第三讲 地图的数学基础.pdf

第三讲第三讲 地图的数学基础地图的数学基础 几种投影方式 地图投影变换 地图比例尺 地图投影基本理论 地图的分幅与编号 一 地图投影的基本理论 地图投影的概念地图投影的概念 地球椭球面及地图平面地球椭球面及地图平面 地图投影的变形 地图投影的方法 地图投影 地球是一个球体 球面上的位置 是以经 纬度来表示 我们把它称为 球面坐标系统 或 地理坐标系统 在球面上计算角度距离 十分麻烦 而且地图是印刷在平面纸张 上 要将球面上的物体画到紙上 就必须 展平 这种将球面转化为平面的过程 称 为 投影 地图投影学 研究如何将地球表面上的经纬线在地图平 面上表示的问题的学科 地图投影就是在球面与平面之间建立其经纬度与直角坐 标函数关系的数学方法 地图投影 地图投影 B L 数学法则 一一对应 x 1 B L y 2 B L or 1 B L 2 B L 1 地图投影的概念 数学上的投影 几何学 透视原理几何学 透视原理 承影面灯源物体 投 影 物体的形状 灯源的位置 以及承影面物体的形状 灯源的位置 以及承影面 的形状都将影响投影的结果 的形状都将影响投影的结果 面1 面2 地图投影 地图投影是在几何投影的基础上发展起来的 F f x y 地图投影的实质就是球面上的经纬网按 照一定的数学法则转移到平面图纸上 平面 球 面 地图投影的问题 经由投影的过程 把球面坐标换算为平 面直角坐标 便于印刷与计算角度与距 离 由于球面无法百分之百展为平面而 不变形 所以除了地球仪外 所有地图 都有某些程度的变形 有些可保持面积 不变 有些可保持方位不变 视其用途 而定 投影变形表现为 形状扭曲 比例不对 距离 偏差 方向偏离 面积误差 地图投影的问题 地图投影中的主要矛盾 如何将一个不可展开成平面的曲面的几何形状投影 表象于平面上 并符合一定的精度和其他特殊要求 投影后出现了形状 面积 长度的变形 依实际情况分 等角 等面积 任意投影 等积投影 等角投影 等距投影 形状不变 面积不变 特定方向 距离不变 1 等角投影 相似投影 正形投影 a b 形状相似 2 等面积投影 P 1 如 a 1 25 b 0 8 面积相等 3 任意投影 等距投影如 a 1或b 1 等积投影 等角投影 等距投影 返回返回 地球的形状和大小 自然表面 大地水准面 地球椭球面 地球上的三个面 地球上的三个面 自然表面自然表面 大地水准面大地水准面 重力等位面重力等位面 参考椭球面参考椭球面 大地水准面与地球椭球面 地球椭球面 为便于测量成果计算与制图 工作需要 选用一个大小和形状同大地体 极为相似 可用数学方法表达的旋转椭球 体代替 该旋转椭球面称为地球椭球面 大地水准面 假定海水处于完全静止状态 海水面延伸到大陆上 形成包围整个地球的连 续面 包围的球体称为大地体 地球上的三个面 参考椭球面自然表面自然表面 物理表面物理表面 数学表面数学表面 地球体地球体 大地水准面大地水准面 测量计算的测量计算的 基础面基础面 测量实施的测量实施的 基础面基础面 地球椭球的基本元素地球椭球的基本元素 长半径 a 短半径 b 扁率 第一偏心率 第二偏心率 a ba 2 22 2 a ba e 2 22 2 b ba e 反映 椭球 的扁 平程 度 反映 椭球 的扁 平程 度 确定地球的 形状和大小只需 两个元素即可 但必须一个是长 度元素 确定地球的 形状和大小只需 两个元素即可 但必须一个是长 度元素 我国曾经或正在采用的椭球体 椭椭球球体体名名称称长长半半轴轴扁扁率率使使用用年年代代 海海福福特特 6 63 37 78 83 38 88 81 1 2 29 97 7 0 0 1 19 95 53 3 年年前前 克克拉拉索索夫夫斯斯基基 6 63 37 78 82 24 45 51 1 2 29 98 8 3 3 1 19 95 53 3 年年后后 GGR RS S7 75 56 63 37 78 81 14 40 01 1 2 29 98 8 2 25 57 71 19 98 80 0 年年后后 我国采用的地球椭球我国采用的地球椭球 1953年以前 海福特椭球 1942年国际第一个推荐 值 a 6378388 1 297 00 1953年后 原苏联的克拉索夫斯基椭球 称54椭球 其坐标系称北京坐标系 a 6378245 1 298 3 1980年西安国家坐标系 1975年国际第三个推荐 值 大地原点在西安泾阳县 a 6378140 1 298 257 坐标系 确定地面点或空间目标的 位置所采用的参考系 常见 的有地理坐标系和平面坐标 系 A x A y xA yA x 椭球体 