（全国通用）高考数学 5.4 数 列 求 和练习.doc

课时提升作业(三十二)数 列 求 和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列1+2n-1的前n项和为()a.1+2nb.2+2nc.n+2n-1d.n+2+2n【解析】选c.由题意得an=1+2n-1,所以sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故选c.【加固训练】若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()a.15b.12c.-12d.-15【解析】选a.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.2.(2015青岛模拟)数列an的通项公式是an=1n+n+1,若前n项和为10,则项数n为()a.120b.99c.11d.121【解析】选a.an=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n,所以a1+a2+an=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1=10.即n+1=11,所以n+1=121,n=120.3.已知数列an,an=2n+1,则1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=()a.1+12nb.1-2nc.1-12nd.1+2n【解析】选c.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=12+122+123+12n=121-12n1-12=1-12n=1-12n.4.(2015杭州模拟)设函数f(x)=xm+ax的导数f(x)=2x+1,则数列1f(n)(nn*)的前n项和为()a.nn-1b.n+1nc.nn+1d.n+2n+1【解析】选c.函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=mxm-1+a=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,f(n)=n2+n,即1f(n)=1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1,所以数列的前n项和为1f(1)+1f(2)+1f(n)=11-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,故选c.5.数列an的通项公式an=ncosn2,其前n项和为sn,则s2016等于()a.2016b.1008c.504d.0【解析】选b.因为an=ncosn2,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=n,n=4m,-n,n=4m-2,其中mn*,所以s2016=a1+a2+a3+a4+a5+a2016=a2+a4+a6+a8+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+(-2014+2016)=2504=1008.故选b.【加固训练】(2015合肥模拟)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nn*),sn是数列an的前n项和,则s2016=()a.22016-1b.321008-3c.321008-1d.322016-2【解析】选b.依题意得anan+1=2n,an+1an+2=2n+1,于是有an+1an+2anan+1=2,即an+2an=2,数列a1,a3,a5,a2n-1,是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2n,是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有s2016=(a1+a3+a5+a2015)+(a2+a4+a6+a2016)=1-21 0081-2+2(1-21 008)1-2=321008-3,故选b.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=4x4x+2,利用倒序相加法,可求得:(1)f111+f211+f1011的值为.(2)f12 017+f22 017+f2 0162 017=.【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=4x14x1+2+4x24x2+2=24x1+x2+2(4x1+4x2)4x1+x2+(4x1+4x2)2+4=1.(1)设s1=f111+f211+f1011,倒序相加有2s1=f111+f1011+f211+f911+f1011+f111=10,即s1=5.(2)设s2=f12 017+f22 017+f2 0162 017,倒序相加有2s2=f12 017+f2 0162 017+f22 017+f2 0152 017+f2 0162 017+f12 017=2016,所以s2=1008.答案:(1)5(2)10087.(2015郑州模拟)设数列an的通项公式为an=2n-10(nn*),则|a1|+|a2|+|a15|=.【解析】由an=2n-10(nn*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,所以当n5时,an0,当n5时,an0,所以|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015郑州模拟)若数列an是1,1+12,1+12+14,1+12+14+12n-1,则数列an的前n项和sn=.【解析】an=1+12+14+12n-1=1-12n1-12=21-12n,所以sn=21-12+1-122+1-12n=2(1+1+1n个)-12+122+12n=2n-121-12n1-12=2n-1-12n=2n-2+12n-1.答案:2n-2+12n-18.(2015厦门模拟)设f(x)是定义在r上恒不为零的函数,且对任意的x,yr,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=12,an=f(n)(nn*),则数列an的前n项和sn的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=12,a2=f(2)=f(1)2=122,a3=f(3)=f(2)f(1)=f(1)3=123,an=f(n)=f(1)n=12n,所以sn=12+122+123+12n=121-12n1-12=1-12n,因为nn*,所以12sn0,4sn=(an+1)2.(1)求证:数列an是等差数列,并求通项公式.(2)设bn=an3n,tn=b1+b2+bn,求tn.【解析】(1)令n=1,4s1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4sn=(an+1)2,得4sn+1=(an+1+1)2,两式相减得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an0,所以an+1-an=2,则数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)得bn=2n-13n,tn=131+332+533+2n-13n,13tn=132+333+534+2n-13n+1,-得23tn=13+2132+133+13n-2n-13n+1=13+2191-13n-11-13-2n-13n+1=23-2n+23n+1,所以tn=1-n+13n.【加固训练】已知数列an是首项为a1=14,公比为q=14的等比数列,设bn+2=3log14an(nn*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列bn的通项公式.(2)求数列cn的前n项和sn.【解析】(1)由题意,知an=14n(nn*),又bn=3log14an-2,故bn=3n-2(nn*).(2)由(1),知an=14n,bn=3n-2(nn*),所以cn=(3n-2)14n(nn*).所以sn=114+4142+7143+(3n-5)14n-1+(3n-2)14n,于是14sn=1142+4143+7144+(3n-5)14n+(3n-2)14n+1.两式相减,得34sn=14+3142+143+14n-(3n-2)14n+1=12-(3n+2)14n+1.所以sn=23-3n+2314n(nn*).(20分钟40分)1.(5分)已知an是首项为1的等比数列,若sn是an的前n项和,且28s3=s6,则数列1an的前4项和为()a.158或4b.4027或4c.4027d.158【解析】选c.设数列an的公比为q.当q=1时,由a1=1,得28s3=283=84.而s6=6,两者不相等,因此不合题意.当q1时,由28s3=s6及首项为1,得28(1-q3)1-q=1-q61-q.解得q=3.所以数列an的通项公式为an=3n-1.所以数列1an的前4项和为1+13+19+127=4027.2.(5分)数列an的通项an=sinn3,前n项和为sn,则s2015等于()a.12b.0c.1d.-12【解析】选b.由an=sinn3,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则s2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0.故选b.【加固训练】在数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记sn为an的前n项和,则s2015=.【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以s2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015=503(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在r上的函数f(x)=ax(0a0,c30,c40;当n5时,cn=1n(n+1)n(n+1)2n-1,而n(n+1)2n-(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n-2)2n+10,得n(n+1)2n5(5+1)251,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nn*恒有s4sn,故k=4.【加固训练】等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)证明:131s1+1s2+1sn34.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an