《matlab数学实验七》PPT课件.ppt

1 实验七MATLAB在概率统计中的应用 2 1实验目的 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科 随着现代科学技术的迅猛发展 它的理论与方法已广泛地应用于许多科学技术领域 本实验的目的是学会用MATLAB软件求解一些随机性问题 特别是解决数理统计中的大量问题 2 2实验内容 一 随机变量分布及数字特征 随机变量的分布主要有随机变量的概率密度函数与分布函数 所谓随机变量的数字特征是指能够描述随机变量某些特征的数量指标 随机变量常用的数字特征有均值 数学期望 方差和矩等 2 下面给出几个常用的概率分布 1 正态分布 若随机变量 的概率密度为 其中 和 为常数 且 则称随机变量 参数为 和 的正态分布 或高斯 Gauss 分布 记为 服从 正态分布的分布函数为 3 当参数时 称服从标准正态分布 记为其密度函数记为 分布函数记为 即有 正态分布是概率统计中最重要的一种分布 它的重要性不仅在于自然解中许多随机变量服从正态分布 而且它具有许多良好的性质 4 2 二项分布 若随机变量 的分布律为 其中 则称 服从参数为 的二项分布 记为 3 泊松分布 若随机变量 的分布律为 其中 是常数 则称 服从参数为 的泊松分布 记为 5 4 均匀分布 若随机变量 的概率密度为 则称 在区间 上服从均匀分布 记为 5 指数分布 若随机变量 的概率密度为 其中 是常数 则称 服从参数为 的指数分布 6 6 分布 n 若随机变量X1 X2 Xn相互独立 都服从标准 服从自由度为n的 分布 记为 7 t分布t n 若X Y 且相互独立 则随机变量 服从自由度为n的t分布 记为T t n 正态分布N 0 1 则随机变量 7 8 F分布F 若X n1 Y n2 且相互独立 则随机变量 服从自由度为 n1 n2 的F分布 记作 F F 8 用MATLAB求随机变量分布及数字特征的常用函数 9 下面给出如何利用MATLAB中的函数来计算两个常用分布的分布函数 概率密度函数值 均值 方差等 其它分布的计算方法基本相同 1 正态分布X 1 概率密度函数 例1画出正态分布 和 的概率密度函数图形 在MATLAB中输入以下命令 x 6 0 01 6 y normpdf x z normpdf x 0 2 plot x y x z 结果见图7 1 10 2 概率分布函数 例2 计算标准正态分布的概率P 1 X 1 输入命令为 P normcdf 1 normcdf 1 结果为 P 0 8413 0 1587 0 6826 3 分位数 即求出x 使得P X x p 例3取 求 的含义是 P X 时 P 0 975 norminv 0 975 1 96 11 例4公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1 设计的 设男子身高X 单位 cm 服从正态分布N 175 36 求车门的最低高度 解 设h为车门高度 X为身高 求满足条件 的h 即 所以命令 h norminv 0 99 175 6 h 188 9581 12 命令为 m v normstat 3 5 结果为 m 3 v 25 如果命令为 m v normstat 1 4 2 5 m 1234v 491625 结果为 5 随机数生成 产生m n阶的正态分布随机数矩阵 例5求正态分布N 3 的均值与方差 4 均值与方差 13 例6命令 M normrnd 1 0 1 2 3 结果为 M 0 99041 02941 07140 91680 86641 1624 2 1 概率密度函数 例7画出卡方分布 和 的概率密度函数图形 在Matlab中输入以下命令 x 0 0 01 20 y chi2pdf x 2 z chi2pdf x 10 plot x y x z 结果见图7 2 分布 n x 14 2 概率分布函数 例8 命令为 P chi2cdf 10 5 chi2cdf 3 5 结果为 P 0 9248 0 3000 0 6248 3 分位数 即求出x 使得 例9取 的含义是 即有 时 n 10 chi2inv 0 95 10 18 3070 设X 15 4 均值与方差 例10求卡方分布 的均值与方差 命令为 m v chi2stat 6 结果为 m 6 v 12 如果命令为 m v chi2stat 1 5 结果为 m 12345v 246810 16 5 随机数生成 产生m s阶的卡方分布随机数矩阵 例11命令 M chi2rnd 7 2 3 结果为 M 17 91386 366012 85081 01714 82498 8440 17 二 数据特征 一个简单随机样本 在n次 抽样以后得到样本的一组观察值 样本是总体的代表及反映 但在抽取样本后 并不直接利用样本的n个观察值进行推断 而需要对这些值进行提炼和加工 把样本所包含的我们所关心的事物的信息集中起来 这便是针对不同问题构造样本的某种函数 这种样本函数称为统计量 对容量为 的样本 其常用的统计量如下 平均值 或均值 数学期望 18 中位数 将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值 标准差 它是各个数据与均值偏离程度的度量 方差 标准差的平方 极差 样本中最大值与最小值之差 几何平均 19 调和平均 20 常用的数据特征MATLAB命令如下表7 2 21 例12已知数据 