可测函数的定义及性质ppt课件.ppt

第一节可测函数的定义及性质 第四章可测函数 1 新的积分 Lebesgue积分 从分割值域入手 问题 怎样的函数可使Ei都有 长度 测度 2 1可测函数定义 例 1 零集上的任何函数都是可测函数 注 称外测度为0的集合为零集 零集的子集 有限并 可数并仍为零集 定义 设f x 是可测集E上的实函数 可取 若可测 则称f x 是E上的可测函数 3 2 简单函数是可测函数 可测函数 若 Ei可测且两两不交 f x 在每个Ei上取常值ci 则称f x 是E上的简单函数 4 3 可测集E上的连续函数f x 必为可测函数 对比 设f x 为 a b 上有限实函数 f x 在处连续 对闭区间端点则用左或右连续 设f x 为E上有限实函数 称f x 在处连续 5 可测集E上的连续函数f x 定为可测函数 证明 任取x E f a 则f x a 由连续性假设知 6 R中的可测子集E上的单调函数f x 必为可测函数 由f单调增知下面的集合为可测集 证明 不妨设f单调增 对任意a R 7 可测函数的等价描述 证明 利用 1 与 4 2 与 3 互为余集 以及 定义 设f x 是可测集E上的实函数 则f x 在E上可测 8 对前面等式的说明 9 可测函数的性质 可测函数关于子集 并集的性质 反之 若 f x 限制在En上是可测函数 则f x 在E上也是可测函数 即 若f x 是E上的可测函数 可测 则f x 限制在E1上也是可测函数 10 若m E f g 0 则称f x g x 在E上几乎处处成立 记作f x g x a e 于E almosteverywhere 注 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 证明 令E1 E f g E2 E f g 则mE1 0从而g x 在E1上可测 即 设f x g x a e 于E f x 在E上可测 则g x 在E上也可测 注 用到了可测函数关于子集 并集的性质 另外f x 在E2上可测 从而g x 在E2上也可测 进一步g x 在E E1 E2上也可测 11 可测函数类关于四则运算封闭 即 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x f x g x f x g x f x g x 仍为E上的可测函数 12 类似可证 设f x g x 是E上可测函数 则为可测集 证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质 13 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x 仍为E上的可测函数 作业 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x f x g x 为E上的可测函数 再利用f x g x f x g x 2 f x g x 2 4即可 证明 首先f2 x 在E上可测 因为对任意a R 14 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭 推论 可测函数列的极限函数仍为可测函数 连续函数列的极限函数不一定为连续函数 若fn x 是E上的可测函数 则下列函数仍为E上的可测函数 15 对上式的说明 下确界 16 例 R1上的可微函数f x 的导函数f x 是可测函数 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数 从而f x 是一列连续函数 当然是可测函数 的极限 故f x 是可测函数 证明 由于 17 例设 fn 是可测函数列 则它的收敛点全体和发散点全体是可测集 注意 函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同 证明 发散点全体为收敛点全体为 再 18 可测函数与简单函数的关系 可测函数f x 总可表示成一列简单函数的极限 19 可测函数与简单函数的关系 注 当f x 是有界函数时 上述收敛可做到一致收敛 若f x 是E上的可测函数 则f x 总可表示成一列简单函数的极限 而且还可办到 20 例 设f x 是R上连续函数 g x 是E上可测函数 则f g x 是可测函数 证明 要证f g x 是可测函数 只要证对任意a E fg a x f g x a 可测即可 x f g x a fg 1 a g 1 f 1 a f 1 a 21 例 设f x 是R上连续函数 g x 是E上可测函数 则f g x 是可测函数 注 f x 是R上可测函数 g x 是R上连续函数 f g x 不一定是可测函数 利用Cantor函数构造 参见 实变函数 周民强 p114 证明 要证f g x 是可测函数 只要证对任意a m E fg a x f g x a 可测即可 由于f在F R上连续 故F f a 为R中的开集 又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并 故不妨令 再由g可测 可知 22 例 设f x 是R上连续函数 g