《杆件的变形计算》PPT课件.ppt

第四章杆件的变形计算 第一节拉 压 杆的轴向变形 EA称为拉 压 杆的抗拉 压 刚度 泊松比 阶梯形直杆受力如图所示 已知该杆AB段横截面面积A1 800mm2 BC段 A2 240mm2 杆件材料的弹性模量E 200GPa 试求该杆总变形量 解 1 求AB BC段轴力FNAB 40kN 拉 FNBC 20kN 压 2 求AB BC段伸长量 3 AC杆总伸长 例4 1 图示桁架 钢杆AC横截面面积A1 960mm2 弹性模量E 200GPa 木杆BC横截面A2 25000mm2 杨氏模量E 10GPa 求铰节点C的位移 2 求AC BC两杆的变形 例4 2 解 1 求AC CB两杆的轴力 3 求C点位移 练习 已知拉杆CD l 2m d 40mm E 200GPaAB为刚性梁 求B点位移 第二节圆轴的扭转变形与相对扭转角 在圆轴扭转时 各横截面绕轴线作相对转动 相距为dx的两个相邻截面间有相对转角d 上式称为单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小 其单位是rad m 当GIP越大 则 越小 故称GIP为圆轴的抗扭刚度 两端相对扭转角 当Mx GIP为常量时 上式为 某机器传动轴AC如图所示 已知轴材料的切变模量G 80GPa 轴直径d 45mm 求AB BC及AC间相对扭转角 最大单位长度扭转角 解 1 内力分析 2 变形分析 AB段 BC段 例4 3 为轴的抗扭强度 当轴的截面为矩形时 两端相对扭转角的计算公式为 为与比值h b有关的系数 可查表得 已知 n 200r min PA 200kW PB 90kW PC 50kW PD 60kW G 200GPa dAC 0 06m dBC dAD 0 04m 解 1 求外力扭矩 2 求内力扭矩 画内力图 3 各段变形及总变形 4 求最大单位长度扭转角 练习 试求 1 轴两端截面相对转角 2 最大单位长度扭转角 解答 已知 n 200r min PA 60kW PB 150kW PC 90kW G 200GPa dAB 0 06m dBC 0 04m 试求 1 轴两端截面相对转角 2 最大单位长度扭转角 第三节梁的弯曲变形 挠曲线近似微分方程 一 梁的变形当梁在平面内弯曲时 梁的轴线从原来沿轴方向的直线变成一条在平面内的连续 光滑的曲线 该曲线称为梁的挠曲线 横截面形心沿竖向位移w 称为该截面的挠度 而截面法向方向与轴的夹角 称为该截面的转角 截面形心C点的竖向位移w 一般可表为x的函数 这一关系式称为挠曲线方程 符号规定 挠度 向上为正 向下为负 转角 截面法线与轴夹角逆时针为正 顺时针为负 即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正 二 挠曲线近似微分方程 在纯弯曲梁的情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为 横力弯曲时 若梁的跨度远大于梁的高度时 剪力对梁的变形影响可以忽略不计 挠曲线与转角之间近似有 挠曲线的斜率近似等于截面的转角 由微分学可知 按弯矩的符号规定 当M 0时 梁的上部受压 下部受拉 挠曲线上凹 由微分学知 在图示坐标下 w 为正 当M 0 梁下部受压 上部受拉 挠曲线下凹 w 为负 可去掉 号 当梁小变形时 代入前面的式子 得 梁的挠曲线近似微分方程 可得 第四节用积分法求梁的弯曲变形 将上式梁的挠曲线近似微分方程积分一次 就得到转角方程 再积分一次得到挠曲线方程 对等直梁 EIZ为常量 有 积分常数C D 可由梁的边界条件来确定 等直悬臂梁受均布载荷如图所示 试建立该梁的转角方程和挠曲线方程 并求自由端的转角和挠度 2 列挠曲线近似微分方程 3 积分 解 1 弯矩方程 例4 4 4 确定积分常数 由边界条件 当x 0 分别代入前面的式子得 5 列出转角方程和挠曲线方程 6 求自由端挠度和转角 一简支梁上点C处作用力F 设EI为常数 试建立转角方程和挠曲线方程 并求梁内最大挠度及转角 解 1 求支反力和列弯矩方程 2 列出挠曲线近似微分方程并积分 例4 5 3 确定积分常数 4 列转角方程和挠曲线方程 5 确定最大挠度及转角 最大挠度应发生在AC段上处 将 0代入式 9 求出x1 将其代入式 10 求得最大挠度绝对值 梁的中点的挠度 当作用点C与梁的中点越接近 最大挠度与中点挠度两者相差越小 若C点靠近支座B 则两者相差最大两者相差不超过2 6 可见在简支梁中 只要挠曲线上无拐点 可用中点挠度来代替其最大挠度 练习 第五节用叠加法求梁的弯曲变形 在杆件符合线弹性 小变形的前提下 变形与载荷成线性关系 即任一载荷使杆件产生的变形均与其它载荷无关 这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形 将其相加 便得到了这些载荷共同作用时杆件的变形 这就是求杆件变形的叠加法 例4 6求图示梁挠曲线方程 并求中点挠度及最大转角 已知 M ql2 2 梁的抗弯刚度为EI 解 1 求挠曲线方程 2 求最大转角和中点挠度 例4 7一外伸梁 简支段AB受均布荷载的作用 而外伸段自由端C作用一集中力 求C处挠度和转角 解采用逐段刚化的方法 首先刚化AB段 这样BC可作为一悬臂梁来研究 C点的挠度和转角为 再刚化BC段 将力F平移到B 得F 及力偶M 力F 对梁的变形没有影响 力偶M引起AB段变形 使B处产生转角 同样 q引起了AB段变形 使C点产生转角和