基准面与椭球体 基准面与坐标系 GIS中的坐标系定义由基准面和地图投影两组参数 确定 而基准面的定义则由特定椭球体及其对应的 转换参数确定 基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼 近 因此每个国家或地区均有各自的基准面 基准 面是在椭球体基础上建立的 椭球体可以对应多个 基准面 而基准面只能对应一个椭球体 地理坐标系地理坐标系 南北极 赤道 本初子午线 地理坐 标系统 对地球椭球体而言 其围绕旋转的 轴叫地轴 地轴的北端称为地球的 北极 南端称为南极 过地心与地 轴垂直的平面与椭球面的交线是一 个圆 这就是地球的赤道 过英国 格林威治天文台旧址和地轴的平面 与椭球面的交线称为本初子午线 地理坐标系统是球面坐标系统 以经度 维度 通常以十进制度或度分秒 DMS 的形式 来表示地面点位的位置 地理坐标系统以本初子午线为基准 向 东 向西各分了1800 之东为东经其值 为正 之西为西经其值为负 以赤道为 基准 向南 向北各分了900 之北为北 纬其值为正 之南为南纬其值为负 地理坐标系地理坐标系 地理坐标系地理坐标系 即用经纬度表示地面点位的球面坐标 经纬度的提法 经纬度的提法 天文经纬度 基于大地水准面 和铅垂线 大地经纬度 L B 基于旋转椭球和法 线 大地坐标系的建立 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的地球椭 球同大地体的相关位置固定下来 从而获 得大地测量计算基础面和大地起算数据 椭球体定位的条件 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面 充分接近 大地原点 国家水平控制网 中推算大地坐标的起 算点 通常该点为大 地水准面与参考椭球 面的重合点或者误差 最小 中华人民共和国大地原点中华人民共和国大地原点 大地原点 亦称 大地基准点 即国家水平控制网中推算大地坐 标的起标点 建国初期 我国使用的大地测量坐标系统是从前苏联测 过来的 其坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台 这种状况与我国的建 设和发展极不相称 从 年开始组织人力 搜集分析了大量资 料 并根据 原点 的要求 最后将我国的大地原点 确定在泾阳县永 乐镇石际寺村境内 大地原点的整个设施由中心标志 仪器台 主体建筑 投影台等 四大部分组成 高出地面 米多的立体建筑共七层 顶层为观察 室 内设仪器台 建筑的顶部是 玻璃钢制成的整体半园形屋顶 可用电控翻开以便观测天体 中心标志埋设于主题建筑 的地下室中央 建成后不 久 大地原点 还增设并 施测了国家基本重力点和 天文基本点 大地坐标系 1954年北京坐标系 克拉索夫斯基椭球体 使用的是我国的 大地基准面北京54基准面 1980年国家大地坐标系 西安坐标系 采用1975年国际大地测量与地球物理联 合会推荐的参数 西安原点 泾阳县永乐 镇 使用的是我国的大地基准面西安80 基准面 世界大地坐标系WGS 84 World Geodetic System 1984 由美国国防部建立 是目前GPS测量和 许多卫星遥感数据所采用的坐标系统 采 用WGS1984基准面及WGS84椭球体 WGS 84坐标系的几何定义如下图 Z轴 X轴 指向零子午线Y轴 地球质心 a 6378137 000000 298 257223563 地图平面 地图平面地图平面 地球椭球面上的点 线 面的投影面 特征 无重叠和撕裂 平面 圆柱面 圆锥面 投影平面上的坐标系投影平面上的坐标系 平面极坐标系 极点 椭球面上某点的投影 极轴 过极点的经线的投影 点位表示方法 A 顺时针为正 平面直角坐标系 原点 极点 x轴 极轴 坐标轴向与数学上相反 坐标表示方法 A xA yA x cos y sin x x y h y A A A x A y xA yA x Oo h 方位 角 的概念 从北方起算顺时针方向到某方向线绕过 的角度称为该方向线的方位角 0 360 O B A 从北方或南方顺时针或 逆时针到某方向线绕过 的角度称为该方向线的 象限角 0 90 B A C D N E W S N 高程系高程系 高程高程是指由高程基准面高程基准面起算的地面点的高度 高程基准面高程基准面根据验潮站确定的多年平均海水 面决定 地面点至平均海水面的垂直高度称为海拔高 程 也叫绝对高程绝对高程 简称高程 地面点之 间的高程差称为相对高程相对高程 我国采用的高程系 1956年黄海高程系 取1950年 1956年共7年的验潮 资料 水准原点高程为 