高中数学 第一章 立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积和体积练习（含解析）苏教版必修2.doc

1.3空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的体积为_【答案】2【解析】由底面周长为2可得底面半径为1，s底r2，vs底h2.2. 若在三棱锥pabc中，pa底面abc，pa3，底面abc是边长为2的正三角形，则三棱锥pabc的体积等于_【答案】【解析】依题意有，三棱锥pabc的体积vsabcpa23.3. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则2r1h12r2h2，所以.又，所以.所以.4. 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_【答案】【解析】由体积相等得：考点：圆柱及圆锥体积5. 如图，在矩形abcd中，e为边ad的中点，ab1，bc2，分别以a，d为圆心，1为半径作圆弧eb，ec(e在线段ad上)若由两圆弧eb，ec及边bc所围成的平面图形绕直线ad旋转一周，则所形成的几何体的体积为_【答案】.考点：旋转体的组合体.6. 如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为_【答案】【解析】三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.7. 已知一个圆锥的侧面展开图(扇形)恰好是一个半圆的四分之三，若此扇形的面积为s1，圆锥的表面积为s2，则s1s2_【答案】811【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2rl，则lr，所以s1r2，s2r2r2r2，因此s1s2811.8. 如图，等边三角形abc的边长为4，m，n分别为ab，ac的中点，沿mn将amn折起，使点a到a的位置若平面amn与平面mncb垂直，则四棱锥amncb的体积为_【答案】3【解析】 平面amn与平面mncb垂直，根据面面垂直的性质定理，可知ae就是四棱锥amncb的高，ae.又四棱锥的底面面积是3 ， v33.点睛:处理翻折问题关注那些量变了，那些量没有变，特别是那些没有变，在本题中，ae与mn始终保持垂直，利用面面垂直性质，可知ae就是四棱锥amncb的高，从而易得四棱锥的体积.处理多面体体积问题往往转化为三棱锥体积，而三棱锥哪个面都可以作为底面，处理体积非常灵活.9. 若长方体的长、宽、高分别为2a，a，a的长方体的8个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_【答案】6a2【解析】由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线长为a. 2ra， s球4r26a2.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4r2a2b2c2求解10. 如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球(球的直径大于8 cm)放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.【答案】【解析】作出该球轴截面的图形，如图所示，依题意得be2，aece4，设dex，故ad2x，因为ad2ae2de2，解得x3，故该球的半径ad5，所以vr3 (cm3)二、 解答题11. 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac5，bb1bc6，d，e分别是aa1和b1c的中点(1) 求证：de平面abc；(2) 求三棱锥ebcd的体积【答案】（1）详见解析；（2）12.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接和，可以证明四边形是平行四边形，进而，再由直线和平面平行的判定定理可证明平面；（2）利用“等积变换”可得试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以，且由题意知，而是的中点，所以所以四边形是平行四边形所以又平面平面，所以平面（2）因为，所以平面所以由（1）知，平面所以考点：1、线面平行的判定定理；2、直线和平面所成角的定义及求法；3、利用等积变换求三棱锥体积【方法点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和利用等积变换求三棱锥体积，属于难题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面本题（1）是就是利用方法证明的12. 在直三棱柱abca1b1c1中，abaa1，cab.(1) 求证：cb1ba1；(2) 已知ab2，bc，求三棱锥c1aba1的体积【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连结ab1，则acba1.，又abaa1，四边形abb1a1是正方形，ba1ab1，由直线与平面垂直的判定定理可的ba1平面cab1，故cb1ba1.（2）首先求出a1c1的值，由(1)知，a1c1平面aba1，即a1c1是三棱锥c1aba1的高，然后在求出aba1的面积，最后根据棱锥的体积公式求解即可.试题解析：解：(1)证明：如图，连结ab1，abca1b1c1是直三棱柱，cab，ac平面abb1a1，故acba1. 3分又abaa1，四边形abb1a1是正方形，ba1ab1，又caab1a.ba1平面cab1，故cb1ba1. 6分(2)abaa12，bc，aca1c11， 8分由(1)知，a1c1平面aba1， 10分vc1aba1saba1a1c121. 12分考点：1.直棱柱的性质和直线与平面垂直的判定；2.棱锥的体积.13. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)(1) 如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，那么该沙漏的一个沙时约为多少秒(精确到1 s)?(2) 细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1 cm)【答案】（1）沙全部漏入下部约需1 985 s；（2）约为