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数学金融学第八章总结8.1 证券市场的描述一、预备知识设为概率测度空间(一) 随机变量的概率测度积分定义1.0.0 (1). (1.0.1)(2) 若为非负, () (1.0.2)(3) 若可测,设,若存在,则称该值为在概率测度空间上的积分,记. (1.0.3)注: 10 ,20 设.30离散型,;连续型,.40 (二) 随机积分1.随机积分定义1.0.1 设、(,或)为随机过程,令其中. 的关于随机积分存在,. (1.0.4)2. Lebesgue积分定义1.0.2 的Lebesgue积分=存在. (1.0.5)3. Ito积分定义1.0.3 称一维随机过程(,或)服从标准的始于0的一维Brown运动(简称一维标准的Brown运动),若满足(1) 具有独立增量,即对任何,相互独立;(2) ,在上连续;(3) ,;(4) .注: 若服从Brown运动,则增量具有平稳性,即与分布相同,记为定义1.0.4 设是二阶矩过程, (,或)为一维Brown运动,若存在, 关于的Ito积分,. (1.0.6)(三) Ito过程和 Ito引理1. Ito过程(1) 设d 维随机变量取值于Rd .设服从d 维正态分布,其中, 则, ; ; 为与的相关系数,; 为对角矩阵,相互独立;(2) 标准的始于0的维Brown运动.定义1.0.4 称()维随机过程服从标准的始于0的维Brown运动(简称标准的维Brown运动),若满足(1) 具有独立增量,即对任何,相互独立;(2) ,在上连续;(3) ,I是阶单位矩阵;(4) .注: 10 ,.20 ,.30 相互独立(3) Ito过程: 定义1.0.5 若随机过程满足 (1.0.6)()其中,为带域流的概率空间上的一个d 维标准Brown 运动,其中为Brown 运动生成的自然-域流.则称随机过程为Ito过程(广义布朗运动).2. Ito引理定理1.0.6 (Ito引理)若随机过程为广义Ito过程,且具有二阶连续偏导数,则. (1.0.7)证明: . (1.0.8) ,其中为的高阶无穷小.令,则. (1.0.9) , (1.0.10)又 ,其中为的高阶无穷小 .例 1.0.7 ,均为正常数几何布朗运动.,. (1.0.11) , 但. 可以证明满足(1.0.11)的有,.取,则. (1.0.12)(四) Holder不等式定理1.0.8 (Holder不等式) (1) 若在上Lebesgue可积,则,. (1.0.13)(2) 若 , 则. (1.0.14)(3) 若在上Lebesgue可积,则. (1.0.15)证明: (1) 所以(2)证明略.(3) .例 1.0.9 证明 , (1.0.16)其中, .证明：对于任何有. 二、基本假设和债券、价格过程1. 基本假设定义1.1 称市场M为无摩擦的,如果(1) 资产的交易时间和额度是连续的;(2) 不存在交易费和税收;(3) 对资产的交易没有约束(比如,可以卖空等);(4) 存款与借款的利率相同.2. 债券、股票价格过程记债券的价格过程为,假定:, (1.1)称为时刻t的短期利率.我们记股票的价格过程为,.在内满足 (过程): (1.2) 在方程(1.2)中,为带域流的概率空间上的一个d 维标准Brown 运动,其中为Brown 运动生成的自然-域流,为第i 种股票的平均回报率,称为股票价格的波动系数(它表示第j 种不定因素对第i 种股票价格过程的影响), pi0第i 种股票的初始价格.我们记,由上面(1.1)和(1.2)可知,当和给定时,债券和股票的价格过程就完全确定了.因此,当和给定时,人们就认为一个(连续时间的)证券市场给定了.我们将用M来记这个市场以强调市场对和的依赖.;. (1.3)现在,我们对市场M引人三种可能的假定:(M1) 为-循序可测的有界随机过程.