72 2893米 1985年国家高程基准 取1952年 1979年共28年的验潮 资料 水准原点高程为 72 2604米 地方高程系 大连高程基准 吴淞高程基准 珠江高程基准 过旋转轴的平面与椭球面的截线叫 经线或子午线 某点的经度即为过该点的子午圈截 面与起始子午面的夹角 过某点作平行于赤道面与椭球面的 截线 称为纬线圈或平行圈 过该 点的法线与赤道面的交角叫地理纬 度 地球椭球各种元素的的计算地球椭球各种元素的的计算 地球椭球各种元素的的计算地球椭球各种元素的的计算 纬线圈半径和纬线弧长公式纬线圈半径和纬线弧长公式 BALrcos 卯酉圈 通过卯酉圈 通过A点垂直于该点的子午圈 的平面与椭球面的交线 其曲率半径为 点垂直于该点的子午圈 的平面与椭球面的交线 其曲率半径为 N是是A点上所有截面曲率半径的最大值 点上所有截面曲率半径的最大值 BNr Be a N cos sin1 2 122 讨论 当B 00时 赤道 r N a 当B 900时r 0 N为最大 经差为经差为 的纬线弧长的纬线弧长AA 为弧度值l lBNlrAASn cos 经线曲率半径和经线弧长公式经线曲率半径和经线弧长公式 dB C A M dSM 子午圈上纬度为B的一点的经线曲率半径为 最大时 当 最小时 当 20 20 2 322 2 1 09B 1 0B sin1 1 eaM eaM Be ea M M是是A点上所有截面曲率半径的最小值点上所有截面曲率半径的最小值 经线上的微分弧段 dSM MdB 所以同一经线上的任意纬度为B1 B2的两点间的 经线长为 2 1 B B m MdBS 地球平均半径地球平均半径 平均球体半径RA RA 6371118m 等面积球体半径RF 等体积球体半径Rv 6371116m 1 1 ln 42 R 22 F e e e ba 6371110mR 32 v ba返回返回 地图投影的变形地图投影的变形 地图投影一般存在长度 面积 角度的变形 2 地图投影的变形 变形是必然的 球面不可展 变形的分类 长度变形 面积变形 角度变形 投影变形之表象 投影变形的概念投影变形的概念 长度比与长度变形长度比与长度变形 长度比长度比 投影面上一微分线段与椭球面上相应的微分线 段之比 用 表示 即A点沿 方向的长度比 ds s d 随点的位置 方向的变化而变化 且均为正值 长度变形长度变形 1 ds dssd 为正 表示投影后长度放大了 为负 表示投影后长度缩小了 面积比与面积变形面积比与面积变形 面积比面积比p 投影面上一微分面积与椭球面上相应的微分面积 之比 用p表示 即 p dF dF p随点位变化而变化 但均为正值 面积变形 面积变形 dF dF dF p 1 角度变形角度变形 角度变形角度变形 投影面上任意二方向所夹之角 与椭球面上 相应夹角 之差 最大角度变形 最大角度变形 为某点上可能会出现的最大角度变形值 也常用 2表示该点的角度变形 变形椭圆变形椭圆 在地球表面上过某点作一微分圆 投影后一般为 一微分椭圆 证明 取过圆心的经纬线方向为坐标轴 投影后一般为 一斜坐标轴 x x m 经线方向 y y n 纬线方向 而x2 y2 r2以上两式代入得 1 22 2 22 nr y mr x r n y m x 这是半径为mr nr 的一个椭圆 变形椭圆 底索定律底索定律 无论采用何种转换方法 球 面上每一点至少有一对正交方向线 在 投影平面上仍能保持其正交关系 在投影后仍保持正交的一对线的方向称 为主方向 在描述一个点上不同方向长度的变化 时 常需要指出长度比中最大最小者 极值长度比a b 主方向上的长度比 为极值 主方向 主方向 取主方向为坐标轴方向 所以变形椭圆方程式可写为 度比主方向上的表示 1 21 2 2 2 1 长沿 r y r x 如以a b表示椭圆的长短半径 则有 a 1r b 2r 令微分园的半径r 1 a 1 b 2 所以微分椭圆上的长短半径等于该点上的主方向的长 度比 主方向上的长度比 任一方向的长度比 O点的OA方向的长度比为 2222 2222 2222 22 sincos sin cos ba ryrx r y b r x a r ybxa r r byyaxx yxr r r OA AO Q又 因 当 00 a 极大值 当 900 b 极小值 当 a b时 a b 椭圆变为圆 主方向有无数种 表明主方向上的 长度比为极值 变形椭圆对投影变形的几何解释 变形椭圆各个方向的长度比就是该方向上的半径长 表明不同方向上的长度变形是不同的 由于正交直线投影后一般不正交 可知在任一点上 各方向所形成的角度投影后会出现变形 