习题2.3（2）.doc

明目标、知重点1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法1基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.2数列an的an与Sn的关系数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an3拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)；(2)()；(3).题型一分组分解求和例1求和：Sn222.分析2的结构特征，2x2n2.分别组成三个数列从而求和解当x1时，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn反思与感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪训练1求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn(其中a0)解当a1时，则ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an)Snn(aa2an).Sn题型二裂项相消求和例2求和：，n2.分析认真观察，式中每一项均可拆成两项之差，于是可用裂项相消法求和解，原式.反思与感悟如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项相消法求和跟踪训练2求和：1.解an2，Sn2.题型三奇偶并项求和例3求和：Sn1357(1)n(2n1)分析通项中含符号数列(1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN*)反思与感悟如果数列通项公式中出现(1)n或(1)n1时，需对n取值的奇偶性进行讨论，这时常用奇偶并项法求和跟踪训练3已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解当n为偶数时，令n2k (kN*)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1 (kN*)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5_.答案解析an，S5(1)()()1.2数列1，2，3，4，的前n项和为_答案(n2n2)解析123(n)(12n)()(n2n)1(n2n2).3数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为_答案120解析an，Sn110，n120.4若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.呈重点、现规律求数列前n项和，一般有下列几种方法1错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组分解把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法一、基础过关1数列，的前n项和为_答案解析由数列通项公式，得前n项和Sn().2已知数列an的通项an2n1，由bn所确定的数列bn的前n项之和Sn_.答案n(n5)解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n项和Sn.3在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31_.答案76解析S1547a15285729，S2241144，S31415a3141512161，S15S22S3129446176.4如果一个数列an满足anan1H (H为常数，nN*)，则称数列an为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列an中，a11，H3，则S2 011_.答案3 014解析S2 011a1(a2a3a2 011)a11 005H11 005(3)3 014.5若Sn1234(1)n1n，S50_.答案25解析S5012344950(1)2525.6在数列an中，an1对所有正整数n都成立，且a12，则an_.答案解析an1，.是等差数列且公差d.(n1)，an.7已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.因为a37，a5a726，所以解得所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.所以，an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn(1)(1)，即数列bn的前n项和Tn.二、能力提升8设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn_.答案解析由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1d.9在数列an中，a12，an1anln，则an_.答案2ln n解析an1anln，an1anlnlnln(n1)ln n.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.10在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a3|an|_.答案解析an为等比数列，且a1，a44，q38，q2，an(2)n1，|an|2n2，|a1|a2|a3|an|.11成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，依题意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3.(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此是以为首项，2为公比的等比数列12设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，得当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327