在职硕士GCT考试上海交通大学线形代数讲义—线代题集锦.doc

上海交通大学 线性代数试题集锦 一.单项选择题1 已知为三阶方阵，则行列式 (A (B). (C) (D) 2. 设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 3. 4. 设为阶方阵，满足，且，则 (A).为可逆矩阵 (B)为零矩阵(C)为对称矩阵 (D)为不可逆矩阵5. 设是维列向量,阶方阵,，则在的个特征值中,必然_(A) 有个特征值等于1 (B) 有个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于16. 设A,B 为n 阶方阵, 且秩相等, 即则_.7. 设,是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列向量组中不再是的基础解系的为_(A) ,+,+,+；(B) +,+,+,-；(C) +,-,+,+；(D) +,+,+,+8. 设线性方程组，其中为矩阵，且，则方程组 . (A) 有唯一解 (B)有无穷多解 (C) 无解(D)可能无解 9.设向量组可由向量组线性表示，则 . (A) (B) (C) (D)10. 设方程组有无穷多组解，则必有_(A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 211. 设向量组是向量组的线性无关的部分向量组，则_ _(A) 向量组是的极大线性无关组(B) 向量组与的秩相等(C) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价(D) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价12. 设为阶可逆矩阵，则的伴随矩阵 (A) (B) (C) (D)13. 设为矩阵，则 (A) 是阶单位矩阵 (B) 必能等价于阶单位矩阵(C) 必能相似于阶单位矩阵 (D) 是阶单位矩阵14. 设为矩阵，则线性方程组 (A) 可能无解 (B) 一定无解 (C) 有无穷多解 (D) 只有唯一解15. 设向量组：可由向量组： 线性表示，则 (A) 当时，向量组必线性相关(B) 当时，向量组必线性相关(C)当时，向量组必线性相关(D) 当时，向量组必线性相关16. 阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是 (A) 与都有个线性无关的特征向量；(B) ；(C) 和的主对角线上的元素的和相等；(D) 与的个特征值都相等二.填空题1. 设A 为阶可逆阵，且，则= 2. 设，已知，都是齐次线性方程组的基础解系，则矩阵 （答案不唯一）3. D中第二行元素的代数余子式的和=_ ,其中D = 4.设 ，5， 是矩阵的特征值，则= 5.设为3阶方阵，则行列式 6. 为阶方阵，不是的特征值，且, 则 7. 若三阶方阵有特征值 ，则行列式 8.设为阶方阵，满足，则的特征值的可能取值为 = 9. 设为阶可对角化矩阵,且,则A必有特征值 ；且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个10. ，已知相似于对角阵 ， 则= ，= 11.为矩阵，已知非齐次线性方程组有解 ，且， 则对应的齐次线性方程组 的通解为 三.计算题1 计算阶行列式 2. 试求行列式 ，其中，为 阶方阵， ，3. 已知，且，求矩阵4. 已知，且，求矩阵5. 设矩阵, （1）若矩阵满足，试求矩阵；（2）若列向量满足，试求6. 已知线性方程组，(1)常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解6. 设向量组，问：取何值时可由 线性表示？且在表示式不唯一时，求出所有的表示式7. 已知线性方程组（），（）是同解方程组，其中 （）， （）（1） 求（）的通解；（2） 求（）中的常数四.证明题1. 已知为矩阵，且，证明：存在阶非零矩阵，使2. 设是齐次线性方程组的基础解系,向量满足证明: 向量组线性无关.3. 设有方阵A满足证明: A与A - 4E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.4. 设为3维非零列向量，为3阶方阵，满足,证明： 线性无关.5. 设为