重庆市南开中学高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年重庆市南开中 学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1关于x的不等式ax+b0的解集不可能是（）a rb c d 2抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）a 1b 2c 4d 83已知，则cosa=（）a b c d 4等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则s4=（）a 7b 8c 15d 165已知单位向量，夹角为，则=（）a b c 2d 6已知直线2axby+2=0（a0，b0）平分圆c：x2+y2+2x4y+1=0的圆周长，则的最小值为（）a b c 4d 67已知定义在r上的偶函数f（x）满足：当x0时，f（x）=x38，则关于x的不等式：2f（x2）1的解集为（）a x|x0或x2b x|x0或x4c x|x2或x4d x|x2或x28下列说法正确的个数是（）命题“xr，x3x2+10”的否定是“x0r，x03x02+10”；“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；“m=1”是“直线mx+（2m1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：“复数z=a+bi（a，br）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题a 1b 2c 3d 49设f1，f2为双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点，过坐标原点o的直线与双曲线c在第一象限内交于点p，若|pf1|+|pf2|=6a，且pf1f2为锐角三角形，则直线op斜率的取值范围是（）a b c d 10存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有ag（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界已知x，y，zr+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为（）a b c d 二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为12数列an满足：a1=2014，ananan+1=1，ln表示an的前n项之积，则l2014=13椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p使线段pf1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为二、考生注意14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，ea是圆o的切线，割线eb交圆o于点c，c在直径ab上的射影为d，cd=2，bd=4，则ea=15在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线c所得的弦长为1008山东）若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+，abc三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c且f（a）=1（i） 求角a的大小；（）若a=7，b=5，求c的值18已知点a（2，0）关于直线l1：x+y4=0的对称点为a1，圆c：（xm）2+（yn）2=4（n0）经过点a和a1，且与过点b（0，2）的直线l2相切（1）求圆c的方程；（2）求直线l2的方程19已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列an满足an+1=2f（an1）+1，且a1=3，an1（1）设bn=log2（an1），求证：数列bn+1为等比数列；（2）设cn=nbn，求数列cn的前n项和sn20设函数f（x）=ln（x1）+（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x（1，2）（2，+），不等式成立，求实数a的取值范围21已知椭圆c1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（1）求椭圆c1的标准方程；（2）如图，以椭圆c1的长轴为直径作圆c2，过直线x=2上的动点t作圆c2的两条切线，设切点分别为a、b，若直线ab与椭圆c1求交于不同的两点c、d，求的取值范围22己知数an满足a1=1，an+1=an+2n，数列bn满足bn+1=bn+=1（1）求数列an的通项公式；（2）令cn=，记sn=c1+c2+cn，求证：12014-2015学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1关于x的不等式ax+b0的解集不可能是（）a rb c d 考点：集合的表示法专题：不等式的解法及应用分析：分a等于0，小于0，大于0三种情况考虑，分别求出不等式的解集，即可做出判断解答：解：当a=0时，b0，不等式无解；b0，不等式解集为r；当a0时，解得：x，此时不等式的解集为；当a0时，解得：x，此时不等式的解集为，故选：d点评：本题考查了含参数不等式的解法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到注意不重不漏2抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）a 1b 2c 4d 8考点：抛物线的简单性质专题：阅读型分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离解答：解：根据题意可知焦点f（1，0），准线方程x=1，焦点到准线的距离是1+1=2故选b点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用属基础题3已知，则cosa=（）a b c d 