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2 0 0 8 年3 月 第2 4 卷 第1 期 纯粹数学与应用数学 Pu r e a n d Ap p l i e d M a t h e ma t i c s M a r 2 o o 8 Vb 1 2 4 N0 1 内导集与内导集运算 王昭海2 吴洪博 代建云 李海霞 1 陕西师范大学数学研究所 陕西 西安7 1 0 0 6 2 2 安康学院数学系 陕西 安康7 2 5 0 0 0 摘要 给出了内导集的定义 证明了其性质 并且讨论 了内导集与导集之间的关系 随 之定义了内导集运算 利用内导集运算定义了拓扑 并讨论 了内导集运算条件之间的独 立 性 关键词 内导集 导集 领域 内部 拓扑空间 中图分类号 O1 8 9 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 5 5 1 3 2 0 0 8 0 1 0 0 3 0 0 4 文 1 给出了拓扑空间中导集的定义 并对其性质进行了讨论 文 5 又定义了导集运算 并对导集定义拓扑的方法进行 了较为细致 的讨论 本文主要提 出了内导集的概念 讨论了其 性质 并得到以下结果 设 是一个集合 e P 一 P 是一集值映射 若 e 幸满足条 件 V A B P 1 e 2 e n B e n e B 3 A n e e e 4 e 幸 X l e U 则存在 的唯一 拓扑 使得在拓扑空间 中的内导集等于 e 1 预备知识 定义 1 1 设 是 个集合 是 的一个子集族 如果 满足如下条件 1 X e J 2 若 B 则 n B e J 3 若 3 i c 则 U A A 则称 是 的一个拓扑 并称偶对 是一个拓扑空间 定义 1 2 设 是一个拓扑空间 A c X 如果 是点 的一个邻域 即存在 中的一 个开集 使得 V c A 则称点 是集合 的一个内点 集合 所有内点构成的集合称为 集合 的内部 记作 定义 1 3 点 称为集 的聚点 如果 A一 集 的所有聚点称为集 的导集 记作 d 定理 1 1 0 设u x 是点 的所有邻域组成的集族 则满足 N 1 X z N 2 如果 U z 则 N 3 如果 U z V 则 V z N 4 如果 V z 则 n V z N 5 如果 U z 则存在集合 使 V c 且对任何 V u x 2 内导集的定义与性质 定义 2 1 设 是一个拓扑空间 A X 集合 E Xl U 称为 A的内导集 记作 e 也即 e A E Xl U 从而 e A 等价于 A U 为点 的一 收稿日期 2 0 0 6 1 1 0 1 基金项目 国家自 然科学基 金 1 0 4 7 1 0 8 3 陕西师范大学重点科 研基金 9 9 5 1 3 0 作者简介 王昭海 1 9 6 6 讲师 研究方向 格上拓扑学与不确定性推理 维普资讯 第 1期 工昭海 等 内导集与内导集运算 3 1 个邻域 例 2 1 离散拓扑空间中集合的内导集 由于离散拓扑空间中的任一子集都是开集 故其内导集均为全集 例 2 2 平庸拓扑空间中集合的内导集 设 是一个平庸空间 是 中的一个任意子集 我们分三种情形讨论 情形 1 A X 这时显然 V x X z e 即 e A X 情形 2 A X 一 z 0 l X O X 由于当 z X z X O时 U l A X 故此 时 z e 当 z X O 时 AU z 0 l X 所以X O e 即 e A z 0 l X 情形 3 A X 一 z l z 2 l z l X 2 X 由于对 V x X A U z l X 故 z e 即 e A 例 2 3 设 是一个拓扑空间 其中 X n b c l n 6 l 1 容易验 证 e 8 c 1 l 这个例子说明 内导集虽然是由内部定义的 但它不一定是开集 定理 2 1 设 是一个拓扑空间 B CX 则 E 1 e E 2 A B 则 e A e j E E 3 e AnB e A ne j E E 4 Ane A e e 证明 E 1 由内导集定义可得 e X z X I z X U z 1 l 扣 E XI z e x X 故证明了 e x1 X E 2 设 j E 如果 z e 则 A U 1 z 又 AU z 1 B U z 1 结合邻域 的性质可得 U 1 z 即 z e 这就证明了e A e E 3 一方面 V x e Anj E nB U z 1 z 再由 AU z 1 nB U z 1 BU z 1 nB U 1 结合邻域的性质可知 AU 1 z BU z 