4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166091062484120447654564339280246687539790581621724531577496468499544645764558378765666763217715310851计算其数据特征 22 解 输入命令 a 4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166091062484120447654564339280246687539790581621724531577496468499544645764558378765666763217715310851 y1 mean a 结果 y1 600 9192 y2 median a 结果 y2 608 y3 geomean a 结果 y3 560 2135 算术平均 中位数 几何平均 23 y4 harmmean a 结果 y4 498 9577 y5 range a 结果 y5 1069 调和平均 极差 方差 y6 var a 结果 y6 3 8978e 004 标准差 y7 std a 结果 y7 197 4288 平均绝对偏差 y8 mad a 结果 y8 151 5160 24 三 直方图与概率纸检验函数 为了直观地了解随机变量的分布特征 如对称性 峰值等 频数直方图是广泛使用的方法 直方图是将样本的观察值数据按顺序分成若干间隔相等的组 以组距为底边 以落入各组的数据频数为依据 按比例构成的若干矩形条排列的图形 若 是取自总体X的一组样本值 把样本 值进行分组 先将它们依大小次序排列 得 25 在包含 的区间 a b 内插入一些等分点 注意要使每一个区间 i 1 2 k 1 内 都有样本观测值xi i 1 2 n 1 落入其中 统计出样本观测值在每个区间 中出现的次数 它就是这区间或这组的频数 计算频率 在直角坐标系的横轴上 标出 各点 为底边 作高为 或 的矩形 即得频数 或频率 直方图 分别以 26 直方图能够直观地表述数据的整体分布情况 它能够显示各组频数的分布情况 并且易于显示各组间的频数的差别 1 绘制直方图格式 hist data k 附加有正态密度曲线的直方图格式histfit data k 说明 data是原始数据 该命令将区间 min data max data 分成k等份 并且绘出频数直方图 k的缺省值为10 2 概率纸检验函数格式 仅给两种 1 normplot data 如果数据data服从正态分布 则作出的图基本上都位于一条直线上 2 weibplot data 如果数据data服从威布尔分布 则作出的图基本上都位于一条直线上 27 例 3为了研究400m赛跑后学生心率变化情况 体育老师统计了全班45名同学在赛跑后 分钟内的脉搏次数 结果如下 按组距为 绘制频数分布直方图 解 由给定数据可知 最小数据为132 最大数据为168 按组距为5 可取区间 130 170 分为8等分 输入命令如下 28 a 132136138141143144144146146147148149149151151152153153154154154156156157157157158158158159159159161161162162163163164164164164166168 hist a 8 可得频数直方图如图7 3所示 29 histfit a 8 可得附加有正态密度曲线的频数直方图如图7 4所示 30 例14作出例12中数据的直方图 该数据服从正态分布还是威布尔分布 输入命令hist a 30 可得图7 3 a 4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166091062484120447654564339280246687539790581621724531577496468499544645764558378765666763217715310851 31 从图7 3可看出数据比较接近正态分布 如何检验这一猜测 我们利用MATLAB命令normplot a 进行检验 从图7 4中可见数据点基本上都位于直线上 故可认为数据服从正态分布 由例12已经计算出该数据的均值为600 9192 标准差为197 4288 所以数据服从 32 四 参数估计 参数估计是数理统计中的一个基本概念 它是指用样本对总体分布中的未知参数作出估计 这种估计我们常见的有点估计和区间估计两种 1 极大似然法的思想是 若抽样的结果得到样本观测值x1 x2 xn 则我们 的值 使这组样本观测值出现的 应当这样选取参数 可能性最大 构造似然函数 33 使 达到最大 从而得到参数 的估计值 此估计值叫极大似然估计值 称为似然函数 函数 求极大似然估计值的问题 就是求似然函数 的最大值的问题 则由 即 求出参数 的估计值 34 2 区间估计的思想 设总体X的分布中含有未知参数 若对于给定的概率 存在两个统计量 X1 X2 Xn 和 X1 X2 Xn 使得 为参数 的置信水平为 的置信区间 称为置信下限 称为置信上限 则随机 区间 区间估计常见的有正态总体均值与方差的区间估计 35 设已给定置信水平 并设 为总体 的样本 和 和样本方差 分别是样本均值 1 已知 均值 的置信区间 由于 因此 对给定的 由标准正态分布的上 分位点的定义 有 即 36 所以 的一个置信水平为 的置信区间为 