考点：二倍角的余弦专题：计算题；三角函数的求值分析：原式两边平方可解得sina=，由，即可计算cosa的值解答：解：，两边平方可得：1+sina=，即sina=，cosa=故选：a点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查4等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则s4=（）a 7b 8c 15d 16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和专题：计算题分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案解答：解：4a1，2a2，a3成等差数列，即q=2s4=15故选c点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质属基础题5已知单位向量，夹角为，则=（）a b c 2d 考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：由向量的模长公式，代值计算可得解答：解：单位向量，夹角为，=故选：b点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及模长公式，属基础题6已知直线2axby+2=0（a0，b0）平分圆c：x2+y2+2x4y+1=0的圆周长，则的最小值为（）a b c 4d 6考点：基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系专题：不等式的解法及应用；直线与圆分析：利用直线2axby+2=0（a0，b0）始终平分圆x2+y2+2x4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（1，2）在直线2axby+2=0（a0，b0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值解答：解：由题意，圆的圆心（1，2）在直线2axby+2=0（a0，b0）上2a2b+2=0（a0，b0）a+b=1=（a+b）（）=3+3+2=3+2，当且仅当，即a=，b=2时，的最小值为3+2故选：b点评：本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7已知定义在r上的偶函数f（x）满足：当x0时，f（x）=x38，则关于x的不等式：2f（x2）1的解集为（）a x|x0或x2b x|x0或x4c x|x2或x4d x|x2或x2考点：奇偶性与单调性的综合专题：不等式的解法及应用分析：根据函数奇偶性和单调性的关系，结合指数不等式即可得到结论解答：解：不等式2f（x2）1的等价为f（x2）0，若x0，则x0，即f（x）=x38，f（x）是偶函数，f（x）=x38=f（x），即f（x）=x38，x0则不等式f（x2）0等价为或，由得，即x4由得，即x0，综上不等式的解集为x|x0或x4，故选：b点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键8下列说法正确的个数是（）命题“xr，x3x2+10”的否定是“x0r，x03x02+10”；“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；“m=1”是“直线mx+（2m1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：“复数z=a+bi（a，br）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题a 1b 2c 3d 4考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：利用命题的否定即可判断出“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，即可判断出；对m分类讨论：m=0，与当m0，时，即可判断出；“复数z=a+bi（a，br）是纯虚数的充要条件是a=0，b0”，即可判断出解答：解：命题“xr，x3x2+10”的否定是“x0r，x03x02+10”，正确；“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，因此不正确；直线mx+（2m1）y+1=0和直线3x+my+2=0当m=0时，两条直线分别化为y+1=0，3x+2=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为x+1=0，3x+y+2=0，此时两条直线不垂直；当m0，时，两条直线的斜率分别为：，若两条直线垂直，则（）=1，解得m=1；“m=1”是“直线mx+（2m1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，不正确：“复数z=a+bi（a，br）是纯虚数的充要条件是a=0，b0”，因此是假命题综上可得：只有是真命题故选：a点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法、复数为纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9设f1，f2为双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点，过坐标原点o的直线与双曲线c在第一象限内交于点p，若|pf1|+|pf2|=6a，且pf1f2为锐角三角形，则直线op斜率的取值范围是（）a b c d 考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：首先，设直线op的方程，然后根据双曲线的定义，并结合条件|pf1|+|pf2|=6a，求解|pf1|和|pf2|的值，然后，根据pf1f2为锐角三角形，联立方程组写出相应的点p的坐标，最后限制范围即可解答：解：|pf1|+|pf2|=6a，|pf1|pf2|=2a，|pf1|=4a，|pf2|=2a，|f1f2|=2c，pf1f2为锐角三角形，e，31+（）25，2，欲使得过坐标原点o的直线与双曲线c在第一象限内交于点p，k（，）故选：a点评：本题重点考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题解题关键是理解直线与双曲线的位置关系处理思路和方法10存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有ag（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界已知x，y，zr+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为（）a