由于圆投影后变成了椭圆 可知在任一点附近的面积 投影后会出现变形 由于圆投影后变成了椭圆 也可说形状投影后会发生 变化 投影变形公式投影变形公式 长度比公式长度比公式 微分梯形ABCD 其经差为d 纬差为dB 222 cos rdlMdBdSdSAC rdlBdlNABMdBAD 在投影平面上 其投影dS 为 1 222 dydxSd 长度比公式 长度比公式 1 3 由投影方程式求全微分得 2 1 LBfy LBfx dl l y dB B y dy dl l x dB B x dx 代入 得 222 dydxSd 222222 222 2 dl l y l x dBdl l y B y l x B x dB B y B x dl l y dB B y dl l x dB B x Sd 长度比公式 长度比公式 2 3 222 22 22 2 G F E dlGFdBdldBESd l y l x l y B y l x B x B y B x 令 2222 22 22 2 dlrdBM dlGFdBdldBE dS Sd 分子 分母同时 除以 dB 2 可得 2 1 2 2 2 2 2 2 2 dB dl M r M dB dl G dB dl FE 长度比公式 长度比公式 3 3 令 AC的方位角为 则 式得代入 2 tg r M dB dl dB dl M r tg 3 sin2sincos 2 2 2 2 2 r G Mr F M E 这就是求一点附近任一方向上的长度比公式 但一般只求经纬线经纬线方向或主方向主方向上的长度比 r M Gn 09 Em 0 0 0 即纬线方向上的长度比 当 即经线方向上的长度比 当 面积比公式面积比公式 椭球面的单位圆面积为 相应投影平面上的变形椭圆的面积为 2 1 ab 所以面积比为 ab ab p 2 1 由阿坡隆尼尔定理 cos2sin2 cos2sin2 cossin 22222 22222 2222 mnnmmnnmba mnnmmnnmba mnmnab nmba 或 为经纬线投影后 的交角 900 sincos mnmnabp 即为计算任一点的投影面积比公式 角度变形公式角度变形公式 角度变形的大小与点位和方向有 关 一般研究 角度变形的大小与点位和方向有 关 一般研究 经纬线交角投影后的变 形 一点的各方向线中 某二 方向线所产生的 最大角度 变形 经纬线交角的变形公式经纬线交角的变形公式 F l y B y l x B x l x B y l y B x H 其中 90 90 0 0 H F ctgtgtg 经纬线方向就是主方向的条件为 F 0 经纬线在椭球面上是一组互相垂直的线 夹角投 影后变形公式推导为 最大角度变形公式最大角度变形公式 tg a b tg a b x y byax x y tgtg 即 Q 对OA方向来说 tg a ba tg a ba tg a ba tg a b tgtgtg coscos sin coscos sin 同理可得 左端变化可得 右边两式相除可得 sin sin ba ba 当 900时 任一方向相对 于主方向的最大角度变形 0 0 为 sin 00 baba 最大角度变形公式最大角度变形公式 2 2 AOB中得另一方向OB的最大方向变形也是 0 0 2U 2 2180 2 180U U U UBOAU AOB 00 00 最大角度变形 设 4 22 2 2 cos 2 sin ab ba tg ba ab ba ba 如下 最大角度变形也可表示 等角条件 等面积条件 等距离条件等角条件 等面积条件 等距离条件 等角条件等角条件 地球椭球面上任二方向所夹之角投影到平面 上以后 保持夹角大小不变 由 4 式知 a b 0 a b 即等角投影中 主方向上的投影长度比相 等 或者说变形椭圆是一个圆 当经纬线方向为主方向时 有 a m b n rGME tgHF 0 5 B x M r l y B y M r l x柯西 黎曼 条件 等面积条件等面积条件 投影之后面积保持不变 即 P 1 p ab 1 或p mncos mnsin 1 特殊情况 当主方向为经纬线方向时 即 900或 00 等面积条件为 p m n 1 等距离条件等距离条件 主方向之一上的长度投影后无变形 即 a 1 或 b 1 特殊情况 当主方向为经纬线方向时 常使m 1 此时等距离条件为 1 MEm 以极坐标为依据的投影变形公式以极坐标为依据的投影变形公式 1 2 P为极点 OP为极轴 投影平面上A的坐标为 A的大地坐标为 B L 假设投影方程式已知为 6 4 3 LBf LBf 7 sin cos y qx 而