论文不等式在中学数学教学中的应用--2017.4.15.doc

柯西不等式在中学数学中的应用摘 要柯西不等式是非常有用的，在许多领域，特别是在不等式方程的证明、求解方程和不等式、甚至在函数的变量取值范围和函数最值以及几何方面，若巧用它，可以让一些疑难问题的解决非常容易。 自从第二十一世纪以来，随着素质教育的不断推行，新课程不断的进行改革：2003教育部制定了普通高中数学课程标准（实验），从2008年起，全国各省使用标准的教材进行教学。随着新课程概念的不断推行，柯西不等式编入了人教版选修 4-5不等式选讲,从那时起,柯西不等式已经进入了学生的教学课堂。作为选修内容的柯西不等式,不仅扩大学生的知识结构,而且提高了学生的思维能力。与此同时,也带来了教育工作者提出来了一个新的挑战。 通过查阅相关文献，我们发现柯西在高中数学中的应用不仅集中在解决问题上，此外，在教育价值方面，挖掘的深度不够，系统性的研究很缺少。本文给出了柯西不等式的各种表达式。其次，用不同的方法证明了柯西不等式，并进行了例题的讲解。最终，本文论述了新课程标准中柯西不等式的教育价值以及柯西不等式的思想。关键词：柯西不等式，不等式，函数，方程，几何 AbstractCauchy inequality is very useful, in many areas, especially in inequality proof, equation solving equations and inequalities, even in the range of variable value function and the value function and geometry, if using it to solve some difficult problems very easily.Since the twenty-first century, with the continuous implementation of quality education, the new curriculum to reform: 2003 the Ministry of education formulated the ordinary high school mathematics curriculum standard (Experiment), from 2008 onwards, the provinces using the standard for teaching. With the continuous implementation of the concept of the new curriculum, Cauchy inequality into the PEP version of elective 4-5 - inequality election, since then, the Cauchy inequality has entered the classroom teaching. As the content of the Cauchy inequality, not only expand the students knowledge structure, but also improve the students thinking ability. At the same time, it also brings a new challenge to educators.By consulting the relevant literature, we find that the application of Cauchy in high school mathematics is not only focused on solving the problem, in addition, in the aspect of educational value, the depth of excavation is not enough, and the systematic research is lack. In this paper, various expressions of Cauchy inequality are given. Secondly, Cauchy inequality is proved by different methods. Finally, this paper discusses the educational value of Cauchys inequality in the new curriculum standard and the thought of the inequality of Cauchy.Key words: Cauchy inequality, inequality, function, equation, geometry目 录1 绪论11.1 研究背景和历史现状11.2 研究方法和内容11.3 研究目的和意义12相关理论概述32.1 柯西不等式32.2 柯西不等式的变形与推广32.3 柯西不等式的证明53 柯西不等式的应用83.1 引例83.2 利用柯西不等式来证明恒等式83.3 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）93.4 柯西不等式证明不等式103.5 用柯西不等式证明条件不等式123.6 利用柯西不等式求函数的极值133.7 利用柯西不等式解三角问题。