余数和同余.doc

六 余数和同余问题1、474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。想：因为被除数=商除数余数，所以商除数=被除数余数。因此，所求两位数与商的积是4746=468，把468分解质因数是468=223313，又因为要求的除数是两位数，只要将468的质因数进行配对试算就行。解：468=223313，213=26，313=39，223=12，233=18，2213=52，2313=78，2233=36.答：符合条件的两位数有：13，26，39，12，18，52，78和36共8个。试一试：1、1309除以一个质数，余数是21，求这个质数。2、389除以一个两位数，余数是5，求符合条件的所有两位数。问题2、求20062007除以7的余数。解：20067=2864 ，20077=2865 ，457=26.答:20062007除以7的余数是6。试一试：1、求20072008除以13的余数。2、求123345234456除以11的余数。3、求200420052006除以13的余数。问题3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？ 想：因为967，1000，2001除以这个整数的余数相同，967，1000，2001这三个数两两相减的差，都是所求整数的因数。 解：1000967=33=311，20011000=1001=71113， 2001967=1034=21147，这些差的公因数就是所求的整数。 答：这个整数是11。试一试：1、 有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？2、 1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。问题4、两个自然数相除，商15，余3。已知被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数和除数。 想：因为853是被除数、除数、商和余数相加的和，从853里减去余数3，减去商15的差，就是被除数、除数的和；又因为被除数=除数商余数即被除数=除数153，再从850里减去余数3，就是除数的（151）倍。 解：8533215=832，832（151）=52，52153=783. 答：被除数是783，除数是52。试一试：1、 两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。2、 两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。问题5、求11111被13除的余数。2007个1 解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。我们可以先写出若干1所组成的数来除以13，容易发现111111是13的倍数，即每6个1所组成的六位数是13的倍数，再看2007个1组成的数中有多少个6个1组成的六位数，最后看还余下多少个1来确定余数。 由于20076=3343，即11111可按6个1一节分成334节余3个1， 2007个1而11113=87，所以所求的余数为7。试一试：1、7777除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？ 100个72、3333除以7，余数是几？ 2007个3问题6、（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？解析：我们可以用枚举来解答。（1）除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29 除以5余3的数有：3，8，13，18，23，28，33，38除以7余2的数有：2，9，16，23，30，37，44从上面所列的数可知，第一个公有的数是23，所以适合这些条件的最小数是23.（2）除以3余1的数有：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31它们除以12的余数是：1，4，7，10，1，4，7，10，1，4，7除以4余2的数有：2，6，10，14，18，22，26，30，34它们除以12的余数是：2，6，10，2，6，10，2，6，10上面两行只有数10是共同的。所以符合条件的数是10.试一试：1、 一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个数最小是多少？2、 一个数除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？综合练习1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。3、求200120022003除以9的余数。 4、求200220022001除以7的余数。5、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。6、有一个数除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12，余数是几？7、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？8、33333除以13的余数是几？ 2007个39、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。求这个整数。10、如果一个一百零一位数：333N555，这个数是7的倍数，那么N是多少？ 50个3 50个511、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数