这样的置信区间通常也写成 2 未知 均值 的置信区间 当 未知时 由于 由 分布的上 分位点的定义 有 37 即 所以 的一个置信水平为 的置信区间为 3 方差 的置信区间 从理论上讲 对总体方差 作区间估计 也应分成 已知和 未知两种情况 此处只讨论 未知的情况 由于 由 分布的上 分位点的 定义 有 38 所以 的置信水平为 的置信区间为 的置信水平为 的置信区间为 39 3 MATLAB软件提供的一些常见分布的参数估计函数命令 1 正态分布数据的参数估计函数 muhat sigmahat muci sigmaci normfit x alpha 此命令表示在显著性水平alpha下估计数据X的参数 alpha缺省时设定为0 05 返回值muhat是X的均值的点估计值 sigmahat是标准差的点估计值 muci是均值的区间估计 sigmaci是标准差的区间估计 40 2 指数分布数据的参数估计函数 muhat muci expfit X alpha 此命令表示在显著性水平alpha下 求指数分布的数据X的均值的点估计值muhat及其区间估计值muci 3 泊松分布数据的参数估计函数 lambdahat lambdaci poissfit X alpha 此命令表示在显著性水平alpha下 求泊松分布的数据X的参数的极大似然估计值muhat及其置信区间muci 4 Weibull分布数据的参数估计函数 phat pci weibfit X alpha 此命令表示在显著性水平alpha下 求Weibull分布的数据X的参数的点估计值phat及其区间估计值pci 41 5 均匀分布数据的参数估计函数 ahat bhat aci bci unifit x alpha 此命令表示在显著性水平alpha下估计数据X的参数 alpha缺省时设定为0 05 返回值ahat是X的参数a的极大似然估计值 bhat是X的参数b的极大似然估计值 aci是参数a的置信区间 bci是参数b的置信区间 6 二项分布数据的参数估计函数 phat pci binofit X n alpha 此命令表示在显著性水平alpha下 求二项分布的数据X的参数的极大似然估计值phat及其置信区间pci 7 分布数据的参数估计函数 phat pci betafit X alpha 此命令表示在显著性水平alpha下 求 分布的数据X的参数的极大似然估计值phat及其置信区间pci 42 说明 以上命令中alpha缺省时设定为0 05 样本数据如果是以矩阵形式给出 则按每列数据分别给出参数估计 例15分别随机产生50 500和5000个 分布数据 相应的分布参数真值为4和3 分别求出参数4和3的最大似然估计值和置信度为99 的置信区间 解 分布函数为 其中 先用命令betarnd生成50个 分布的随机数 x betarnd 4 3 1 50 43 x 0 40000 70350 45430 53490 41570 42630 58440 36100 76940 86020 74950 42480 70650 75270 31330 63750 32200 52040 80640 47640 50580 61500 69580 34290 60110 73450 36540 47750 64160 51630 37770 42000 60830 84780 32480 66410 29570 64220 53410 70430 50580 91680 75450 71680 45460 61050 36640 51090 72340 5026 phat pci betafit x 0 01 求置信度为99 的置信区间和参数a b的估计值 结果显示 44 估计值4 7632的置信区间是 3 21176 3147 phat 4 76323 5199 pci 3 21172 27976 31474 7601 估计值3 5199的置信区间是 2 27974 7601 若用命令betarnd生成500个 分布的随机数 x betarnd 4 3 1 500 不显示数据 phat pci betafit x 0 01 结果显示 45 phat 4 12092 9496 pci 3 42832 46304 81363 4361 估计值4 1209的置信区间是 3 42834 8136 估计值2 9496的置信区间是 2 46303 4361 若用命令betarnd生成5000个 分布的随机数 x betarnd 4 3 1 5000 不显示数据 phat pci betafit x 0 01 结果显示 46 phat 4 00573 0140 pci 3 80432 86594 20713 1622 估计值4 0057的置信区间是 3 80434 2071 估计值3 0140的置信区间是 2 86593 1622 由此可知 数据越多 结果越好 47 例16用产生正态分布随机数命令生成一组正态分布样本 用normfit函数给出该正态分布的参数估计 解 先用命令normrnd生成一组正态分布样本 xx normrnd 4 2 60 1 生成一组 4 2的正态随机样本 执行结果 48 xx 3 13490 66884 25074 57541 70716 38186 37833 92474 65464 34933 62665 45162 82348 36643 72724 22796 13354 11863 80872 33534 58881 32765 