(相空间,对均有)(M2) 为有界可测函数.(M3) 为常数.在上述条件中, (M1)最弱, (M2)其次, (M3)最强,以后,我们总假定市场M至少满足(M1).4. 债券、股票价格的解析式容易知道,在(M1)条件下,常微分方程(1.1)存在惟一解:. (1.4)在引理中取,则(注意由于,我们可以证明,从而有意义.).由及(1.0.7)知, (1.5)所以,在(Ml)条件下,(1.2)的强解为. (1.6) 从上面(1.6)可见,当时,必有.进一步,我们不难证明: (1.7)需要注意的是,一般而言,对,和未必是有界的,所以 (1.7)第二式中出现的是,而不是.以后,我们称 (1.8)为贴现因子过程,并且对任何-适应过程,我们称为相应于的贴现过程.于是,我们称为贴现资产价格过程,显然.回忆第5章,我们知道,这意味着债券己被取作计价单位.由(1.2)和(1.8)知,故,贴现股票价格过程满足: (1.9)类似于求解(1.2),我们知道,在(Ml)条件下, (1.9)的惟一强解由下式给出:, (1.10) 并且也有:. (1.11)三、证券组合过程和财富过程现在我们来考虑一个投资问题:假定投资者以初始财富调整在时刻t进入市场,该投资者可以在时间区间内选择股票和债券的持有量并可以连续调整.记时刻t投资者持有第i 种资产的股数为,并记时刻t投资者的财富总市值为,则有. (1.12)我们称为一个证券组合过程(也称之为投资策略),为一个财富过程.需要提请读者注意的是,每个从都是允许取负值的,这表示卖空或借款是允许的。直观地想象,每个都应该是一个阶梯函数,并且是右连续的,因此应该属于的最自然的函数类是右连续的有界变差函数.由干有界变差函数是几乎处处连续的,故每一点的左右极限总是存在的.所以,经过修正以后,总是可以假定似概率1,过程在每一点右连续且存在左极限.我们常用RCLL表示右连续且具有左极限的函数,现在引入, (1.13)其中,对任何(确定性函数) , (1.14) 由 , (1.14.3)故. (1.15) 除了以投资者在时刻t持有资产的股数作为证券组合过程外,我们还有另外一些描述证券组合过程的方式.不同的情况下用不同方式来表示证券组合可以给我们的讨论带来方便.记为该投资者在时刻t 持有第种资产的市值,则. (1.16) 我们也称为一个证券组合过程,易知与可以由下述关系相互确定:. (1.17) 由于每个允许取负值,每个当然也允许取负值,比较自然的每个所属的空间应当是,其中,为某个常数.由于未必是有界的,因此,当时,我们不能保证,反之依然, (因为也不是有界的).所以,在的框架下,和缺乏理想的对等性.下面的命题改观了这种情形,并且还揭示了和之间的一些重要关系.命题1.2 假定(M1)成立,(1) 对于当且仅当;(2) 如果,则, (1.18)此处, (1.19) 对,下述关系式成立: , (1.20) 证明：(1) 对于任何由(1.7), (1.17)和Holde不等式(1.0.15),我们有 , (1.21)从而,可以推出.反过来的证明是类似的,(1)得证.(2) 由(1.2)我们有, (1.22)因此,注意到(M1),当时, (1.22)右端的第一项通常的Lebesgue积分存在；而第二项的Ito积分也存在,因为 , (1.23) 其中K 0为一个绝对常数.如果,则对任何的分割,我们有 , (1.24)上式中,第一项收敛是利用(1.2)以及Lebesgue 积分和Ito 积分的定义.这项收敛是在中的(当)时,所以,也可以认为是以概率1 收敛的.第二项的收敛是对几乎所有的.由Lebesgue- stieltjes积分的定义,于是,(1.20)成立.上面(1.20)左端Lebesgue- stieltjes积分的那种写法是出于对端点的考虑.