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计算行列式的若干方法摘要：行列式是数学分支中一个非常重要的内容，其应用范围非常广泛，而应用行列式理论的前提就是能熟练地掌握行列式的计算方法，这也是整个代数分支的重点和难点。计算行列式有许多种方法，但是往往可以根据所求行列式的特征来选取不同的计算方法，从而提高解题效率。本文列举了一些计算行列式的方法包括定义法、对角线法、化成三角形行列式法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并对不同的计算方法适用于什么情形进行简单总结。关键词：行列式 定义法 升降阶法 析因子法Several methods for calculating determinantAbstract: The determinant in mathematics branch is a very important content. Its application scope is widespread, but the premise of application determinant theory can grasp the computational method of the determinant skilled. This is also the key point and the difficulty in the entire algebra branch. The computation determinant has many methods. But it often may select the different computational methods according to asking the determinants characteristics. Thus it can raises the efficiency for problem solving. This article has enumerated the following several computation determinant methods: the definition method, the diagonal method, the triangle reduction, making up the ranks method, the depression area, separation method,and the mathematics software method. Then it concluded the suitable method to the different computational methods in any situation carries.Keywords: Determinant Definition method Lift-order method Separation method行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，时至今日，行列式理论的应用却远远超出了解线性方程组的范围，成为了数学、物理学等自然学科中的基本工具，例如在数学分析中积分的变量替换、物理学中求解星体运动方程组中均普遍应用，而这诸多应用最终都离不开行列式的计算。本文主要探讨行列式的计算方法，由于行列式的计算方法多种多样，并不是唯一的，如果不能根据行列式的特点来选择不同的计算方法，可能会导致计算过程复杂、效率低下，故本文在此对行列式的计算方法进行总结归纳，列举了以下几种计算行列式的方法：定义法、对角线法、三角化法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并通过若干典型例题介绍行列式计算中的一些技巧。1.定义法及其变形1.1定义法定义法就是根据行列式的定义来求值，此方法可以计算任意行列式，但是对于一些复杂的行列式，用定义法来计算往往会比较麻烦。定义1 阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，这里的是的一个排列，其每一项所带有的符号由以下规律决定：当是偶排列时，的前面带有正号，当为奇排列时该项的前面带有负号。此定义可写成：，这里的为排列的逆序数，表示对所有阶排列求和。当一个行列式各行（列）中存在较多的零元素时，由行列式的定义可知，不同行不同列可取的元素就非常有限，此时用定义法就可以很方便地计算出行列式的结果。下面看一个用定义法计算行列式的例子：例1 计算解 此为一个四阶行列式，其展开式项数为，由于出现了很多零元素，所以不等于零的项数就减少了很多。由定义知展开式中项的一般形式为，当时，从而只须考虑的项，同理只须考虑这些列指标对应的项，则展开式中不为零的项只有这一项。又因为故.一般来讲，所有的行列式都可以运用定义法求值，但对某些高阶行列式来说计算过程会很繁琐，因此，只有当一个行列式中出现较多的零元素时，我们才考虑运用定义法，而对于其他的一些行列式，则可根据它的特点，考虑采用后面的方法。1.2对角线法在学习使用对角线法计算行列式时，首先应先了解下主次对角线的概念。参看下图，在这样一个2阶行列式中，把到的实联线称为主对角线，到的虚联线称为副主对角线。用对角线法计算行列式主要适用于2阶、3阶等低阶行列式，由行列式的定义，用行列式主对角线上的元素的乘积减去副主对角线上的元素的乘积即为该行列式的值。当我们计算2阶或3阶行列式时，优先使用此方法。例2 求解 题中是一个2阶行列式，分析知-2，4是主对角线上的元素，-3，2是副主对角线上的元素。则由对角线法有：.例3 求解 题中是一个3阶行列式，分析知-2，-1，5；3，4，2；-4，2，1分别是三条主对角线上的元素，1，-1，2；3，-4，5；4，3，-2分别是副主对角线上的元素。则由对角线法有： 用对角线法来计算行列式的值主要适用于2阶、3阶等低阶行列式求值的情形，当行列式的阶数较高时，不推荐使用此方法来求解。 