b c d 考点：分析法的思考过程、特点及应用；函数的最值及其几何意义专题：新定义；函数的性质及应用分析：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x0，并令y=z，可得原式恒成立，再由分析法证明，注意运用配方和三角形的三边关系，可得下确界为解答：解：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x0，并令y=z，所以=，当然此值只是一个极限值，原式=恒成立，可运用分析法证明上式即证（x+y+z）24xy+4yz+4zx，即有x2+y2+z22xy+2yz+2zx，即有（xy）2+（yz）2+（zx）2x2+y2+z2，由三角形中，|xy|z，|yz|x，|zx|y，均为（xy）2z2，（yz）2x2，（zx）2y2则上式成立故下确界是故选b点评：本题考查新定义的理解和运用，考查三角形的三边的关系和不等式的证明，属于中档题二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为14考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（4，6），代入目标函数z=2x+y得z=24+6=14即目标函数z=2x+y的最大值为14故答案为：14点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12数列an满足：a1=2014，ananan+1=1，ln表示an的前n项之积，则l2014=2014考点：数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过化简可知递推式为an+1=1，进而逐一求出a2、a3、a4发现数列的项周期出现，进而计算可得结论解答：解：ananan+1=1，an+1=1，a1=2014，a2=1=，a3=1=，a4=1=2014，该数列是周期为3的周期数列，且前三项之积为2014（）=1，2014=6713+1，l2014=（1）6712014=2014，故答案为：2014点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题13椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p使线段pf1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设线段pf1的中点为m，另一个焦点f2，利用om是f1pf2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形omf1的三边之长，使用勾股定理求离心率解答：解：设线段pf1的中点为m，另一个焦点f2，由题意知，om=b，又om是f1pf2的中位线，om=pf2=b，pf2=2b，由椭圆的定义知 pf1=2apf2=2a2b，又 mf1=pf1=（2a2b）=ab，又of1=c，直角三角形omf1中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2c2），由此可求得离心率 e=，故答案为：点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题二、考生注意14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，ea是圆o的切线，割线eb交圆o于点c，c在直径ab上的射影为d，cd=2，bd=4，则ea=考点：与圆有关的比例线段专题：立体几何分析：由相交弦定理，得cd2=adbd，由bdcbae，得，由此能求出ae解答：解：由相交弦定理，得cd2=adbd，即22=ad4，解得ad=1，ab=1+4=5，ea是圆o的切线，c在直径ab上的射影为d，bdcbae，ae=故答案为：点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理的合理运用15在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线c所得的弦长为考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程分析：本题可以先将曲线c的参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，再将直线l的极坐标方程化成平面直角坐标方程，然后列出方程组，由弦长公式求出弦长，得到本题结论解答：解：曲线c的参数方程为，消去参数得：直线l的极坐标方程为=0，yx+=0，即：xy=0由，得：5x28x=0，x=0或，交点坐标分别为（0，），（，），弦长为=故答案为：点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，还考查了弦长公式，本题难度不大，属于基础题1008山东）若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5b7考点：绝对值不等式的解法专题：计算题；压轴题分析：首先分析题目已知不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3xb|4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4即可得到答案解答：解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有故答案为5b7点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+，abc三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c且f（a）=1（i） 