由命题1.2可知当有界时,对所有的,成立.在以后的讨论中,我们将分别采用和作为和所属于的空间.此外,如果记为时刻t 投资者持有第i 种资产的市值占总财富的比,则 (1.25) 我们有时也用作为证券组合过程.需要指出,只有在一定的条件下人们才能用来描述投资者的证券组合过程.比如,我们至少要求财富过程满足: (1.26 ) 关于此点,我们稍后还将讨论.另外,每个也允许取负值.上面(1.25)中的第二式并不表明是一组凸组合系数。比较自然的每个所属的空间似乎应当是,不过,我们将会看到比稍大一些的某个空间将更合适.8.2 证券组合过程的自融资性一、 证券组合过程的自融资性定义2.1 在给定时间区间内,称投资者的投资行为(或证券组合过程)是自融资的,若在内,除了初始财富外,该投资者没有资金流人或流出市场(即不再另有资金注人也不从市场中抽取资金).用数学语言可以这样来描述: 称证券组合过程 为自融资的,假如 +,. (2.1)当时,(2.1) . (2.2)我们可以这样来理解(2.2): 是投资者在时刻t 持有第i 种资产份数的调整量,而为第i 种资产份数调整后市值的变化量.在没有另外的资金注入或抽出时,增加某种资产的持有量只有通过减少其他资产的持有量来实现,而这种调整不影响总的资产市值,也就是说,在任意时刻,股票与债券的持有量的变化不影响其总资产的市值.从另外一个角度来看,在任意一个时间段t,只有所持有资产价格的变化才会给投资者的总资产带来变化,这恰恰是(2.1)中第一个等式所表达的意思.值得注意,为了使得(2.1)有意义,我们只需假定,而为了使(2.2)有意义,我们必须假定当.尽管这两个条件互不包含,但前者用起来更方便一些,因此,我们采用了定义2.1. 我们可以将上述关于证券组合过程的自融资性“翻译”成关于证券组合过程的自融资性.事实上,当(1.17)和(1.2)成立时,(2.1)等价于下式:+, (2.3) 于是,类似于定义2.1,我们可以引人下述定义.二、 证券组合过程的自融资性定义2.2 证券组合过程称为自融资的,假如(2.3)成立.根据定义2.1和2.2,我们知道,假定一个证券组合过程本身属于一个较小的空间.如果它作为一个较大空间的元素是自融资的,则它作为较小空间的元素也是自融资的.自融资条件(2.3)表明中的元素只有满足某种约束才能成为自融资的。这对以后的论论是不太方便的,下面我们试图解除这种不便.若记,则,(2.3)等价(2.3) , (2.4) 再由(1.16),可得, (2.5)如果我们记, (2.6)则易见, 当时, (2.7)且(2.5)变成, (2.8)这是一个关于的(线性)积分方程,我们来求解它.为此, 记 (2.9)则(2.8)变成 (2.10)从而 (2.11). (2.12)这就是(2.8)的解.由(2.7)可知,从而,我们得到下述命题.命题2.3 设(M1)成立, 对任何的, 如果按(2.12)方式定义, 则是自融资的。命题2.3 告诉我们,对于任何,只会存在惟一的,使得是自融资的.值得注意的是,在空间是任意的，没有额外的约束,这一点是很重要的.为方便起见,以后我们称为一个证券组合过程.此时意味着我们讨论自融资证券组合过程,其中, 由(2.12)给出,需要指出的是我们不讨论的自融资性.由命题2.3,我们可以得到证券组合过程的相应结果.事实上,由(1.17)和(2.6)可知(2.12)等价于=+, (2.13)因此，我们得到的表达式(注意(l.8): + (2.14)也就是说,当时,由(2.14)可以定义.由于,而有界的,故,这样,我们便得到了以下的命题.命题2.4 设(M1)成立,对任何,存在惟一的, 使得是自融资的.类似于对自融资性的分析,由命题2.4,任给的,可以构造出一个自融资的证券组合过程,其中由(2.14)给出.以后我们称为一个证券组合过程,这意味着我们讨论自融资证券组合过程.