153.8 求最值193.9 巧用柯西不等式的变形解题224 不等式中的数学思想244.1 转化思想244.2 数形结合思想244.3 联想思想254.4辩证思想255 结论26参考文献27谢 辞29III1 绪论1.1 研究背景和历史现状柯西不等式是法国数学家柯西在“流数”数学研究中得到的研究成果1。但从历史的角度看，不应该叫 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz不等式，因为人们将这一不等式应用到近乎完善的地步是在后两位数学家相互独立地在积分学推导之后。高中数学课程标准指出：“体味数学的科学价值、应用价值与人文价值，了解数学的美学价值，进一步提升自己的文化素养与创新意识2。”柯西不等式已经进入了新教材，步入了教师教学的课堂，可是我们着重强调柯西不等式在解决数学问题中的应用研究，对柯西不等式的教育价值，尤其是是在高中数学中重视度还不够，与此同时，柯西不等式的教育价值也缺少系统性的研究。此外，我们知道柯西不等式是一个不等式，我们要在解决不等式问题时使用频率较高，研究它的变形和使用技巧的文章很多。但是不等式在等式中的应用的研究却十分稀少。对柯西不等式等式应用的研究，可以充分显示柯西不等式的潜能。当前，对于柯西不等式在高中数学中的研究的深度不够。因此，本文对新课程的内容进行了深入的研究，发现其内在的意义，希望能为高中数学教学提供一些参考性的价值。1.2 研究方法和内容1文献研究法；国内外的比较有代表性的研究成果进行全面的研究分析，主要查阅期刊网中的文献及相关著述的书籍，进而把握柯西不等式在数学中应用的现状与历史 2描述性研究法；根据数学理论，结合自己的理解和验证，给予叙述并解释出来在论述过程中所得结论不够完整，为克服这一缺点，请教相关的专家 3分析结合法；分析与柯西不等式相关文献，综合柯西不等式在数学中的应用方法，在综合的基础上提出新的视角，新的方法 1.3 研究目的和意义1对柯西不等式在高中数学中的应用的进行完善。对柯西不等式的研究，可以提高学生自主探究数学问题的能力，同时对于掌握数学问题的立足点与基本思维方法至关重要。2通过本文深入的研究，可以为数学教学提供一些参考性价值。本文的研究具有一定的系统性，包含柯西不等式的表达形式与证明的方法，并通过对1984 -2016年高考，竞争（影响）中相关问题进行分类综合分析研究，并研究了相应问题的解决方法。3对学生如何看问题、思考问题与解决问题的数学方法进行培养,进而让数学学习成为探究性学习的过程，并领悟发现数学结论的过程。 4 借助于对柯西不等式的应用探索,加强学生的数学应用意识和掌握如何应用的基本结论方法。例如柯西不等式的应用,其关键在于如何为柯西不等式常用的形式,并注意相应的形式应该具备的条件,也就是说,柯西不等式的应用应该抓住解决问题的本质,抓住结构形式的变化或变形形式应用。 2相关理论概述2.1 柯西不等式（1）（一般形式） 等号当且仅当或时成立（k为常数，） （2） （n维形式） 对于任意实数，.,与，.,，有（+.）（+.）(+.)，当且仅当时等号成立。（3） （向量形式） 向量=（，.,），向量=（，.,），有，当且仅当和共线时成立。2.2 柯西不等式的变形与推广2.2.1变形变形1 设,有（）变形2 .+(,=1，2，3，.n）变形 3 设，,有，=（i=1,2,3,.n）是等号成立的充分且必要条件。变形 4 设，同号且0，i=1,2,3.n,有（）()(),等号成立的充要条件是=.=2.2.2 推广 在该不等式中令=，=，(i=1，2，3，.n)得推论1：若,(i=1，2，3，.n),则（）（当且仅当取等号）推论2：若a，b,01,则（当且仅当时取等号）2.3 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指 当且仅当时，等号成立.2.3.1 构造二次函数证明首先 当或时，不等式显然成立.令当中至少有一个不为零时，可知,构造形如下式子的二次函数：展开得故的判别式,移项得,得证.2.3.2 向量法证明令则对向量有得当且仅当，即平行式等号成立.2.3.3 数学归纳法证明a) 当n=1时 有，不等式成立.b) 当n=2时 因为，故有当且仅当，即时等号成立.c) 假设n=k时等式不成立，即当且仅当时等号成立.d) 那么当n=k+1时当且仅当时等号才成立.所以n=k+1时不等式成立.由a),b)c),d)可知，对于任意的自然数n，柯西不等式成立.2.4 解题技巧 下面介绍一些运用柯西不等式解决问题的解题技巧。 2.4.1 巧拆常数例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：分析：因为a、b、c均为正数，因此证结论正确只需证而 又2.4.2 重新安排某些项得次序 例：a、b为非负数，a+b=1， 求证：分析：因为不等号左边是两个二项式的乘积，a、b为非负的实数，对于左边的每一个二项式可以运用柯西不等式，但是直接做，会比较困难。仔细观察就可以发现，只要把两个括号的前后2项调换一下位置马上就能证明题设结论。