42867 24712 61645 71606 50800 81251 11815 14233 20025 38005 63125 42386 58055 33726 38171 59513 96043 68660 79184 51461 88716 83032 38985 05754 43862 1562 0 34133 88161 97875 22895 01557 38495 18262 71284 76071 98183 96103 9036 若取 0 05 执行命令 muhat sigmahat muci sigmaci normfit xx 0 05 执行结果 muhat 4 1007 49 sigmahat 1 8965 muci 3 61084 5906 sigmaci 1 60752 3130 这里给出 和 的估计值分别为muhat 4 1007和sigmahat 1 8965 和 的置信度为95 的置信2区间分别为 3 6108 4 5906 和 1 6075 2 3130 若取 0 01 执行命令 muhat sigmahat muci sigmaci normfit xx 0 01 执行结果 muhat 4 1007 50 sigmahat 1 8965 muci 3 44904 7524 sigmaci 1 52942 4704 这里给出 和 的估计值分别为muhat 4 1007和sigmahat 1 8965 和 的置信度为99 的置信区间分别为 3 4490 4 7524 和 1 5294 2 4704 若取 0 005 执行命令 muhat sigmahat muci sigmaci normfit xx 0 005 执行结果 muhat 4 1007 sigmahat 1 8965 51 muci 3 38674 8148 sigmaci 1 50182 5339 这里给出 和 的估计值仍分别为muhat 4 1007和sigmahat 1 8965 和 的置信度为99 5 的置信区间分别为 3 3867 4 8148 和 1 5018 2 5339 从上面执行的结果我们可以看出 要求的置信度越高 给出的置信区间就越宽 区间长度加大 但都包含了真实的参数值 52 例17分别使用金球和铂球测定引力常数 1 用金球测定观察值为 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 2 用铂球测定观察值为 6 6616 6616 6676 6676 664 设测定值总体为 对 1 2 两种情况分别求 和 的置信度为0 9的 和 为未知 置信区间 解 建立M文件 LX0833 m X 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 Y 6 6616 6616 6676 6676 664 mu sigma muci sigmaci normfit X 0 1 金球测定的估计 53 muhat sigmahat muci sigmaci normfit Y 0 1 铂球测定的估计 运行后结果显示如下 sigmaci 0 00190 0071 mu 6 6782 sigma 0 0039 muci 6 67506 6813 sigmaci 0 00260 0081 muhat 6 6640 sigmahat 0 0030 muci 6 66116 6669 由上可知 金球测定的 估计值为6 6782 置信区间为 6 6750 6 6813 的估计值为0 0039 置信区间为 0 0026 0 0081 泊球测定的 估计值为6 6640 置信区间为 6 6611 6 6669 的估计值为0 0030 置信区间为 0 0019 0 0071 54 五 假设检验 假设检验就是对总体X的分布律或分布参数作某种假设 根据抽取的样本观察值 运用数理统计的分析方法 检验这种假设是否正确 从而决定接受假设或拒绝假设 如果观测的分布函数类型已知 这时构造出的统计量依赖于总体的分布函数 这种检验称为参数检验 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明确的判断 如果所检验的假设并非是对某个参数作出明确的判断 因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型 这种检验叫非参数检验 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验 55 假设检验的一般步骤是 1 根据实际问题提出原假设H0与备择假设H1 即说明需要检验的假设的具体内容 2 选择适当的统计量 并在原假设H0成立的条件下确定该统计量的分布 3 按问题的具体要求 选取适当的显著性水平 并根据统计量的分布查表 确定对应于 的临界值 取0 05 0 01或0 10 一般 4 根据样本观测值计算统计量的观测值 并与临界 条件下对拒绝或接受原 值进行比较 从而在检验水平 假设H0作出判断 56 设取出一容量为n的样本 得到均值 和标准差s 是否等于某给定值 进行检验 现要对总体均值 记 称H0为原假设 H1为备择假设 两者择其一 接受H0 拒绝H0 下面仅给出几个正态总体的参数检验公式 设正态总体 是 的样本 是否已知 关于均值 的假设检验分为 根据总体方差 两种情况 57 1 已知 关于 的假设检验 检验 检验假设 其中 是已知常数 