2)因为a+c=,c=,所以sin a=sin c=,四边形abcd的面积s=sabd+sbcd=abadsin a+cbcdsin c=(1+3)=2.所以四边形abcd面积为2.10.(2015广州模拟)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点a,b之间的距离,她在西江南岸找到一个点c,从c点可以观察到点a,b;找到一个点d,从d点可以观察到点a,c;找到一个点e,从e点可以观察到点b,c;并测量得到数据:acd=90,adc=60,acb=15,bce=105,ceb=45,dc=ce=1(百米).(1)求cde的面积.(2)求a,b之间的距离.【解题提示】(1)连接de,在cde中,求出dce,直接利用三角形的面积公式求解即可.(2)求出ac,通过正弦定理求出bc,然后利用余弦定理求出ab.【解析】(1)连接de,在cde中,dce=360-90-15-105=150,secd=dccesin 150=sin 30=(平方百米).(2)依题意知,在rtacd中,ac=dctanadc=1tan 60=.在bce中,cbe=180-bce-ceb=180-105-45=30.由正弦定理得bc=sinceb=sin 45=.因为cos 15=cos(60-45)=cos 60cos 45+sin 60sin 45连ab,在abc中,由余弦定理ab2=ac2+bc2-2acbccosacb可得ab2=()2+()2-2=2-,所以ab= (百米).【加固训练】如图,渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处,且与岛屿a相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sin的值.【解题提示】要求渔船甲的速度,关键是求出bc,而ab=12,ac就是渔船乙2小时走的距离,因此ac=20,故可用余弦定理求得bc,注意=acb,因此可在abc中求sinacb或cosacb,从而获得sin的值.【解析】(1)依题意,bac=120,ab=12,ac=102=20,bca=.在abc中,由余弦定理,得bc2=ab2+ac2-2abaccosbac=122+202-21220cos 120=784.解得bc=28.所以渔船甲的速度为=14海里/小时.(2)方法一:在abc中,因为ab=12,bac=120,bc=28,bca=,由正弦定理,得即sin=方法二:在abc中,因为ab=12,ac=20,bc=28,bca=,由余弦定理,得cos=即cos=因为为锐角,所以sin=(20分钟40分)1.(5分)甲船在岛b的正南a处,ab=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在a,b之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()a.分钟b.小时c.21.5分钟d.2.15分钟【解析】选a.如图,设航行x小时,甲船航行到c处,乙船航行到d处,在bcd中,bc=10-4x,bd=6x,cbd=120,两船相距s千米,根据余弦定理可得,dc2=bd2+bc2-2bcbdcoscbd=(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos 120,即s2=28x2-20x+100=28(x-)2+100-28()2,所以当x=时,s2最小,从而s也最小,即航行60=分钟时两船相距最近.故选a.2.(5分)(2014浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练.已知点a到墙面的距离为ab,某目标点p沿墙面的射击线cm移动,此人为了准确瞄准目标点p,需计算由点a观察点p的仰角的大小(仰角为直线ap与平面abc所成的角).若ab=15 m,ac=25 m,bcm=30,则tan的最大值是()【解析】选d.由勾股定理可得,bc=20 m,过点p作ppbc,交bc于点p,连接ap,如图,则tan=,设bp=x,则cp=20-x,由bcm=30得,pp=cptan 30=(20-x).在rtabp中,ap=故tan=令y=,则y=当x0,当-x20时,y0,所以当x=-时,y最大=,所以tan的最大值=3.(5分)(2015黄山模拟)若abc中,b=3,b=,则该三角形面积的最大值为.【解题提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac的最大值,代入面积公式即可.【解析】由b=3,b=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac,所以ac9,当a=c=3时,取“=”,所以sabc=所以sabc的最大值为,当a=b=c=3时取得.答案: 【加固训练】(2011安徽高考)已知abc的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则abc的面积为.【解析】设三角形一边长为x,则另两边的长为x-4,x+4,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120,解得x=10,所以sabc=106sin 120=15.答案:15【方法技巧】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式s=absin c=acsin b=bcsin a,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的面积公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.4.(12分)(2015哈尔滨模拟)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,a(cos c+sin c)=b.(1)求角a的大小.(2)若abc的周长为20,面积为10,求abc的三边长.【解题提示】(1)化边为角,利用三角形内角和定理消元.(2)由题意列方程组求解.【解析】(1)因为a(cos c+sin c)=b,所以由正弦定理,得sin a(cos c+sin c)=sin b.因为b=-(a+c),所以sin acos c+sin asin c=sin(a+c),即sin asin c=cos asin c,因为sin c0,故tan a=,a=.(2)由题意,得a+b+c=20, bcsin a=bcsin=10,即bc=40. 又a2=b2+c2-2bccos a,即a2=b2+c2-bc. 由,得b+c=20-a, a2=(b+c)2-3bc,把代入上式,得a2=(20-a)2-120,解得a=7,所以解得或故三角形的三边长为a=7,b=8,c=5或a=7,b=5,c=8.5.(13分)(能力挑战题)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种途径,一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c,现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c,假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路ac长为1 260 m,经测量,cos a=,cos c=.(1)求索道ab的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在什么范围内?【解题提示】(1)在abc中,利用正弦定理求ab.(2)设时间t,画图形,用余弦定理建立两人的距离关于时间t的函数,求函数的最值.(3)解三角形求bc的长,求乙从b处出发时,甲已经走过的路程,设速度v,列不等式求解.【解析】(1)在abc中,ac=1 260,因为cos a=,cos c=,所以sin a=sin c=sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c因为所以ab=故索道ab的长为1 040米.(2)设乙出发t分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.设乙出发t分钟后到达e点,此时甲到达f点,如图,连接ef,则ae=130t,af=50(t+2).在eaf中,因为cos a=,所以ef2=ae2+af2-2aeafcos a=(130t)2+50(t