容易想象,对于证券组合过程也可以讨论其自融资性。不过，由于它牵扯到其他一些问题，我们暂时将其放一下.三、 在自融资条件下,财富过程下面,对给定的自融资证卷组合过程，我们来推导投资者的财富过程所满足的方程。由自融资条件(2.1)可得(注意(1.12): (2.15)从而,我们有 (2.16) 利用(1.17),我们还顺便得到: (2.17)再由(1.25),并记, 则有 (2.18)在假设(M1)下,对任何的,(2.17)与(2.18.1)等价 (2.18.1)由随机微分方程理论,(2.17)存在唯一的强解: (2.19)从这里可以看到,在自融资条件下,财富过程由和唯一确定,而,所以,在自融资条件下,投资者的证券组合中债券资者的证券组合中债券持有量由股票持有量和总资产所确定,股票持有量的调整听造成的资金盈余或不足由购买债券或出售债券所轧平.类似地,在假设(M1)下,方程( 2.16)有强解: (2.20) 其中,由(1.6)给出.由(1.7)知,只要, (2.20)的右端就有明确定义.对于方程(2.18),形式上,其强解具有表达式(Iot引理):. (2.21) 从上式可以看出,只要右端定义明确,则财富过程的符号完全由初始财富y决定.下面的命题对给出了更多有用的信息,并且也让我们明了证券组合过程应该属于的空间. 命题2.5 假定(M1)成立，且y0，则对任何. (2.22)由(2.21)可以明确地定义财富过程,且它满足, (2.23). (2.24)其中,不依赖于和y .证明: 对任何的,我们有(任取) . (2.25)在上面的证明中,我们用到了下面的事实: , (2.26)这是一个重要的结论.详细证明可以参见文献(I. Karatzas and S. E. Shreve,1998).我们注意到. (2.27)四、 证券组合过程的自融资性现在,我们来简略地讨论证券组合过程的自融资性.由(1.25)可知自融资条件(2.3)等价于+, (2.28)于是(注意), , (2.29)所以,再由(2.12)和(1.25),我们得到的表达式:另一方面,由(1.25)的第二式,我们有常数,使得 (2.31)因此,当时,必有.这样,我们就得到了下述的定义和命题.定义2.6 证券组合过程称为自融资的,假如(2.28)成立,其中,由(2.21)给出.命题 2.7 设(M1)成立,则对任何,存在唯一的,使得是自融资的.上面，我们介绍了三类证券组合过程.它们由(1.1)和(1.2)）联系在一起,为了确定起见,在无特别指明的情况下,以后我们的证券组合过程由来描述.记为-适应的,满足 , (2.32)其中,.任何称为一个(上的)可行证券组合过程.容易看到 . (2.33) 前面曾经提到贴现因子(见(1.8)和贴现股价,等等,进一步,我们称为贴现财富过程(回忆(1.8).由(2.18.1)推得满足下述方程: (2.34) 其中,称为贴现证券组合过程.五. 有摩擦的市场的财富过程 现在,我们对有摩擦的市场作一点简单的讨论.实际的金融市场总是有摩擦的.这主要表现在以下几个方面:证券组合受约束、有交易费要求以及存借款利率不同且有借款约束,等等。以下我们将分别加以描述.首先,在实际的金融市场中总是存在证券组合约束.这种约束主要来自两个原因:一方面是金融市场的监管者为防止投资者特别是大投资者过度操纵市场而强制规定的一些约束条件,如,单个投资者持有任一种股票的股数不能超过该股票总股数的一定比例;另一方面,投资者本身(特别是机构投资者)为防范风险,也会作出一些证券组合约束规定,如,持有任一种股票的总市值不能超过投资者财富总额的一定比例.用数学模型来描述,通常有如下几种类型的证券组合约束,对给定的 ,(C1) ; (C2) ;(C3) .我们定义: (2.35)任何称为一个(上的)允许可行证券组合过程.类似地,我们可以定义证券组合过程和的可行性和允许性.