连续型随机变量及其概率密度89879PPT课件.ppt

F x P X x x 分布函数 P X b F b P X a 1 P X a 1 F a x 0 f x 下面根据这些数据绘制频率分布直方图 从频率直方图看出 该校16岁女生的身高的分布状况具有 中 间高 两头低 的特点 即身高在157 5cm至160 5cm的人数最多 往左右两边区间内的人数越少 而且左右两边近似对称 样本容量越大 所分组数会相应越多 频率分布直方图中的小 矩形就变窄 设想如果样本容量无限增大 且分组的组距无限缩小 那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑 函数 恰好是位于曲线与x轴之间 直线x a左侧部分图形的面积 一 定义如果对于随机变量X的分布函数 存在非负可积函数f x 使对任意实数x 有 则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称为概率密度或密度函数或密度 二 性质 1 f x 0 2 3连续型随机变量及其概率密度 二 性质 4 在f x 的连续点处有 6 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0 由性质 6 可得 5 连续型随机变量的分布函数F x 不仅右连续 而且是连续函数 连续型 密度函数X p x 2 4 P X a 0 离散型 分布列 pn P X xn 2 F x 3 F a 0 F a P a X b F b F a 4 点点计较 5 F x 为阶梯函数 5 F x 为连续函数 F a 0 F a F a 0 F a 例1设随机变量的概率密度函数为 x Ae x x 试求 1 常数A 2 P 0 X 2 3 分布函数F x 解 1 由 得 故 A 0 5 2 3 当x 0时 当x 0时 即X的分布函数为 练习1 设X 求 1 常数k 2 F x 1 k 3 2 解 练习2 设X 求F x 解 设X与Y同分布 X的密度为 已知事件A X a 和B Y a 独立 解 因为P A P B P A B P A P B P A P B 从中解得 且P A B 3 4 求常数a 且由A B独立 得 2P A P A 2 3 4 从中解得 P A 1 2 由此得0 a 2 因此1 2 P A P X a 练习3 1 均匀分布如果随机变量X的概率密度为 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 可知X落在 a b 内任一小区间 c d 内的概率与该小区间的长度成正比 而与该小区间的位置无关 2 3 2常见的连续型随机变量的分布 分布函数为 X U 2 5 现在对X进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 解 记A X 3 则P A P X 3 2 3 设Y表示三次独立观测中A出现的次数 则Y B 3 2 3 所求概率为 P Y 2 P Y 2 P Y 3 20 27 例3 2 指数分布 设连续型随机变量X具有概率密度 则称X服从参数为 的指数分布 记作X E 其分布函数为 2020 1 9 18 若随机变量X的密度函数为 其中 0是常数 则称X服从参数为 的指数分布 记作X E 分布函数为 指数分布的另一种表示形式 指数分布常用来作各种 寿命 分布的近似 如电子元件的寿命 动物的寿命 电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布 特别 指数分布具有无忆性 即 P X s t X s P X t 例4假设某种热水器首次发生故障的时间X 单位 h 服从指数分布 其概率密度为 1 该热水器在100h内需要维修的概率是多少 2 该热水器能正常使用600h以上的概率是多少 解 1 2 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯 Gauss 加以推广 所以通常称为高斯分布 德莫佛 德莫佛 DeMoivre 最早发现了二项分布的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 3 正态分布 1 定义若X的概率密度为 分布函数为 其中 0 为常数 则称X服从参数为 2的正态分布或高斯 Gauss 分布 记作X N 2 2 正态分布的密度函数f x 的图形的性质 1 f x 关于 是对称的 f x x 0 在 点p x 取得最大值 2 若 固定 改变 3 若 固定 改变 大 f x 左右移动 形状保持不变 越大曲线越平坦 越小曲线越陡峭 x x 0 x x 标准正态分布N 0 1 密度函数记为 x 分布函数记为 x 证明 3 查标准正态分布函数表计算概率 4 P X 1 54 1 P X 1 54 1 0 8764 0 1236 例5设X N 0 1 计算P X 2 35 P 1 64 X 0 82 P X 1 54 P X 1 54 1 P X 2 35 2 35 0 9906 2 P 1 64 X 0 82 0 82 1 64 0 82 1 1 64 0 7434 3 P X 1 54 1 54 1 54 2 1 54 1 0 8764 例6设随机变量 求 解 例7 3 原则 设X N 2 求P X P X 2 P X 3 解P X P X 在一次试验中 正态分布的随机变量X落在以 为中心 3 为半径的区间 3 3 内的概率相当大 0 9974 即X几乎必然落在上述区间内 或者说在一般情形下 X在一次试验中落在 3 3 以外的概率可以忽略不计 在工程应用中 通常认为P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在质量控制中 常用标准指标值 3 作两条线 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报 表明生产出现异常 设X N 2 P X 5 0 045 P X 3 0 618 求 及 例8 1 76 4 解 例9某厂生产罐装咖啡 每罐标准重量为0 5kg 长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数 0 05kg的正态分布 为了使重量少于0 5kg的罐头数不超过10 应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上 解由题设知 假如把自动包装线控制的值调节到0 5kg位置 则有 即重量少于0 5kg的罐头占全部罐头数的50 这显然不符合要求 所以应该把自动包装线控制的 值调到比0 5kg大一些的位置 使得 查附表1可得 即 应将 调到不小于0 5645的位置 已知X N 3 22 且P X k P X k 则k 3