这种形式的假设检验称为双边 假设检验 选取检验统计量 当原假设 成立时 于是 对于给定的显著性水平 有 58 所以拒绝域为 在实际问题中 有时我们只关心总体均值是否增大或减小 例如 生产过程中新工艺的采用是否提高产品的质量 此时 需要检验假设 其中 为已知常数 此时的假设进行的检验称为右边 检验 59 如果我们关心的是总体均值是否减少 则需要检验假设 此时的假设进行的检验称为左边检验 左边检验和右边检验统称为单边检验 对于假设 由于 是 的无偏估计 因此当 为真时 统计量 的值不应太大 而当 偏大时 应拒绝 拒绝域的形式为 所以 待定 60 为了确定 事先给定显著性水平 使得在 为真时 满足条件 又因为当 成立时 且 所以由 得 从而拒绝域为 61 类似地 可以讨论左边检验问题 其检验统计量仍取为 拒绝域为 62 2 未知 关于 的假设检验 检验 当 未知时 检验假设 其中 是已知常数 由于 未知 因此不能取 作为检验统计量 注意到 是 的无偏估计量 因而选取检验统计量 当原假设 成立时 于是对于给定的显著性水平 有 63 所以拒绝域为 类似地 可以对单边检验问题进行讨论 右边检验 的拒绝域为 左边检验 的拒绝域为 64 3 关于 的假设检验 检验 4 两个正态总体均值差的假设检验 5 两个正态总体方差的假设检验 检验 见讲义 65 下面是MATLAB软件提供的一些常见分布的假设检验函数命令 在总体服从正态分布的情况下 可用以下命令进行假设检验 1 总体方差sigma2已知时 总体均值检验使用z 检验 z检验是在方差已知的情况下检验数据是否服从给定均值的正态分布 其调用格式为 h sig ci ztest x m sigma alpha tail 66 tail 0 检验假设 x的均值等于m tail 1 检验假设 x的均值大于m tail 1 检验假设 x的均值小于m tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为均值的1 alpha置信区间 检验数据x的关于均值的某一假设是否成立 其中sigma为已知方差 alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 h sig ci ztest x m sigma alpha tail 67 例18某车间用一台包装机包装葡萄糖 包得的袋装糖重是一个随机变量 它服从正态分布 当机器正常时 其均值为0 5公斤 标准差为0 015 某日开工后检验包装机是否正常 随机地抽取所包装的糖9袋 称得净重为 公斤 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512问机器是否正常 解 总体 和 已知 该问题是当 为已知时 在 下 根据样本值判断 0 5还是 水平 为此提出假设 原假设 备择假设 68 X 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512 h sig ci zval ztest X 0 5 0 015 0 05 0 结果显示为 h 1 sig 0 0248 样本观察值的概率 ci 0 50140 5210 置信区间 均值0 5在此区间之外 zval 2 2444 统计量的值 结果表明 h 1 说明在水平 下 可拒绝原假设 即认为包装机工作不正常 69 例19下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间 分 99 810 410 69 69 79 910 911 19 610 210 39 69 911 210 69 810 510 110 59 7设装配时间的总体服从正态分布 标准差为0 4 是否可以认为装配时间的均值在0 05的水平上显著地大于10 解 作假设 m 10 x 9 810 410 69 69 79 910 911 19 610 210 39 69 911 210 69 810 510 110 59 7 h sig ci ztest x 10 0 4 0 05 1 返回 h 1 sig 0 0127 70 ci 10 0529Inf 检验结果 布尔变量h 1 表示拒绝零假设 说明不可以认为装配时间的均值在0 05的水平上显著地大于10 2 总体方差sigma2未知时 总体均值检验使用t 检验 h sig ci ttest x m alpha tail 检验数据x的关于均值的某一假设是否成立 其中alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 tail 0 检验假设 x的均值等于m tail 1 检验假设 x的均值大于m tail 1 检验假设 x的均值小于m tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为均值的1 alpha置信区间 71 例20某种电子元件的寿命X 以小时计 服从 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225 小时 正态分布 均未知 现测得16只元件的寿命如下 159280101212224379179264222362168250149260485170 解 未知 在水平 下检验假设 X 159280101212224379179264222362168250149260485170 h sig ci ttest X 