我们来看一看下面比较典型的证券组合约束:, (2.36) 若,则对约束条件(C1)来说,其意义是指投资者持有第种股票的市值有上下限限制;对约束条件(C2)来说,其意义是指投资者持有任何一种股票的股数有上下限限制;而对约束条件(C3)来说,则是指投资者持有任何一种股票的市值不能超过总财富额的一定比例.若,则对(C1)及(C2)来说,其意义为第种股票被禁止卖空.若,则对三种类型的约束条件来说,均为不能买卖第i 种股票.其次,市场上的存借款利率总是不一样的,有时还有借款约束.若投资者持有债券的市值为正时,我们可以认为该投资者在货币市场有储蓄;若市值为负时,则实际上为货币市场的借款。在实际市场中,借款的利率总是高于存款利率.如该投资者的货币市场账户是信用账户(如信用卡),则借款利率还可能与借款的额度有关.特别地,还可能有借款的上限约束(透支上限).此时,我们定义利息函数,满足如下条件:(l) ;(2)为凹函数;(3) 存在常数,当时有.一个典型的利息函数例子为： (2.37) 在利息函数下,对给定的证券组合过程,财富过程满足如下的随机微分方程: (2.38) 市场上通常还有借款约束,比如存在常数,要求, (2.39) 此时,我们在模型中可以构造这样的利息函数: 把(2.37)中的取值为充分大的常数,其意义是对大于的借款部分,利率充分大,以至于人们不愿问津.从而, (2.39)被自动地“蕴含”在利息函数(2.37)的采用之中.最后,市场总是有交易费要求.假定交易费是按照股票交易金额的一定比例收取: 买人的交易费比率为,卖出为,.许多情况下,.记到t 时刻为止累积买人和卖出的第i 种股票股数分别为与,则恰为t时刻投资者持有的第i 种股票的股数.记投资者在t 时刻持有的债券手数为,则当证券组合过程满足 (2.40)时,称投资者的投资组合过程为自融资的.记 和为右连左极适应增过程, (2.41) 我们称为证券组合过程集.在自融资条件下,对给定的证券组合过程,相应的财富过程满足: (2.42 )以上我们介绍了一些连续时间市场模型,这些模型将是以后的章节讨论的基础.值得注意的是,在本书中我们总是假定股票价格过程满足的方程是随机微分方程(1.2),也就是说,股票价格过程是所谓的儿何Brown 运动.有许多文献研究了其他的一些价格模型,如股票价格过程为带跳的随机过程.对这些价格模型,我们也可以建立相应的理论.如自融资的证券组合过程以及相应的财富过程所满足的方程.本书对此不作详细论述,有兴趣的读者可以去查阅相应的文献.8 .3 无套利与等价勒测度在这一节和下一节中，我们将讨论有关连续时间证券市场中的几个重要概念。这些概念在离散时间市场的讨论中已经涉及过,所以,它们对我们来说已经不陌生了.希望读者能自行作一些比较.一、基本概念 定义3.1 对给定的市场与初始财富y =0,若证券组合满足: (3.1) 则称为一个套利证券组合过程(也称套利策略过程).若在市场中这样的证券组合过程存在,则称市场的在下是有套利的,否则称市场在下是无套利的.定义3.2 记,我们称为市场在时刻t的风险溢价(risk premium).若存在值的适应过程 使得 (3.2) 则称为市场在时刻t 的风险市价(market price of risk).我们分别称和为市场的风险溢价过程和风险市价过程.从上面的定义3.2可见,一般而言,市场的风险市价过程可以是不惟一的.事实上,如果为市场的一个风险市价过程,为任何一个适应过程满足,则由(3.2),也是一个风险市价过程.所以,只要使得的所有构成的中的子集, 具有dPdt 正测度,则风险市价过程就不惟一.反之亦然.二、测度转换现在假定风险市价过程存在,且满足下述所谓的Novikov 条件:, (3.3)则我们可以定义, (3.4)然后定义, (3.5)可以证明,是上的一个概率测度,并且它与P是等价的,即对任何,当且仅当.