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广义逆矩阵知识节选 李正慧 0940503210 目录 广义逆的概念及行最简形 矩阵的加号逆及其性质 A的 1 逆与减号逆 矩阵的其他逆及其相关内容 范数及其相关知识 广义逆的概念及行最简形 广义逆的概念 对任意一个mXn的矩阵A penrose 1955 用下面的四个方程定义A的广义逆 1 AXA A 2 XAX X 3 AX AX 4 XA XA其中A 表示A的转置共轭阵 penrose证明了满足以上四个方程的的矩阵X是唯一的 welcometousethesePowerPointtemplates NewContentdesign 10yearsexperience 满足方程1的逆表示为A 1 逆 A 1 逆中其中一个元素为 标为减号逆或者1 逆 满足方程1 2的逆表示为A 1 2 逆 A 1 2 逆中其中一个元素为 标为自反减号逆或者 1 2 逆 满足方程1 3的逆表示为A 1 3 逆 A 1 3 逆中其中一个元素为 标为最小范数广义逆或者 1 3 逆 满足方程1 4的逆表示为A 1 4 逆 A 1 4 逆中其中一个元素为 标为最小二乘广义逆或者 1 4 逆 A 1 2 3 4 逆构成A的一个加号逆 行最简形 满足以下三个条件的矩阵为行最简形 1 每一行第一个非零元素为1 2 它是阶梯型矩阵 3 首非零元所在列其他元素都为零例 将A 化为行最简形 上式即为A的行最简形注 A的减号逆不唯一 举例说明 A B C 有ABA A ACA A 所以 A的减号逆不唯一 A的 1 与减号逆 减号逆的性质 A是mXn阶复数矩阵 则 1 2 P Q为非奇异矩阵 则PAQ的减号逆等于Q逆 A的减号 逆P逆的乘积 定理 设A属于 A的减号逆是A 1 的一个特定逆 则 1 A 1 U 其中 U属于nXm阶复数矩阵 3 A的秩小于等于A的减号逆的秩 4 A列满秩等价于 5 A行满秩等价于 6 都是幂等矩阵 7 的值域和核都小于A 由于证明过程较为简单 这里只简单证明下 2 和 3 证明 2 证明 3 例 判断下列线性方程组是否相容 若是 给出其通解表达式 A的减号逆与方程组的解 定理一 A有Gb为AX b的解 反之 对于都有Gb为AX b的解 则G属于A的1 逆 如何根据A的减号逆构造AX b的通解 定理二 X 解 有之前的知识可算出Q P 所以AX b有解 y y A的自反减号逆 若A满足 1 AXA A 2 XAX X 则X属于A 1 2 X为A的自反减号逆 例 求 矩阵的加号逆及其性质 定理 例 A 用满秩分解求A的加号逆 A a1 a2 a3 a4 变成行最简形得 F G 所以A A为列满秩 求A的加号逆代入公式即可 注 矩阵的其他逆及其相关内容 定理一 范数及其相关知识 一 向量范数向量范数的概念 设是n维的向量空间
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