1 z 即 z e a 且 z e j E 从而证明了 e AnB e A ne j E 另一方面 V x e A ne j E 则 AU z 1 z z 且 BU z 1 z 由邻域的性质可知 AU z 1 C i BU 1 nB U z 1 z 即 z e anjE 从而证明了 e A ne B e nj E 故 E 3 成立 E 4 V x A n e 则 z A z e 由于 z e A 可知 U z 又 z A 故 A z 由A z 可知存在z的开邻域V包含于 则对V y V z 又 因此 A z 从而 AU 1 z 即 Y e e A 由于 V y Y e 可得 e 又 因为 V z z 所以 e A z 从而 z e e 以上证明了 ne A e e 注 1 设 是拓扑空间 A I i e l z 由 E 2 易证e nt J A i ni E I e A e Ui J A UiE I e A 但是它们的反包含都是不成立的 举例如下 例 2 4 设 R是通常实数空间 a i I t 一1 i 1 i I t 1 2 1 显然 0 n J e A 而 n J A 0 l 所以 0 e C l i j A i 故 e C i J A i n i E J e A i 不成立 例 2 5 设 是平庸拓扑空间且 IXI 3 令 A t X 一 z 0 l X 0 X A 2 X 一 l z 2 l z l X 2 X 且X 0 z l X 2 互不相同 由例 2 2 知e A 1 U A 2 e x X 而 e A 1 U e A 2 o l U z 0 1 所以 e Ui J A i U J e A 不成立 定理 2 2 设 是一个拓扑空间 则 A An e 证明 V x A A z 则 U z z 故 z e 从而 z An e 这就 证明了 n e 另一方面 V x An e 则 z A 且 z e 由 z e A 可 知 z AU 1 从而 z A 故 n e A A 结合以上两方面 证明了 A An e 推论 2 2 拓扑空间 的子集 是开集的充分必要条件是 e 定理 2 3 设 是一个拓扑空间 则 z e a 且 z e x A 的充要条件为 z l 是 的 个开集 证明充分性显然成立 必要性 若 z e A 且 z e x 即 A U 1 z 且 A U z 1 z 则 AU 1 C i x A U 1 z l z 所以 z l 为 的一个开集 推论 2 3 X 是一个拓扑空间 V x X 存在 使得 z e A 并且 z e x A 的充要条件是 是离散拓扑空间 也即e 0 X 的充要条件是 x是离散拓扑空间 维普资讯 纯粹数学与应用数学 第 2 4卷 3 内导集与导集之间的关系 定理 3 1 设 是一个拓扑空间 A 则 e a X a x A 注 2 定理 3 1揭示了内导集与导集之间的关系 从单个点来解释的话就是说 e a 当 且仅当 a x A 即对 A V X 则 必属于且仅属于 e a 和 a X A 中的一 一 个 推论 3 1 设 是一 个拓扑空间 A 对 X e a 当且仅当 e x A 则 e a d A 证明 由已知 e a 当且仅当 e x A 再由定理 3 1得 e x A 当且仅 e a d A 定理 3 2 设 是一个拓扑空间 若 e O 或 a X 则对 V A X 有 e a d A 证明 由内导集在拓扑空间中的性质 3 可得 e O e an X A e a ne X A 再由条件 e O 即 e a n e X A 所以 e 则 e x A 由注 2 知 e x A 兮 d A 因此 e a 时可得 d A 故 e a d A 我们还可以得到 e O 当且仅当 X f 不是 中的开集 所以由定理 3 2知 拓 扑空间 中不存在单点集构成的开集时 任意的 A X e a d A 4 内导集运算及相关定理 定义 4 1 内导集运算 设 是一个集合 e P 一 P 是一集值映射 若 e 满足条 件 V A B P 1 e 2 e An B e A n e B 3 Ane A e e A 4 e A X l e AU 则称 e 为集合 的 个内导集运算 注 3 由条件 2 及保交运算的保序性可得 A B时 e A e B 定理 4 1 内导集运算定理 设 是一个集合 e P 一 P 是一个内导集运算 则 存在 的唯一 拓扑 使得在拓扑空间 中的内导集等于 e A 注 4 在验证 是拓扑的证明过程中只用到了定理 4 1中的 1 2 而在验证在拓扑空 间 中的内导集等于 e A 时用到了条件 3 4 所以内导集运算的条件 