现在令, (3.6) (3.6.1)由Giranov 定理可知,是概率测度空间中的一个值标准Brown运动.这样,股票价格过程所满足的随机微分方程可以写成(注意(3.2) : , (3.7)由知,贴现股票价满足, (3.8)因此, (3.9)从而,满足, (3.10)也就是说,是一个取值于的鞅.我们引入下述定义:定义3.3 概率空间上的概率测度Q 称为是市场的一个等价鞅测度,如果Q与P 等价,并且是一个取值于的Q-鞅.于是,上面的分析可以归纳为下述命题.命题3.4 假定(M1)成立,设风险市价过程存在,且满足Novikov 条件(3.3),则由(3.5)定义的是市场的一个等价鞅测度.在命题3.4的条件下,财富过程满足（注意（2 . 17 ) ) (3.11) 而贴现财富过程满足(注意(2.35): (3.12) 类似于(3.9)(3.10)可知,是一个-鞅。由股票价格过程所满足的随机微分方程(3.7)可知,在等价鞅概率测度下,每种股票的平均增长率都等于无风险利率,如果我们假定是一个确定性的可测函数,因而我们也称为风险中性的概率测度.三、无套利性与等价鞅测度的联系值得注意,市场的存在等价鞅测度并不说明即为等价鞅测度.事实上,甚至我们暂时还不知道风险市价过程是否存在,即使存在,也不知道它是否满足Novikov 条件(3.3).不过,在市场中，无套利性与等价鞅测度的存在性有着密切的联系.定理3.5 若市场存在等价鞅测度,则市场是无套利的.证明: 首先,我们注意到 (3.13) 而对于自融资的, (3.14) 将( 3 . 14)代入 ( 3 . 13)可得: ( 3 . 15 ) 从而, ( 3 . 16)因是-鞅，我们断言也必为-鞅。事实上，对任何的一个分割,我们有 由于 (3.18)此处，, (3.18)的收敛性成立于。因此，我们得到 (3.19)因而,是-鞅,于是,如果，则 (3.20)从而不可能有证券组合过程，使得(3.1)成立，所以，市场无套利。证毕。严格说来，市场中等价鞅概率测度的存在性只与系数有关，但是市场是否无套利则与所考虑的自融资证券组合过程集合的大小及财富过程有关,也就是说,市场是否无套利还与市场是否无摩擦有关.这里我们仅考虑了在无摩擦市场的无套利问题.尽管等价鞅测度的存在并不能说明存在满足Novikov条件(3.3)的风险市价过程，但我们仍有如下结果：定理3.6 假定成立，如果市场是无套利的，则风险市价过程存在。证明：假如风险市价过程不存在，我们令 无解 (3.21)则有 (3.22)从而，由Filippov 引理，存在使得, (3.23)并且 (3.24)取 (3.25)则有，且 (3.26)易知 (3.27)这表明市场存在套利机会，矛盾。证毕下面的结果表明当市场满足一定条件时等价鞅测度存在。定理3.7 设成立，假定，且存在，使得 (3.28)则市场存在满足Novikov 条件的风险市价过程，从而市场存在等价鞅测度进而市场无套利。证明：由条件 (3.28)可知，存在，且为一有界过程。令 (3.29)则为方程 (3.30)的一个解，且为有界过程，从而Novikov 条件(3.3)成立，即满足Novikov 条件的风市价过程存在，因此，由命题3.4，为市场的等价鞅测度。证毕。由于在条件（3 . 28 ）下，风险市价过程可以是不惟一的，因此，一般而言，在等价鞅测度存在时，它可以是不惟一的，这和单时段市场情形下风险中性概率测度的不惟一性是类似的。需要指出的是，市场无套利性是依赖于证券组合过程集合大小的。市场在较小的证券组合过程集合下比较容易“无套利”，或者说，在较小的证券组合过程集合中较难找到套利证券组合过程。一个极端的例子是：如果证券组合过程集合为，即只允许买债券 或存银行），则市场总是无套利的。由此可见，严格地讲，在定义市场无套利时，应该指明是关于哪一个证券组合过程集合而言的。