（全国通用）高考数学 单元评估检测(三).doc

单元评估检测(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;若sin=sin,则与的终边相同;若cos0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()a.1b.2c.3d.4【解析】选a.由于第一象限角370不小于第二象限角100,故错;正确;由于sin =sin,但与的终边不相同,故错;当=,cos=-10,cos0,所以sin c=,故tan c=,又因为a=-(b+c),所以tan a=tan-(b+c)=-tan(b+c)因为a(0,),所以a=.5.(2015眉山模拟)函数f(x)=2sin(x+)(0,- )的部分图象如图所示,f(x)的图象左移个单位得到g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可以是()a.x=0b.x=c.x=d.x=-【解析】选d.由图象可知,即函数的最小正周期t=,所以=2,因为即sin(+)=1,所以+= +k,kz,即=- +k,kz,因为-,所以=-,即f(x)=2sin(2x-),将f(x)的图象左移个单位得到g(x)的图象,则g(x)=f(x+)=2sin(2x+-)=2cos(2x-),由2x-=k,kz,解得x=,所以当k=-1时,x=-,故选d.6.(2015厦门模拟)在不等边abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(b+c)sin2b+sin2c,则角a的取值范围为()【解析】选d.因为b+c=-a.所以sin2(b+c)=sin2a,所以sin2asin2b+sin2c,由正弦定理,得a20.所以a为锐角,即0ab,ac,a+b+c,即a,故a0,0,0)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是()a.-5安b.5安c.5安d.10安【解题提示】先由图象求函数的解析式,再由解析式解答.【解析】选a.由图象可知,a=10,t=,所以t=,即=100,故i=10sin(100t+),代入点(,10),得10=10sin(+),即sin(+)=1,因为0,所以=,所以i=10sin(100t+),当t=时,i=10sin(+)=-5(安).故选a.【一题多解】本题还可如下求解:选a.由图象知图象与x轴的一个交点为结合图象易知当t=时,i0,|)的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后所得图象对应的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()a.关于点(,0)对称b.关于点(,0)对称c.关于直线x=对称d.关于直线x=对称【解析】选c.f(x)=sin(x+)的最小正周期为,则=2,即f(x)=sin(2x+).向右平移个单位后,所得函数为g(x)=sin2(x-)+=sin2x+(-),又因为g(x)为奇函数,|0,|)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只要将f(x)的图象()a.向左平移个单位长度b.向右平移个单位长度c.向左平移个单位长度d.向右平移个单位长度【解析】选a.由图象可知a=1, ,所以t=,又t=,所以=2,即f(x)=sin(2x+).又=-1,所以+=+2k,kz,即=+2k,kz,所以=,即f(x)=sin(2x+).因为g(x)=cos 2x=sin(+2x)=sin2(x+)+ ,所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象.10.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(|),若f(x)恒成立,则f(x)的一个单调递减区间是()【解题提示】先由题意求的值,再根据其解析式求f(x)的单调递减区间.【解析】选a.由题意得=-2,即-2sin(+)=-2,sin(+)=1.因为|,所以=,故f(x)=-2sin(2x+),由2k-2x+2k+,得k-xk+,所以f(x)的单调递减区间是k-,k+(kz),故a正确.11.如图,正方形abcd的边长为1,延长ba至e,使ae=1,连接ec,ed,则sinced=()【解析】选b.因为四边形abcd是正方形,且ae=ad=1,所以aed=.在rtebc中,eb=2,bc=1,所以sinbec=,cosbec=.sinced=sin(-bec)=cosbec-sinbec12.(2015长沙模拟)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则c=()【解题提示】切化弦化简已知条件求a,由正弦定理求sin c,进而求c.【解析】选b.因为所以因为所以 ,即cos a=,所以a=,因为a=2,c=2,由正弦定理,得sin c=因为ca,所以ca=,故c=.【误区警示】解答本题易误选c,出错的原因是忽视角c的取值范围,解题时要注意挖掘题中隐含的条件.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知sin sin x+coscos x=,则锐角x=.【解析】因为cos =cos(-)=-cos,所以sinsin x-coscos x=,即-cos(+x)=,cos(x+)=-,因为x是锐角,所以x+=,即x=.答案: 14.(2015石家庄模拟)若函数f(x)=sin(3x+),满足f(a+x)=f(a-x),则f(a+)的值为.【解析】易知x=a为对称轴,所以f(a)=sin(3a+)=1,则f(a+)=sin(3a+)=cos(3a+)=0.答案:0【一题多解】本题还可如下解答:因为x=a为对称轴,又f(x)的周期是,故x=a+是与x=a相邻的对称轴,而x=a+是两相邻对称轴中间的f(x)的零点.即f(a+)=0.答案:015.(2015天津模拟)在abc中,若asin bcos c+csin bcos a=b,且ac=4,则abc的面积为.【解析】由正弦定理,得sin asin bcos c+sin csin bcos a=sin b,因为sin b0,所以sin acos c+cos asin c=,即sin(a+c)= ,因为b=-(a+c),所以sin b=,因为ac=4,所以s=acsin b=1.答案:116.(2015杭州模拟)在abc中,c=90,m是bc的中点.若sinbam=,则sinbac=.【解题提示】数形结合法.结合题意,画出图形,结合图形,用正弦定理和勾股定理求解.