2.4.3 改变结构例：若 求证：分析：刚开始看读者也许不知道从哪里下手，但是如果通过仔细的观察就可以发现，只要稍微改变一下，就可以运用柯西不等式。 结论改为2.4.4 添项例：分析：左端变形只需证此式即可。3 柯西不等式的应用3.1 引例下面是人教版高中数学下册“不等式”章节的课后习题中的一道题：求证：ac+bd*证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立；假设+0 且+0,则=1故ac+bd柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 或 其中等号当且仅当时成立（当时，认为3.2 利用柯西不等式来证明恒等式利用柯西不等式证明恒等式，有以下2种方法：1：用柯西不等式取等号的充分必要条件来证明的。2：用夹逼的方法并利用柯西不等式进行证明。 例、已知求证：。证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，于是 。3.3 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）例：解方程 。解： = 由柯西不等式知即 当上式取等号时有成立，即（无实根） 或，即，经检验，原方程的根为3.4 柯西不等式证明不等式例1：设a,b,c为正数且不相等到，求证：分析：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=，这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明：2a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。一些问题刚开始看起来，并不能使用柯西不等式，但是只要你仔细观察就可以发现，只要你做适当的变形就可以运用柯西不等式。例2：设求证：分析：这道题看起来并不能使用柯西不等式，但是稍微观察一下，就可以发现稍微变形一下就可以运用柯西不等式。证明：为了运用柯西不等式，我们将写成于是即故例3：求证：证明：由柯西不等式得其中等号当且仅当 ， 时成立。其中等号当且仅当 ， 时成立。例4 已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故3.5 用柯西不等式证明条件不等式例1：已知a,b，a+b=1,求证： 分析：经过观察可以发现，如果能够适当改变求证结论中形式，便可以利用柯西不等式进行求解。 证明： = = 。例2 设求证： （1984年全国高中数学联赛题）证明：通过观察可以发现如果在不等式左边乘因式，右边乘，由柯西不等式，得 于是 .3.6 利用柯西不等式求函数的极值 通过对题设要证明结论的变形，例如：添减项等，就可以很方便的运用柯西不等式解 决问题。例1 设非负实数满足求的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度题）解：易验证+1=同理可得+1=+1=令故+为了利用柯西不等式，注意到+=+等号当且公当时成立，从而有最小值例2 设都是正数，且求证： （1989年全国数学冬令营试题）证明：令由柯西不等式，得 即 同理，得即 又由柯西不等式，得故从而 3.7 利用柯西不等式解三角问题。 解决这类问题最常用的方法就是引入待定参数的方法，下面通过相关例子来说明。例1 在中 ，求证： 证明：当且仅当A=B时等号成立。 令，于是引进参求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得= （1）当且仅当=时等号成立。例2 已知a,b为正常数，且0x,求的最小值。 解：利用柯西不等式，得等号成立的当且仅当时；即 时，于是 再由柯西不等式，得 等号成立也是当且仅当时。 从而 于是的最小值是例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径， 证明 证明：由柯西不等式得：记为的面积，则故不等式成立。 例4 在中 ，求证： 证明：当且仅当A=B时等号成立。 令，于是引进参求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得= （1）当且仅当=时等号成立。例5已知a,b为正常数，且0x0，且a+b=1，求12a+1b的最小值 解析：a，b0，且a+b=1，由柯西不等知: 当且仅当 即时等号成立 例3 设，证明 证明：将从新排序设为 则有 而所需证目标： 结合柯西不等式得： 得结论 4 不等式中的数学思想中学数学内容大体可分为两层内容：一是表层知识，二是深层知识。表面知识包括概念的性质、原理、数学公式的基本知识、定理是深层知识的基础。学生只有通过教学的学习，掌握和理解表层知识，才能深入学习深层知识。而知识表面蕴含着深刻的知识，是教学的本质。教师在教学过程中一定要不断地结合知识的更深层次的知识，使学生在知识面上“升级”，从而避免教学与“题海”。然而，有些教师只注重传授知识，不注重思想和方法的渗透，他们的教学方法与教学是不完整的，这将不利于学生对相关知识的掌握，让学生一直被动的处于学习的初级阶段。因此，数学应该把“思想”与整个知识面融为一体，让学生逐步掌握新知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。