我们也可以定义关于证券组合过程或的市场的无套利性。关于的市场无套利性的定义与定义2 . 1 极为相似。不过，需要提请读者注意的是，关于的市场无套利性的定义却不能照搬定义3 . 1 。假如我们仍然用定义3.1，则对于任何证券组合过程由表达式(2.21)可知，当，从而，市场似乎必无套利，这显然不能令人信服。我们将这个问题留给读者去思考。 8 . 4 市场完备性在离散时间市场的讨论中，我们已经接触过完备性的概念。现在，对于连续时间市场，我们对它作进一步的讨论。我们需要区分两种情形：市场有摩擦和无摩擦。对于一个无摩擦的市场而言，它所体现的特性完全由其系数来决定，所以, 这是一种内蕴的性质。而对于一个有摩擦的市场而言，除了系数以外，还牵扯到可能的证券组合过程或财富过程的约束条件、可能的交易费率、不同的利息函数等等，因此，这时市场表现出来的特性还具有一些外在因素造成的后果。记可测的平方可积随机变量全体为。我们首先引入下述定义。定义4 . 1 在时刻0签署的一份承诺在时刻T 支付的合同称为一个0，T上的欧式未定权益。 为了方便起见，在本节中，我们省略“欧式”二字，并且直接称为一个未定权益，现在我们给出下述定义。定义4.2 假定是一个允许有摩擦的市场，为0，T上上允许投资策略全体。（1） 未定权益称为-可套期保值的（或可上复制的），如果存在初始财富及允许证券组合过程，使得 （4 . 1 ) 这里，证券组合过程称为的一个套期保值过程（或上复制过程）, y 称为初始套期保值财富。(2 ) 未定权益称为-可复制的，如果存在初始财富及允许证券组合过程使得 （4 . 2 ) ( 3 ) 在给定的时间区0，T上称市场是广义完备的，如果任意的未定权益都是-可复制的。如果市场不是广义完备的，则称之为广义不完备的。( 4 ) 对于无摩擦市场，相应地，可以定义-可套期保值和-可复制。如果任意的未定权益都是-可复制的，则称市场是内蕴完备的，当市场不是内蕴完备的，则称之为内蕴不完备的。容易知道，如果一个市场是内蕴不完备的，则对其施加任何约束（摩擦）后，市场必是广义不完备的，因此，内蕴不完备性是本质的。另外，至少从定义中可见，内蕴完备的市场在施加约束（摩擦）以后有可能成为广义不完备的。事实上，只要施加的约束不是平凡的，即约束使得映照的值域变小，那么，该市场就可能是广义不完备的了。因此，就市场的本质特性而言，我们应该着重讨论市场的内蕴完备性。在本节余下部分中，我们仅讨论市场的内蕴完备性，为了叙述简洁起见，我们省略“内蕴”二字。由财富过程所满足的方程可知，市场是完备的等价于：对任给的未定权益，存在，使得为倒向随机微分方程 ( 4 . 3 ) 的一个适应解。关于倒向随机微分方程的有关知识，可以参见附录。定理4 .3 设（Ml ）成立，且，若存在常数，使得 （4 . 4 ) 则市场完备。证明：由（4 . 4）可知，矩阵的逆存在且有界，另一方面，我们知道在条件下（M1），对任何，如下的倒向随机微分方程 ( 4 . 5 ) 存在惟一的适应解。令 ( 4 . 6 ) 易知，且为（4 , 3 ）的适应解，从而市场是完备的。在上一节里我们已经看到，风险市价过程在市场是否无套利中起着重要的作用。事实上与市场是否完备也有紧密的联系。定理4 .4 设（Ml ）成立，且假定风险市价过程存在并满足（4 . 3 ) ，则有市场完备 （4.7）证明： 由条件可知，( 4 . 3）等价于 （4 . 8 ) 其中，在风险中性的概率测度下为标准的Brown 运动。现考虑如下的倒向随机微分方程： ( 4 . 9 ) 我们知道，( 4 . 9）存在惟一的适应解，从而由可知，按( 4 . 6）定义的，而且为（4 . 3）的适应解。：由条件可知，对任给的，如下的倒向随机微分方程存在惟一的适应解： ( 4 . 10) 其中，而和分别为贴现后的财富过程与证券组合过程。现在，对任给的，令 (4