【解析】如图:设ac=b,ab=c,bc=a,在abm中由正弦定理得,因为sinbma=sincma=,又ac=b=,am=所以sinbma=又由得 ,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以sinbac=答案: 【加固训练】在abc中,2sin2=sin a,sin(b-c)=2cos bsin c,则=.【解析】2sin2=sin a1-cos a=sin asin(a+)= ,又0a,所以a+,所以a+=,所以a=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc,将sin(b-c)=2cos bsin c展开,得sin bcos c=3cos bsin c,所以将其角化边,得b=3c,即2b2-2c2=a2将代入,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3-1=0,解得或 (舍),所以答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015北京模拟)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x),xr.(1)求f(x)的最小正周期及值域.(2)求f(x)的单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=cos x(sin x+cos x)=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,所以最小正周期t=.因为xr,所以-1sin(2x+)1.所以-sin(2x+)+.所以f(x)的值域为-,.(2)由- +2k2x+2k,得-+2k2x+2k.即- +kx+k.所以函数f(x)的单调递增区间为-+k, +k(kz).【加固训练】已知函数f(x)=sin x+cos(x-).(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若函数f(x)的图象过点(,),.求f(+)的值.【解析】(1)由题意得,f(x)= sin x+cos(x-)= sin x-cos x=2sin(x-),因为-1sin(x-)1,所以函数f(x)的值域为-2,2,函数f(x)的周期为2.(2)由题得,因为函数f(x)过点(, ),所以f()= 2sin(-)=sin(-)=,因为,所以0-0cos(-)所以f(+)=2sin=2sin(-)+)=2sin(-)cos+2cos(-)sinf(+)=,综上,f(+)=.18.(12分)(2015泰安模拟)在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边.已知a=2,a=.(1)若b=2,求角c的大小.(2)若c=2,求边b的长.【解析】(1)由正弦定理得,解得sin b=.由于b为三角形内角,b0,所以b=4.【一题多解】本题(2)还可如下解答:由于,所以,解得sin c=.由于ac,所以c=.由a=,得b=.由勾股定理b2=c2+a2,解得b=4.19.(12分)(2015兰州模拟)已知向量a=(sin,cos),b=(6sin+cos,7sin-2cos),设函数f()=ab.(1)求函数f()的最大值.(2)在锐角三角形abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,f(a)=6,且abc的面积为3,b+c=2+3,求a的值.【解析】(1)f()=ab=sin(6sin+cos)+cos(7sin-2cos)=6sin2-2cos2+8sincos=4(1-cos 2)+4sin 2-2=4sin(2-)+2.所以f()max=4+2.(2)由(1)可得f(a)=4sin(2a-)+2=6,sin(2a-)=,因为0a,所以-2a-,所以2a-=,所以a=.因为sabc=bcsin a=bc=3,所以bc=6,又b+c=2+3,所以a2=b2+c2-2bccos a=(b+c) 2-2bc-2bc=(2+3) 2-12-26=10.所以a=.20.(12分)(2015重庆模拟)设mr,函数f(x)=cos x(msin x-cos x)+cos2(-x)满足f(-)=f(0).(1)求f(x)的单调递减区间.(2)设锐角abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且,求f(a)的取值范围.【解题提示】(1)先化简f(x)的解析式,并由条件确定m的值,再求单调区间.(2)在锐角abc中,根据题目的条件确定角a的范围,最后求f(a)的范围.【解析】(1)f(x)=cos x(msin x-cos x)+cos2(-x)=msin xcos x-(cos2x-sin2x)=sin 2x-cos 2x,由f(-)=f(0),得-=-1,解得m=2,所以f(x)= sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),由2k+2x-2k+,得k+xk+,kz,所以,f(x)的单调递减区间为k+,k+(kz).(2)因为,由余弦定理得:即2acos b-ccos b=bcos c,由正弦定理得:2sin acos b-sin ccos b=sin bcos c,2sin acos b=sin(b+c)=sin a,得cos b=,所以b=,因为abc为锐角三角形,所以a,2a-,所以,f(a)=2sin(2a-)的取值范围是(1,2.21.(12分)如图,a,b是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于a点北偏东45,b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号,位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达d点需要多长时间?【解题提示】已知速度,要求时间,只要求出路程,即cd的长即可;再观察cd所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.【解析】由题意知ab=5(3+)海里,因为dab=90-45=45,dba=90-60=30,所以adb=180-(45+30)=105,在adb中,由正弦定理,得所以db= 又因为dbc=dba+abc=30+(90-60)=60,所以在dbc中,由余弦定理,得cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc=300+1 200-21020=900,所以cd=30(海里),所以需要的时间t=1(小时),即救援船到达d点需要1小时.22.(12分)如图,在等腰直角opq中,poq=90,op=2,点m在线段pq上.(1)若om=,求pm的