吴赣昌编 《概率论与数理统计》（经管类三版）第五章.doc

习题5-13、设，是的样本均值与样本方差，做变换，设，是的样本均值与样本方差，证明：（1）；（2）证：（1）因为，所以，因而。（2）4、分组样本均值与方差的近似计算（仿照例7）5、证明：（1）（2）对任意给定的c,d,有证：略（只需将等式右端展开整理既得）6、略7、略8、设总体X的分布函数为，经验分布函数为。证明（1） ，；（2），对于任意的x，有证：（1）对于任意的x，X的分布函数，令，表示X的取值中不超过x的个数，则由经验分布函数的定义有表示中不超过x的频率，也就是事件发生的频率。是事件发生的频数，而事件A发生的概率为，且是独立的试验，所以服从参数为n，p的二项分布。所以，因而；（2）由切比雪夫不等式得到对上式取极限，由两边夹定理，即得。9、略10、略11、总体的分布函数为，密度函数为，为来自总体的样本，记，求各自的分布函数与密度函数。解：记的分布函数和密度函数分别为的分布函数和密度函数分别为，则所以。所以12、设总体X的密度函数为，求最大顺序统计量和最小顺序统计量的密度函数。解：总体的分布函数为则最大顺序统计量的分布函数为所以；最小顺序统计量的分布函数为所以13、套用11题的公式。14、设电子元件的使用寿命，近今独立测试6个元件，记录他们的失效时间。求（1）没有元件在800小时之前失效的概率；（2）没有元件最后超过3000小时的概率。解：设测试的6个元件的使用寿命为，他们是来自总体X的简单随机样本。（1）”没有元件在800小时之前失效”等价于“6个元件中使用寿命最短的那一个都超过800小时。所求概率为，套用11题的结果可得。（2）“没有元件最后超过3000小时的概率“等价于“6个元件中使用寿命最长短的那一个小于3000小时；所求概率为，套用11题的结果可得。15、 设总体Xb (1,p)，X1，X2，Xn是来自X的样本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E (), D (), E (S 2 ).解：（1）（X1，Xn）的分布律为 =（2）（3）E ()=E (X )=P， 16、套用11题的结果，求出最大顺序统计量和最小顺序统计量的密度函数，再求数学期望，即第三章中最大分布与最小分布的数学期望。也即串、并联系统的平均使用寿命问题。17、设总体，为来自总体的样本，设，证明证：因为相互独立同分布与X，所以所以可得18、在天平上重复称一重量为的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布，以表示次称量结果的算术平均值，求使成立的称量次数的最小值。解：由题意知，所以所以即，所以，所以最小取16.19、设、为来自正态总体的容量为的两个随机样本的均值，两个样本之间相互独立，试确定，使两个样本均值之差超过的概率小于0.05.解：由题意，所以，所以所求是满足的。所以，所以，即，最小取820、设总体X的期望为，方差为，若至少要以0.95的概率保证，问样本容量应取多大。解：由中心极限定理知，当样本容量充分大时，近似服从标准正态分布。所以即，所以，即习题5-21、设总体，为简单随机样本，问下列统计量服从什么分布。（1）；（2）；（3）解：（1），所以，所以由学生分布的构成知，即（2），所以由学生分布的构成知，即（3），所以由F分布的构成知，即2、设是来自正态总体的简单随机样本，求常数，使得. 解 所以当时3、设总体，为样本，求概率（1）；（2）解：（1）因为，所以，所以，（查表知）（2）因为，即（查表知）4、设有k个正态总体，从第i个总体中抽取容量为的样本，且各组样本间相互独立，记，求的分布。解：因为再由卡方分布具有可加性，所以5、设X和Y相互独立且都分布于，和分别为取自X和Y的样本。判断统计量服从的分布。解：因为独立同分布于，所以所以；因为独立同分布于，所以，所以所以，由T分布的定义知，即6、设X与Y独立同分布于标准正态分布，与分别来自两个总体的样本，其样本均值和，记，判断所服从的分布解：因为独立同分布于标准正态分布，所以，即所以，因为独立同分布于标准正态分布，所以，由卡方分布的可加性，所以，由T分布的定义，即7、已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 .8、设总体，相互独立，与分别来自两个总体的样本，其样本均值和，求统计量的分布。解：因为独立同分布于，所以；因为独立同分布于，所以所以，所以而所以由T分布的定义知即9、设来自于正态总体的样本，且，判断服从的分布。解：由题意，所以，即，又，所以，由T分布的定义知，即10、设来自于正态总体的样本，判断服从什么分布。解：因为独立同分布于，所以，所以，所以，由F分布的定义知即11、设证明：（1）；（2）证：（1）因为，所以存在，使，则（2）由分位数的定义，知，所以，即所以而，所以12-15略习题5-31、已知离散型总体X的分布律为X246P1/31/31/3取容量为n=54的样本，求（1）样本均值落在4.1到4.4之间的概率；（2）样本均值超过4.5的概率解：由题意，（1）（2）2、某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求（1）大小为9的随机样本平均寿命落在4.4和5.2之间的概率；（2）大小为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。解：设X表示搅拌机的寿命，则其为总体，近似服从于，为样本，由题意（1）（2）3、设与分别来自两个独立总体及的样本，以和表示两个样本的均值，求。解：因为独立同分布于，所以因为独立同分布于，所以所以，即所以4、设来自正态总体，计算解：因为独立同分布于，所以，所以，所以所以5、（1）设总体X具有方差，总体Y具有方差，两总体的均值相等。分别从两总体中取容量都为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为和，用切比雪夫不等式估计k，使解：由题意，所以，由切比雪夫不等式由题意，解得k=18.028（2）设（1）中的总体是正态总体，求k解：由题意，则由题意，解得6、从一正态总体中抽取容量为16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01，求总体的标准差。解：设总体，样本均值为，则，由已知，则因而，查表计算得7、在总体中抽取容量为5的样本，求（1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；（2）求概率和。解：，所以（1）（2）以上全为正态分布的问题。8、设取自正态总体，求（1）；（2）解：（1）因为取自正态总体，所以由卡方分布定义知所以由于查表得，所以（2）由抽样分布定理知所以（查表，）9、设在总体中抽取容量为16的样本，均未知，为样本方差。（1）求；（2）求解：（1）因为，所以对容量为16的样本有，所以（2）因为，所以所以10、设总体，为来自总体的样本，已知，求。解：因为，其中，所以，所以由卡方分布的分位数知，查表的，所以11、设设总体，为来自总体的样本，为样本方差，求满足不等式的最小n值。解：因为，所以因而不等式变为，所以要满足该不等式，就需要（参照卡方分布图）利用卡方分布表，可以看出，当时有。以上为卡方分布的习题12、设样本和分别来自相互独立的总体和，已知和是两个实数，求随机变量 的分布 解 ，又所以 而 所以 .13、设总体，相互独立，与分别来自两个总体的样本，相互独立，其样本均值和，和分别为其样本方差。则以下统计量服从何分布。（1）；（2）解：（1）由抽样分布定理，由卡方分布的可加性，（2），所以所以，所以，又，所以，所以即14、假设