《极值与凹凸性》PPT课件.ppt

3 4极值与凹凸性 3 4 1函数的极值 定义3 1 的一个极大值 或极小值 如果在x0的 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点x0称为极值点 设在x0附近有定义 某个空心邻域内 恒有 注意 极值的概念是一个局部性的概念 它仅涉及函数在一点附近的性质 定理3 4 极值的必要条件 注意 可导函数的极值点必定是驻点 例如 但驻点不一定是极值点 则必有 设在点处可导 且在处取得极值 的驻点 另外 连续函数的不可导点 也可能是极值点 例如 设函数在x0处连续 定理3 5 极值的第一充分条件 在x0的某个空心 邻域内可导 则 1 如果有 而 有 则在处取得极大值 2 如果有 而 有 则在处取得极小值 3 如果当及时 符号相同 则在处无极值 是极值点情形 不是极值点情形 求函数极值的基本步骤 3 求出各极值点处的函数值 得到相应的极值 1 求出的所有可能的极值点 即的不可导的点和的点 2 对 1 中求得的每个点 根据在其左 右是否变号 确定该点是否为极值点 如果是极值点 进一步确定是极大值点还是极小值点 例1求函数的极值 解 极大值 极小值 函数在其定义域内连续 导数不存在 不存在 无极值 不存在 定理3 6 极值的第二充分条件 注意 则 设在处具有二阶导数 且 1 当时 函数在处取得极大值 2 当时 函数在处取得极小值 此时仍需用定理3 5 极大值 极小值 解 定义域为 例2求函数的极值 图形上任意弧段位于所张弦的上方 3 4 2曲线的凹凸性及拐点 问题 如何研究曲线的弯曲方向 图形上任意弧段位于所张弦的下方 恒有 设在区间I上连续 定义3 2 如果 恒有 如果 定理3 7 解 定义3 3连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点 例3判断曲线的凹凸性 定理3 8 拐点的第一充分条件 设函数在x0的某邻域内连续 在空心邻域内存在 1 2 定理3 9 拐点的第二充分条件 曲线的拐点 解 凹的 凸的 凹的 拐点 不是拐点 例4求曲线的拐点及凹凸区间 函数在其定义域内连续 不存在 例5证明 证 所以曲线在上是严格向下凸的 有 即 性质 有 则 其中 证 例6证明当 设 则 即 1 铅直渐近线 垂直于x轴的渐近线 3 4 3函数图形的描绘 一条渐近线 移向无穷点时 如果点P到某定直线L的距离 趋向于零 如果 例如 有两条铅直渐近线 2 水平渐近线 平行于x轴的渐近线 例如 有两条水平渐近线 如果 3 斜渐近线 斜渐近线求法 如果 或 若 且 注意 解 如果 定义域为 例7求的渐近线 不存在 不存在 可以断定不存在斜渐近线 所以 是曲线的铅直渐近线 所以 是曲线的一条斜渐近线 1 确定函数的定义域 间断点 奇偶性和周期性 和拐点 2 确定曲线的渐近线 把握函数的变化趋势 确定曲线的凹凸性 4 适当计算曲线上一些点的坐标 如极值 拐点 的坐标 注意曲线是否与坐标轴是否有交点 函数作图的具体步骤可归纳如下 3 求出函数的单调性和极值 例8描绘函数的图形 解 函数非奇非偶 定义域为 水平渐近线 不存在 拐点 极