柯西不等式的引入，正好适应了这一发展，因为柯西不等式的应用在中学渗透了各种数学思想和方法。4.1 转化思想 让未知的、陌生的、较复杂的问题通过化简转变成为已知的、熟悉的、简单的问题，这就是转化思想。这种思想可以让复杂的数学问题顺利解决。在新课程标准下，编写数学教材的编委越来越重视应用著名公式做为载体来培养学生的转化思维众所周知，由于数学解题中很大一部分是转化思维的应用，这就让培养学生的数学转化思维显得十分重要了。柯西不等式在培养学生数学转化思维中起着重要作用。有几种具体的转化方法：转化问题情境，也就是解决问题让问题从陌生的情境熟悉化、直观化、简单化。特殊与一般的转变、数量、图形、参数和消元的消除等的转化。所以，转型是对柯西不等式的研究知识和方法的传递的本质。在柯西不等式的学习中，由于在中学教材里有关柯西不等式应用实例较少为此，笔者挖掘该不等式与中学数学中的联系，提供较多且具有代表性的实例（见本论文以下章节），剖析转化思想在数学教学中的体现 对于如何将原题转化成具有“柯西不等式形式”？我认为学生的难点主要集中在如何构建柯西不等式及其推论。也就是说，不仅根据柯西不等式的左右两边的形式，还要考虑问题的内在条件和结论，探索信息的转化，对学生思想转化的能力进行培养。因此，我们需要注意知识在学习中的演变联系，不断收集和积累联想变换的例子，并且要开拓自己的私立。进而逐步掌握数学思维方法，由低级到高级，由模仿到创新的过程 4.2 数形结合思想 数形结合思想：学生把握了这些几何背景,将有助于对其实质的把握当然,像柯西不等式这样比较复杂的不等式,它的发现更多的是从数量的角度进行的,其几何背景常常是在完成了它的证明之后, 起着通过直观解释加深理解的作用因此,柯西不等式的教学,数与形两方面在同一主题中共同体现的同时, 要注意数形的交互使用具体做法是：根据数的结构特征，然后利用数形结合的思想，根据题意来画出相应的几何图形，进而解决相关的数学问题；也可以根据题意把“形”转化为“数”，从而将形状问题转化为代数问题。例如：柯西不等式在数形方面的应用，如柯西不等式在距离、三角形、平面向量，空间几何图形及函数最值问题等等 4.3 联想思想 联想思想：联想是由当前感知的事物回忆起特征类似,相近或相同的特点的心理现象,对数学对象中未知与已知进行沟通是联想在数学中运用的一个很大的作用,因此它对于掌握数学知识、数学思维以及提高学生的解题速度都有很深远的影响提高解题能力例如在证明柯西不等式其中一种方法是通过联想二次函数的判别式，构造二次函数 ，然后应用判别式 证得除此之外，我们可以在解题的时候联想柯西不等式其及推论的两边的形式，这样可以大大的简化题目。联想的方法有很多，归结起来有：类比联想法、接近联想法、关系联想法、逆向联想法及横向联想法等4.4辩证思想 辩证思想对哲学类科学来说是十分重要的。最开始的辩证法思想是一种逻辑论证的形式，包括思维、自然和历史三个领域中的一种哲学化的概括辩证思想指导着我们认识世界与改造世界当然，它对数学教学、数学解题具有很强的指导意义其实，哲学的辩证思维，就是在看待事物予以矛盾的观点。运用矛盾观指导教学，这对加深学生对数学本质的理解，具有较强的参考价值，这也对提高学生的解题能力有很大的促进作用。教师应重视对学生的辩证思的培养。总而言之，培养学生善于运用辩证思维的能力解决问题，提高学生对世界本质的认识，应用柯西不等式等号成立的条件在这方面的培养是一项不可多得的教学素材。5 结论 本文主要研究柯西不等式在中学数学中的应用。在论文刚开始的部分，叙述了柯西不等式的几个主要的形式以及有技巧性及代表性的一些证法柯西不等式作为近几年新引入教材的内容之一，通过查阅相关文献资料，笔者发现在高中数学教学里面，所体现的教育价值鲜为人所研究，比如教材引入此内容的深意，在教学中所体现的教育思想及其价值为此，本论文深挖其内在的一些教育价值，集中体现在第三章内容其次，柯西不等式的主要应用在哪里呢？于是，笔者查阅 19842011 年间有关应用柯西不等式解决高考、数学竞赛(有一定影响力)方面的试题分析试题出题的特征及其解法的特点，并对出题特征及解法特点进行分类概括最后，第五章针对分类的试题特点，研究应用柯西不等式的解法 本论文研究价值在于系统性研究柯西不等式在高中数学中的应用，并为高中数学教学提供一定的参考价值 参考文献1甘志国著初等数学研究（I）(M)吉林：哈尔滨工业大学出版社,2008（9）P456P457 2杨学枝著数学奥林匹克不等式研究(M)吉林：哈尔滨工业大学出版社,2009(8) 3吴振奎,吴旻著数学中的美(M)上海：上海教育出版社,2001(5) 4DSMITRINOVIC PMVASIC 著,赵汉宾译分析不等式(M)广西：广西人民出版社,1986P35-P137 5张千祥柯西不等式的教学价值J大学数学,2004,20(2) 6张国栋,李建华数学思想与数学教育J北京教育学院学报,1998(2) 7张荣以柯西不等式为例谈中学数学中的不等式教学J重庆文理学院学报,2008,27(1) 8蔡玉书选修课程不等式选讲的教学要求和试题赏析J数学通讯,2010年第 11 期 9王东在课堂教学中渗透数学思想与方法J雅安职业技术学院学报,2006(9) 10赫连军柯西不等式在初等数学中的应用J数学学习与研究,20113 11李佑东应用柯西不等式的两个变式巧解竞赛题J中学数 学杂志,2009(9) 12宋