1.3三角化法定义2 令，其中未写出的元素都是0.我们称这样的行列式为对角行列式。由行列式的定义可以得知，对角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。主对角线以下（上）的元素都为0的行列式称为上（下）三角形行列式，由行列式的定义，它的值与对角行列式一样，等于主对角线上元素的乘积。三角化法又称化成三角形行列式法，就是利用行列式的性质对行列式进行变换，先将其某一行（列）全部化为1，再利用该行（列）将此行列式化为三角形行列式，这样就可以直接将主对角线上的元素相乘，所得乘积就是行列式的值。但有些时候此过程是很麻烦的，若行列式具有以下特点：（a）行列式中各行元素之和是相等的；（b）各列元素除一个以外也是相等的，则用化成三角形行列式法比较简单。下面看一个例子：例4 求解 观察所求行列式不难发现以下特点:各行元素之和是相等的，即为5；各列元素除一个2以外都是相等的即为1。则有：化成三角形行列式法的基本解题思路即是：将各行（列）均加至第一行（列），得到某一行（列）元素相等的行列式，提取因子，得到一行（列）均为1的新行列式，再将其化为上（下）三角形行列式，从而很容易得到结果。2.升降阶法2.1降阶法计算高阶行列式的一个核心思想就是降阶，所以降阶法是行列式计算中非常常用也非常重要的一种方法。将行列式按行（列）展开可以对行列式进行降阶，使用拉普拉斯定理也能达到较好的行列式降阶的目的。这里将降阶法分为以下两类：2.1.1一般降阶法.阶行列式等用于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：那么这种将行列式按某一行（列）展开的将高阶转化为低阶进而求值的方法，叫做降阶法。下面看一个具体的例子：例5 求解 将此行列式按第一行展开，得：.对题目中的行列式也可以使用拉普拉斯定理来展开降阶从而求解，只是过程没有上述那么简单快捷。2.1.2递推降阶法.递推降阶法是根据所求行列式的特点，构建出阶行列式与阶（或更低阶）行列式之间的递推关系，进而利用此递推关系求解出行列式的方法。常见的有以下两类：（a） ，为常数则有即（b） ，此时设为方程的两个根，于是有代入可得即：那么 则同理有当时，可得当时，可得则有进一步有 从而递推得下面看一个用降阶法求解行列式的例子：例6 求阶行列式解 将按第1行展开，有：即 递推得 这里 代入有又因中对称，故有当时，在(5)(6)式中消去，得当时， 此题在降阶法的解题的基础上，灵活运用了对称法，对称法是常用的一种解决具有对称关系的数学问题的方法。下再看一个用降阶法求解行列式的例子：例7 求解 将按第一行展开得，设是方程的两个根，则有由(7)式：其中 故.在阶行列式与阶（或更低阶）行列式之间，能比较容易找到它们之间的递推关系式时，我们优先使用递推降阶法来计算行列式的值。使用此方法要求我们能找到相关递推关系式，并熟悉推导过程。2.2补行列法（升阶法）补行列法是在计算行列式时，通过增加一阶即在原行列式的基础上增加一行一列，并同时保证其值不变，进而比较容易地计算出该行列式值的方法。补行列法计算行列式的思想就是升阶。例8 求阶行列式解 =.观察知此题中所求行列式与例4中行列式具有相同的特点：各行元素之和是相等的；各列元素除一个以外也是相等的，所以本题也可以考虑使用化成三角形行列式法来计算求解。用补行列法计算行列式的值时，可以根据不同情况适当地增加一行一列或者多行多列，在保证行列式值不变的前提下，尽量使升阶以后的行列式更加容易计算。3.几种特殊方法3.1析因子法此方法计算行列式的主要思想是：如果所求行列式中含有未知数，那么此行列式展开后将得到一个关于的多项式，且在取某个值如时能使此行列式的值为零。那么由多项式的整除理论可以得知，该行列式一定能被这个线性因子整除，于是该行列式的值就可以通过找出其所有的因子并求出待定系数而计算出。例9 求解 将行列式看成是关于的多项式，则当时，有两行相同，故，同理当时，即：,因此具有因子，故可设，当时有即故.析因子法通常又称待定系数法，在行列式展开后得到的多项式的因子较为明显时，使用这种方法较为快捷，在找出因子后，设出待定系数，利用代入法便可求出此多项式即行列式的值。3.2数学软件法合理利用MATLAB等数学软件可以准确快速对行列式进行计算。一般地，在条件允许的情况下，利用某些数学软件可以快速计算出一些行列式如纯数字行列式的值。如若计算行列式的值，可以按照以下步骤进行：（1） 运行打开MATLAB，将光标定位在命令窗口，键入命令如下： （2） 敲击回车（Enter键）即可迅速得到该行列式的的值，显示结果如下：随着电子科技的迅速发展，计算机的运算速度也在以几何速度增加，合理运用数学软件来进行复杂行列式计算不仅可以提高效率，还可以大大保证正确率。事实上任意的一个行列式都可以用数学软件进行计算，尤其是在计算一些实际问题的大型行列式时，数学软件法的优势就更加突显出来。行列式理论在各个应用领域中的重要作用是毋庸置疑的，在高等数学中，行列式的应用主要是在线性方程组中的应用、用来判别非奇异矩阵、用来计算矩阵的秩、Jacobi行列式在隐函数组中的应用等等，而应用行列式的前提是如何求解出行列式的值。由于行列式大都具备鲜明的特点，因此它的求解存在很多的技巧性。本文简要地列举了行列式计算中的几种方法，如定义法，升降阶法，析因子法等等，当然还有别的方法比如微积分法、数学归纳法、乘积法等等这里就不一一列举了。正是由于计算行列式的方法众多，因此在解题过程中通过观察行列式的具体特征来选择合适的求解方法是很有必要的。在选择方法时需仔细审查所给行列式的特点后，尽可能把它化归到我们最熟悉的形式上。参考文献：1张禾瑞，郝新.高等代数M.北京：高等教育出版社，1983.130.2北京大学数学系.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.56-57.3钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.4黎伯堂，刘桂真.高等代数解题技巧与方法M.济南：山东科学技术出版社，2001.4-5. 5徐仲