2012级解析几何期中学术论文-数学中数形结合思想及研究.docx

2012级解析几何期中学术论文期中学术论文 解析几何 Mid-term TEST2012年 11月 Analytic Geometry November 2012数学中数形结合思想及研究王博伦北京航空航天大学 数学与系统科学学院 120922班 北京 12091033摘 要:数形结合思想是数学研究中非常重要且被广泛应用的一种数学思想，本文从不同角度出发，分别分析了数形结合思想在集中数学情境中的具体应用例证，并显示出数形结合思想在简化问题和解决问题中的明显作用。关键词:数形结合；简化和解决问题 Research and examples on combining numbers with shapes thought in mathematicsWang Bolun(School of Mathematics and System Sciences, Beihang University, 120922 Class Beijing 12091033, China)Abstract: As a very important kind of mathematical idea, combining numbers with shapes thought is widely used in mathematical research and study. In this paper we focus on different aspects to discuss the specific application of this idea in mathematics situations and some typical examples. In this way we show the obvious effect of combining numbers with shapes thought in simplify and solve problems.Key words: combining numbers with shapes; simplify and solve problems 0 引言 数形结合作为一种重要的数学思想，在数学解题和研究中经常被用到。数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系，实际应用中将有关“数”的较为抽象的问题以图形的形式具象化，或将图像、几何图形等问题代数化，以达到简化计算或者便于理解的目的。 在计算机技术高速发展的今天，计算机绘图等技术的应用更为一些计算和证明提供了更简便的方法。而这些方法的基础思想都是数形结合。数形结合思想，目前看来，有着更加宽广的发展空间。 当然需要注意的是要找到合适的模型进行替代,切不可生搬硬套脱离题意,造成适得其反的效果.1 数形结合与几何学笛卡尔在指导思维的法则一书中曾提出如下思想：一、将任何种类的问题化为数学问题；二、将任何种类的数学问题化为代数问题；三、将代数问题化为方程式的求解。这一基本思想使得笛卡尔最终开创了解析几何学。而现在我们所学的解析几何，其指导思想或基本方法“向量法”与“坐标法”无一不是数形结合思想的具体体现。通过建立坐标系或者设定基向量，将空间内的点与坐标一一对应，实现几何与代数的等价转换，为问题的解决提供了一套全新的思路。例1判断以下直线的位置关系图1 1由图，可根据直线所过点将直线坐标化：一条直线过（0，0），（1，6），求得方程为y=6x,另一条过（0,1），（6,0）求得方程为y=-1/6 x+1,两直线斜率相乘，-1/6 x6=-1,可知两直线互相垂直。例2 现有一直角梯形,上下底分别为5和8,直角边长为7.令两底与斜边交点分别与直角边中点连线,求两线段夹角.解 画出图形,如果只通过勾股定理求出i，k，l长度，再用余弦定理，则会比较麻烦。现将图形置于坐标系中：图1 2将图形中的i，k用向量表示出，i=（8，3.5），k=（5，-3.5），用向量夹角公式，则会方便很多。（具体求解过程略）2 数形结合与代数学数形结合，在代数上也有非常重要的应用。将抽象的代数问题转化为具象的几何问题例1求行列式的绝对值图2 1解：运用数形结合思想，将行列式每列看做一个向量，则得到向量a=(3,0,0),b=(0,0,4),c=（0,2,0），绘图求解，发现这是一个长方体，利用长方体体积公式，行列式的值的绝对值为2x3x4=24. 3 数形结合与分析学数形结合思想在数学分析上也有重要应用。学习数学分析的很大的难点在于一些定义的理解。而数形结合由于其直观的性质，可以在一些问题的理解上起到辅助作用。例1 数列收敛的夹逼定理：设Xn，Zn为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列Xn，Zn的极限均为：a. 若存在N，使得当nN时，都有XnYnZn,则数列Yn收敛，且极限为a. 理解：有些同学对这些内容感到困惑，一是极限思想，二是数列和函数的区别：图像上描出的数列的点是孤立的而非连续的。但是我们可以将数列在坐标上对应的点看做在某一范围内连续的函数上的点。举例：求数列的极限解答：=1/（+），取=0，=，=1/.,且，极限皆为0，所以的极限也为0.可以通过下图更好地理解数列极限的夹逼性。4 结束语数形结合,是一种非常有效的解题思想,也是一中有力的工具.利用这种工具,我们可以将复杂的几何运算转化为纯粹的代数运算,也可以将代数问题几何化,达到直观、形象的目