（全国通用）高考数学 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算练习.doc

课时提升作业(四十五)空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()a.ab,acb.ab,acc.ac,abd.以上都不对【解析】选c.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以ac.又ab=(-2)2+(-3)0+14=0,所以ab.2.(2015中山模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于()a.627b.637c.647d.657【解析】选d.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,则存在实数x,y使c=xa+yb,即2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=,解得=657.故选d.【加固训练】(2014洛阳模拟)o为空间任意一点,若op=34oa+18ob+18oc,则a,b,c,p四点()a.一定不共面b.一定共面c.不一定共面d.无法判断【解题提示】根据op=xom+yoa+zob(x+y+z=1)p,m,a,b四点共面判断.【解析】选b.因为op=34oa+18ob+18oc,且34+18+18=1,所以a,b,c,p四点共面.3.在正方体abcd-a1b1c1d1中,给出以下向量表达式:(a1d1-a1a)-ab;(bc+bb1)-d1c1;(ad-ab)-2dd1;(b1d1+a1a)+dd1.其中与向量bd1相等的是()a.b.c.d.【解析】选a.(a1d1-a1a)-ab=ad1-ab=bd1;(bc+bb1)-d1c1=bc1-d1c1=bd1;(ad-ab)-2dd1=bd-2dd1bd1;(b1d1+a1a)+dd1=b1d+dd1=b1d1bd1,综上,符合题意.4.(2015长沙模拟)若a(x,5-x,2x-1),b(1,x+2,2-x),当|ab|取最小值时,x的值为()a.19b.-87c.87d.1914【解析】选c.|ab|=(1-x)2+(2x-3)2+3(1-x)2=14x-872+57,所以当x=87时,|ab|min=357.5.设a,b,c,d是空间不共面的四个点,且满足abac=0,adac=0,adab=0,则bcd的形状是()a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.无法确定【解题提示】通过bcbd,dbdc,cbcd的符号判断bcd各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选c.bcbd=(ac-ab)(ad-ab)=acad-acab-abad+ab2=ab20,同理dbdc0,cbcd0.故bcd为锐角三角形.【加固训练】(2014太原模拟)如图所示,pd垂直于正方形abcd所在平面,ab=2,e为pb的中点,cos=33,若以da,dc,dp所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点e的坐标为()a.(1,1,1)b.1,1,12c.1,1,32d.(1,1,2)【解析】选a.由已知得d(0,0,0),a(2,0,0),b(2,2,0),设p(0,0,a)(a0),则e1,1,a2.所以dp=(0,0,a),ae=-1,1,a2,|dp|=a,|ae|=(-1)2+12+a22=2+a42=8+a22.又cos=33,所以0(-1)+01+a22a8+a22=33,解得a2=4,即a=2,所以e(1,1,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a(a+b),则y的值为.【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a(a+b),所以a(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知长方体abcd-a1b1c1d1中,da=dd1=1,dc=2,点e是b1c1的中点,建立空间直角坐标系dxyz如图所示,则|ae|=.【解题提示】确定a,e的坐标,可得ae的坐标,然后求出ae的长度.【解析】由题意长方体abcd-a1b1c1d1中,da=dd1=1,dc=2,点e是b1c1的中点,则a(1,0,0),e12,2,1,所以ae=-12,2,1,所以|ae|=-122+(2)2+12=132.答案:1328.(2015天津模拟)已知abcd-a1b1c1d1为正方体,(a1a+a1d1+a1b1)2=3a1b12;a1c(a1b1-a1a)=0;向量ad1与向量a1b的夹角是60;正方体abcd-a1b1c1d1的体积为|abaa1ad|.其中正确的序号是.【解析】中,(a1a+a1d1+ a1b1)2= a1a2+a1d12+a1b12=3a1b12,故正确;中,a1b1-a1a=ab1,因为ab1a1c,故正确;中,两异面直线a1b与ad1所成的角为60,但ad1与a1b的夹角为120,故不正确,中,|abaa1ad|=0,故也不正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)计算3a-2b及ab.(2)求实数的值,使a+2b与c垂直.【解析】(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).ab=32+51-48=-21.(2)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以a+2b=(3+4,5+2,-4+16),因为(a+2b)c,所以(a+2b)c=0.因为c=(0,0,1),所以0+0-4+16=0,解得=4.10.(2015唐山模拟)已知空间三点a(-2,0,2),b(-1,1,2),c(-3,0,4),设a=ab,b=ac.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,cbc,求c的坐标.【解析】(1)因为ab=(1,1,0),ac=(-1,0,2),所以ab=-1+0+0=-1,|a|=2,|b|=5.所以cos=-125=-1010.(2)bc=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,cbc,所以x2+y2+z2=3,存在实数使得c=bc,即x=-2,y=-,z=2,联立解得x=-2,y=-1,z=2,=1或x=2,y=1,z=-2,=-1,所以c=(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2015宜宾模拟)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()a.-1b.43c.53d.75【解析】选d.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0,解得k=75.2.(5分)二面角-l-为60,a,b是l上的两点,ac,bd分别在半平面,内,acl,bdl,且ab=ac=a,bd=2a,则cd的长为()a.2ab.5ac.ad.3a【解题提示】选ca,ab,bd为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选a.因为acl,bdl,所以=60,且acba=0,abbd=0,所以cd=ca+ab+bd,所以|cd|=(ca+ab+bd)2=a2+a2+(2a)2+2a2acos120=2a.3.(5分)(能力挑战题)如图,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1内(含正方体表面)任取一点m,则aa1am1的概率p=.【解析】由题知正方体的体积为v=8,以a为原点建立空间直角坐标系,ab为x轴,ad为y轴,aa1为z轴.那么a(0,0,0),a1(0,0,2),设m(x,y,z),那么x,y,z0,2,所以am=(x,y,z),aa1=(0,0,2),aa1am1,即2z1,z12.即点m与平面abcd的距离大于等于12,点m的轨迹是正方体的34,其体积为v1=348,则aa1am1的概率p为34.答案:344.(12分)(2014长春模拟)已知空间三点a(0,2,3),b(-2,1,6),c(1,-1,5).(1)求以ab,ac为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=3,且a分别与ab,ac垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:ab=(-2,-1,3),ac=(1,-3,2),所以cos=abac|ab|ac|=-2+3+61414=714=12.所以sin=32,所以以ab,ac为边的平行四边形的面积为s=212|ab|ac|sin=1432=73.(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0.解得x=1,y=1,z=1.或x=-1,y=-1,z=-1.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).5.(13分)(2015太原模拟)如图,直三棱柱abc-a1b1c1,底面abc中,ca=cb=1,bca=90,棱aa1=2,m,n分别是a1b1,a1a的中点.(1)求bn的模.(2)求cos的值.(3)求证:a1bc1m.【解析】如图,建立空间直角坐标系.(1)依题意得b(0,1,0),n(1,0,1),所以|bn|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.(2)依题意得a1(1,0,2),b(0,1,0),c(0,0,0),b1(0,1,2).所以ba1=(1,-1,2),cb1=(0,1,2),ba1cb1=3,|ba1|=6,|cb1|=5,所以cos=ba1cb1|ba1|cb1|=11030.(3)依题意,得c