求角a的大小；（）若a=7，b=5，求c的值考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理专题：计算题；解三角形分析：（i）由 f（x）=sinxcosxcos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（a）=1，及a（0，）可求a；（）由余弦定理a2=b2+c22bccosa可求c解答：解：（i）因为 f（x）=sinxcosxcos2x+=sin（2x） （6分）又f（a）=sin（2a）=1，a（0，），（7分）所以， （9分）（）由余弦定理a2=b2+c22bccosa得到，所以c25c24=0 （11分）解得c=3（舍）或 c=8 （13分）所以c=8点评：本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，特殊角的三角函数值及余弦定理的应用18已知点a（2，0）关于直线l1：x+y4=0的对称点为a1，圆c：（xm）2+（yn）2=4（n0）经过点a和a1，且与过点b（0，2）的直线l2相切（1）求圆c的方程；（2）求直线l2的方程考点：圆的标准方程；直线的一般式方程专题：计算题分析：（1）由点a和a1均在圆c上且关于直线l1对称，得到圆心在直线l1上，由圆的方程找出圆心坐标，代入直线l1，得到关于m与n的方程，然后把点a的坐标代入到圆的方程中，得到关于m与n的另一个方程，联立两方程即可求出m与n的值，确定出圆c的方程；（2）当直线l2的斜率存在时，设出直线l2的方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l2的方程；当直线l2的斜率不存在时，x=0显然满足题意，综上，得到所有满足题意得直线l2的方程解答：解：（1）点a和a1均在圆c上且关于直线l1对称，圆心在直线l1上，由圆c的方程找出圆心c（m，n），把圆心坐标直线l1，点a代入圆c方程得：，解得或（与n0矛盾，舍去），则圆c的方程为：（x2）2+（y2）2=4；（2）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，根据题意得：圆心到直线的距离d=r=2，解得k=1，所以直线l2的方程为y=x2；当直线l2的斜率不存在时，易得另一条切线为x=0，综上，直线l2的方程为y=x2或x=0点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系要求学生会利用待定系数法求圆的方程，掌握直线与圆相切时满足的关系，在求直线l2的方程时，注意由所求直线的斜率存在还是不存在，利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程19已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列an满足an+1=2f（an1）+1，且a1=3，an1（1）设bn=log2（an1），求证：数列bn+1为等比数列；（2）设cn=nbn，求数列cn的前n项和sn考点：数列的求和；等比关系的确定专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用函数f（x）=x2+bx为偶函数，可得b，根据数列an满足an+1=2f（an1）+1，可得bn+1+1=2（bn+1），即可证明数列bn+1为等比数列；（2）由cn=nbn=n2nn，利用错位相减可求数列的和解答：（1）证明：函数f（x）=x2+bx为偶函数，f（x）=f（x），b=0an+1=2f（an1）+1，an+11=2（an1）2，bn=log2（an1），bn+1=1+2bn，bn+1+1=2（bn+1）数列bn+1是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，bn+1=2n，bn=2n1cn=nbn=n2nn，sn=12+222+n2n令t=12+222+n2n，2tn=122+223+（n1）2n+n2n+1两式相减可得，tn=2+22+23+2nn2n+1=（1n）2n+12tn=（n1）2n+1+2，sn=（n1）2n+1+2点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求数列的和的应用是求解的关键20设函数f（x）=ln（x1）+（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x（1，2）（2，+），不等式成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，当0a2，当a2时，求出导数为0的根，解不等式，即可得到单调区间；（2）当x1且x2时，不等式成立等价为1x2时，f（x）a且x2时，f（x）a恒成立分别讨论当0a2时，当a2时，函数的单调性和最值情况，即可得到a的范围解答：解：（1）f（x）的导数f（x）=令g（x）=x22ax+2a（a0，x1），则=4a28a=4a（a2），对称轴x=a，当0a2，g（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，+）上递增；当a2时，g（x）=0的两根x1=a，x2=a+，由g（1）=12a+2a=10，a2，则1x1x2，当x（x1，x2），g（x）0，f（x）递减，当x（1，x1）（x2，+），g（x）0，f（x）递增；则有f（x）的增区间为（1，a），（a+，+），减区间为（a，a+）；（2）当x1且x2时，不等式成立等价为1x2时，f（x）a且x2时，f（x）a恒成立由（1）知，当0a2时，f（x）在（1，+）上递增，f（2）a且f（2）a，即有f（2）=a，即有ln1+=a，成立，则0a2恒成立；当a2时，g（2）=44a+2a=42a0，即1x12x2，x1x2时，f（x）递减，f（x）f（2）=a；则存在1x2，f（x）a即1x2时，f（x）a不恒成立，不满足题意综上，a的取值范围是0，2点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题21已知椭圆c1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（1）求椭圆c1的标准方程；（2）如图，以椭圆c1的长轴为直径作圆c2，过直线x=2上的动