单自由度体系的振动分析.ppt

结构动力学 2007 8 structuraldynamics 2 单自由度体系的振动分析 2 1不计阻尼自由振动 自由振动 由初位移 初速度引起的 在振动中无动荷载作用的振动 分析自由振动的目的 确定体系的动力特性 频率 周期 一 运动方程及其解 阻尼 耗散能量的作用 m 令 二阶线性齐次常微分方程 其通解为 由初始条件 可得 令 其中 二 振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动 自振周期 自振园频率 自振频率 三 自振频率和周期的计算 1 计算方法 1 利用计算公式 2 利用机械能守恒 3 利用振动规律 位移与惯性力同频同步 幅值方程 其中 是沿质点振动方向的结构柔度系数 它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移 k 使质点沿振动方向发生单位位移时 须在质点上沿振动方向施加的力 st W 在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移 计算时可根据体系的具体情况 视 k st三参数中哪一个最便于计算来选用 自振周期计算公式 频率计算公式 一些重要性质 1 自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关 与外界的干扰因素无关 干扰力只影响振幅a 2 自振周期与质量的平方根成正比 质量越大 周期越大 频率越小 自振周期与刚度的平方根成反比 刚度越大 周期越小 频率越大 要改变结构的自振周期 只有从改变结构的质量或刚度着手 3 两个外形相似的结构 如果周期相差悬殊 则动力性能相差很大 反之 两个外形看来并不相同的结构 如果其自振周期相近 则在动荷载作用下的动力性能基本一致 三 自振频率和周期的计算 2 算例 例一 求图示体系的自振频率和周期 解 例二 求图示体系的自振频率和周期 解 例三 质点重W 求体系的频率和周期 解 例四 求图示体系的自振频率和周期 解 1 能量法 2 列幅值方程 A 求图示体系的频率 解 单自由度体系 例 图a所示结构频率为 i 求图b所示结构频率 解 图b体系为并联弹簧 其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和 k k1 k2 k3 例 图a所示结构周期为Ti 求图b所示体系周期 解 图b体系为串联弹簧 其柔度 刚度系数k的倒数 等于各弹柔度 i 簧刚度系数ki的倒数 之和 例 图a所示体系中 已知横梁B端侧移刚度为k1 弹簧刚度为k2 求竖向振动频率 解 体系可简化为图b所示的串联弹簧体系 竖向振动频率为 例 图示三根单跨梁 EI为常数 在梁中点有集中质量m 不考虑梁的质量 试比较三者的自振频率 解 1 求 3l 16 5l 32 l 2 据此可得 1 2 3 1 1 512 2 结构约束越强 其刚度越大 刚度越大 其自振动频率也越大 2 2简谐荷载作用下的受迫振动 不计阻尼 一 运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程 受迫振动 动荷载引起的振动 P 荷载幅值 荷载频率 运动方程 或 通解 其中 设 代入方程 可得 通解为 二 纯受迫振动分析 荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 动力系数 稳态振幅 频比 共振 增函数 减函数 为避开共振一般应大于1 25或小于0 75 共振区 若要使振幅降低 应采取何种措施 通过改变频比可增加或减小振幅 应使频比减小 增加结构自频 增加刚度 减小质量 应使频比增大 减小结构自频 减小刚度 增大质量 例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图 已知 三 动位移 动内力幅值计算 计算步骤 1 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移 内力 2 计算动力系数 3 将得到的位移 内力乘以动力系数即得动位移幅值 动内力幅值 解 例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知 解 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时 由于体系上各截面的内力 位移都与质点处的位移成正比 故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数 只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可 动荷载不作用于质点时的计算 令 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗 运动方程 稳态解 振幅 列幅值方程求内力幅值 解 例 求图示体系振幅 动弯矩幅值图 已知 动弯矩幅值图 解 例 求图示体系右端的质点振幅 o 例 图示梁跨中有一集中质量 不计梁得质量 右端作用一力偶 试求B点的最大动位移 解 用柔度法求解 假设位移向下为正 列位移方程有 分别作对应的弯矩图 求系数 将系数代入方程 整理得 其中 在平稳阶段 任一时刻B点的位移为 B点的最大动位移为 作业 一 阻尼与阻尼力 阻尼 使振动衰减的作用 阻尼产生原因 材料的内摩擦 连接点 支承面等处的外摩擦及介质阻力等 c 阻尼系数 2 3阻尼对振动的影响 阻尼力 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比 方向与速度相反 二 计阻尼自由振动 1 运动方程及其解 令 运动方程 设 特征方程 根为 令 方程的通解为 由初始条件 不振动 临界阻尼系数 阻尼比 不振动 小阻尼情况 临界阻尼情况 超阻尼情况 2 振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 振动是衰减的 对数衰减率 利用此式 通过实验可确定体系的阻尼比 上式也可写成 例 对图示体系作自由振动试验 用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm 用力16 4kN 将绳突然切断 开始作自由振动 经4周期 用时2秒 振幅降为1cm 求 1 阻尼比2 刚度系数3 无阻尼周期4 重量5 阻尼系数 6 若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少 解 1 阻尼比 2 刚度系数 3 无阻尼周期 4 重量 5 阻尼系数 6 若质量增加800kg 体系的周期和阻尼比为多少 三 计阻尼简谐荷载受迫振动 1 运动方程及其解 设 或 通解 初位移 初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量 称为伴随自由振动 纯受迫振动 2 阻尼对振幅的影响 在平稳阶段 随增大而减小 阻尼在共振区内影响显著 在共振区外可不计阻尼 的最大值并不发生在 位移滞后于荷载 3 动内力 动位移计算 除动力系数计算式不同外 其它过程与无阻尼类似 例 图示为块式基础 机器与基础的质量为 地基竖向刚度为 竖向振动时的阻尼比为机器转速为N 800r min 其偏心质量引起的离心力为P 30kN 求竖向振动时的振幅 解 将荷载看成是连续作用的一系列冲量 求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移 2 4一般动荷载作用时