225 0 05 1 结果显示为 72 H 0表示在水平 下应该接受原假设 即认为元件的平均寿命不大于225小时 h 0 sig 0 2570 ci 198 2321Inf 均值225在该置信区间内 结果表明 73 例21测得一批钢件的20个样品的屈服点 单位 T mm2 为 4 985 115 205 115 005 614 885 275 385 205 465 275 234 965 355 155 354 775 335 54并假设屈服点服从正态分布 已知总体均值为5 20 问是否可以认为该样本的均值在0 05的水平上等于5 20 解作假设 m 5 20 x 4 985 115 205 115 005 614 885 275 385 205 465 275 234 965 355 155 354 775 335 54 h sig ci ttest x 5 20 0 05 0 返回 74 h 0 sig 0 8796 ci 检验结果 1 布尔变量h 0 表示接受零假设 可以认为该样本的均值在0 05的水平上等于5 20 2 95 的置信区间为 5 1052 5 3098 它包括5 20 能接受假设 3 sig 值为0 8796 远大于0 5 接受零假设 75 3 两总体均值的假设检验使用t 检验 h sig ci ttest2 x y alpha tail 检验数据x y的关于均值的某一假设是否成立 其中alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 tail 0 检验假设 x的均值等于y的均值 tail 1 检验假设 x的均值大于y的均值 tail 1 检验假设 x的均值小于y的均值 tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为与x与y均值差的的1 alpha置信区间 76 例22在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的产率 试验是在同一只平炉上进行的 每炼一炉钢时除操作方法外 其他条件都尽可能做到相同 先用标准方法炼一炉 然后用建议的新方法炼一炉 以后交替进行 各炼10炉 其产率分别为 1 标准方法 78 172 476 274 377 478 476 075 576 777 3 2 新方法 79 181 077 379 180 079 179 177 380 282 1设这两样本相互独立 且分别来自正态总体 和 能否提高产率 取 0 05 均未知 问建议的新操作方法 77 解 两个总体方差不变时 在水平 下检验假设 X 78 172 476 274 377 478 476 075 576 777 3 Y 79 181 077 379 180 079 179 177 380 282 1 h sig ci ttest2 X Y 0 05 1 结果显示为 h 1 sig 2 1759e 004 说明两个总体均值相等的 概率很小 ci Inf 1 9083 结果表明 H 1表示在水平 原假设 即认为建议的新操作方法提高了产率 因此 下 应该拒绝 比原方法好 78 例23有两种不同的水稻品种A B分别统计了8个地区的单位面积产量 单位 kg 品种A8687569384937579品种B8079589177827666要求检验两个水稻品种的单位面积产量之间在0 05的水平上是否有显著差异 解用以下命令检验 x 8687569384937579 y 8079589177827666 h sig ci ttest2 x y 0 05 返回 h 0 sig 0 3393 79 ci 6 423617 4236 检验结果 布尔变量h 0 表示不能拒绝零假设 认为两个水稻品种的单位面积产量之间没有显著差异 80 4 两个总体一致性的检验 秩和检验 函数ranksum 格式p ranksum x y alpha x y为两个总体的样本 可以不等长 alpha为显著性水平 h为检验结果 h 0表示X与Y的总体差别不显著h 1表示X与Y的总体差别显著 p h ranksum x y alpha stats中包括 ranksum为秩和统计量的值以及zval为过去计算p的正态统计量的值 p h stats ranksum x y alpha 说明 P为两个总体样本X和Y为一致的显著性概率 若P接近于0 则不一致较明显 81 例24某商店为了确定向公司A或公司B购买某种商品 将A和B公司以往的各次进货的次品率进行比较 数据如下所示 设两样本独立 问两公司的商品的质量有无显著差异 设两公司的商品的次品的密度最多只差一个平移 取 0 05 A 7 03 59 68 16 25 110 44 02 010 5B 5 73 24 111 09 76 93 64 85 68 410 15 512 3 解 设 分别为A B两个公司的商品次品率 总体的均值 则该问题为在水平 0 05下检验假设 A 7 03 59 68 16 25 110 44 02 010 5 82 B 5 73 24 111 09 76 93 64 85 68 410 15 512 3 p h stats ranksum A B 0 05 结果为 p 0 8041 h 0 stats zval 0 2481 ranksum 116 结果表明 一方面 两样本总体均值相等的概率为 即认为两个公司的商品的质量无明显差异 0 8041 不接近于0 另一方面 H