1 2 就决定 了拓扑 而条件 3 4 保证了在拓扑空间 中的内导集等于 e A 例 4 1 设 是非空集合 定义 e P 一 P V A P e A X 易验证 e 是集合 的内导集运算 由 e 导出的 的拓扑 A P l A e A P 因 此 是离散拓扑空间 由例 2 1 知 V A c X e a X e A 例 4 2 设 X 0 b c 定义 e P P V A P J 0 A 6 c c I A 0 0 6 j 0 c 首先易验证 e 是集合 的内导集运算 由 e 导出的 的拓扑 A P l A e A X 0 0 6 0 c 并且容易验证在拓扑空间 中 V A P e a e A 5 内导集运算条件的独立性 1 存在 e 满足内导集运算的条件 2 3 4 但不满足条件 1 例如 V A P 令 e 2 存在 e 满足内导集运算的条件 1 2 3 但不满足条件 4 例 I V A 令 e A 维普资讯 第 1期 工昭海 等 内导集与内导集运算 首先容易验证 e 满足条件 1 2 3 另外 V A P 一 e A X 而 l e U x l AU x 所以 e X l e U 即 e 不满足 4 由 e 满足条件 1 2 知 它所决定的拓扑为 X l e P 即离散拓扑空间 由例 2 1知当 A X 时 e A e 3 存在 e 满足条件 1 3 4 而不满足条件 2 例如 设X n b c r e n c e n n e 6 e c c e n 6 c e 6 c n e 口 c 6 e X 首先 容易验证e 满足条件 1 下面我们以 n 6 为例进行验证条件 3 和条件 4 n 6 n e n 6 n 6 n c r e e n 6 e c c 显然满足条件 3 又e n 6 c X l e n 6 U c 显然满足条件 4 令 A n B n c e ne B n n 一 而 e nB e 0 n e ne B 4 存在 e 满足条件 1 2 4 但不满足条件 3 例如 设 X n b c e n e n n 6 e 6 n c e c n e n 6 X e n c n 6 e 6 c n c e X 首先容易验证 e 满足条件 1 下面我们先以A n c B 6 c 为例验证条件 2 e n B e c n e n e B n 6 N a c n 其它的集合可类似进行验 证 再以 n c 为例验证条件 4 e n c n 6 X l e n c U 口 6 即满足条件 4 其余集合类似可证 下证 e 不满足条件 3 取 A 6 c e e e n c n 6 而 ne c N a c c 显然 e e A ne 即 e 不 满足条件 3 由e 满足条件 1 2 它所决定的拓扑为 t 毋 x t n t n b 但 e t n c e n c n 6 上述 2和 4表明定理 4 1的条件 3 4 共同保证了在拓扑空间 中的内导集等 于 e 二者缺一 不可 参考文慧 1熊金城 点集拓扑学 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 7 2 高国 拓扑空间论 f M 北京 科学出版社 2 0 0 0 3 K e U e y J L G e n e r a l T o p o l o g y M N e w Y o r k S p ri n g e r V e r l a g 1 9 7 5 4 吴洪博 赵彬 拓扑学基础 M 西安 陕西旅游出版社 2 0 0 3 5 吴洪博 李岩 马巧云 导集及导集运算 J 陕西师范大学继续教育学报 2 0 0 6 2 3 1 1 0 3 1 0 6 6 李进金 由子基生成的内部算子与闭包算子 J 数学进展 2 0 0 6 3 5 4 4 7 7 4 8 4 I nt e r nal de r i ve d s e t s and i nt e r nal de r i ve d o p e r a t i on WANG Z h a o h a i 2 W U Ho n g bo 1 DAI J i a n y u n 1 LI Ha i x i a 1 C o l l e g e o f Ma t h e ma t i c s a n d I n f o r ma t i o n S c i e n c e S h a a n x i N o r mal Un i v e r s i t y X i an 7 1 0 0 6 2 C h i n a 2 De p a r t me n t o f Ma t h e ma t i cs An k a n