重庆市永川中学高二数学第8周第1次小题单（综合应用）.doc

重庆市永川中学高二数学第8周第1次小题单（综合应用）1 数列中，（）。（1）求，；（2）求数列的前项和；解：（1）当时，有；当时，有；，（2）， 是首项为，公比为2的等比数列。 2 已知复数z的共轭复数为，且z3iz，求z.解设zxyi(x，yr)，则xyi，由已知，得(xyi)(xyi)3i(xyi)，x2y23xi3y，x2y23y3xi13i，z1或z13i.3 已知z122i，且|z|1，求|zz1|的最大值解：如图，|z|1，z的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的圆而z1对应坐标系中的点z1(2，2)，|zz1|的最大值可以看成点(2，2)与圆上的点的最大距离，由图知|zz1|max214 求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(ar)对应的点z满足下列条件：在复平面的第二象限内；在复平面内的x轴上方；在直线xy70上解：点z在复平面的第二象限内，则解得a3点z在x轴上方，则即(a3)(a5)0，解得a5，或a3点z在直线xy70上，a22a1570，即a32a215a300，(a2)(a215)0，故a2，或aa2，或a时，点z在直线xy70上5用数学归纳法证明不等式“ (n2)”时的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()a增加了一项 b增加了两项，c增加了两项，又减少了一项 d增加了一项，又减少了一项6 试比较2n2与n2的大小(nn*)，并用数学归纳法证明你的结论证明当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2 (nn*)成立下面用数学归纳法证明：当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk时(k3且kn*)时，不等式成立，即2k2k2，那么nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.要证当nk1时结论成立，只需证2k22(k1)2，即证k22k30，即证(k1)(k3)0.又k10，k30，(k1)(k3)0.所以当nk1时，结论成立由可知，nn*,2n2n2.7在数列an中，a1，an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论解(1)a2，a3.(2)猜想an，下面用数学归纳法证明此结论正确证明：当n1时，结论显然成立假设当nk(kn*)时，结论成立，即ak，那么ak1.也就是说，当nk1时结论成立根据可知，结论对任意正整数n都成立，即an.8等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明：对任意的nn*，不等式成立(1)解由题意：snbnr，当n2时，sn1bn1r.所以ansnsn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明当b2时，由(1)知an2n1，因此bn2n(nn*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式.左式右式，所以结论成立，假设nk(kn*)时结论成立，即，则当nk1时，.要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式成立，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，nn*时，不等式成立9已知a0，且a1，证明函数yaxxln a在(，0)内是减函数解yaxln aln aln a(ax1)当a1时，ln a0，ax1，y0，即y在(，0)内是减函数；当0a1时，ln a1，y0，即y在(，0)内是减函数综上，函数在(，0)内是减函数10求函数yx2ln x2的单调区间解函数yf(x)x2ln x2的定义域为(，0)(0，)，又f(x)2x，f(x)，f(x)的取值变化情况如下表：x(，1)1(1,0)(0,1)1(1，)f(x)00f(x)11由上表可知，函数f(x)x2ln x2在区间(1,0)，(1，)上单调递增；在区间(，1)，(0,1)上单调递减11 (1)f(x)2x36x23，x2,4；(2) f(x)sin 2xx，x.解(1)f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得x或x，f，f，ff.当x时，f(x)取最大值.当x时，f(x)取最小值.12求方程x36x29x40的根的个数解法一转化为求f(x)x36x29x4的零点的个数问题f(x)3x212x9，令f(x)0得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)随x变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值0极小值4又当x时，f(x)，x时，f(x).故f(x)的图象大致如图所示：方程x36x29x40的根的个数为2个法二转化为求f1(x)x36x29x与f2(x)4图象交点的个数问题由f1(x)x36x29x，f1(x)3x212x9.令f1(x)0得x3或x1.当x变化时，f1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f1(x)00f1(x)极大值4极小值0又当x时，f1(x)，当x时，f1(x).故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示由此知yf1(x)，yf2(x)有两个交点，故方程x36x29x40的根的个数有2个13已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围答（1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x93(x3)(x1)当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，x2,6时f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c5454；当c0时，c542c，c18，c(，18)(54，)，此即为参数c的取值范围14 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3