（应用数学专业论文）平面二维明渠非恒定流的数值模拟.pdf

摘要 二维明渠水流数学模型的研究与运用己有相当长的历史，许多成果己经应用到水 利、环境、港口航道等工程领域中，为工程的规划设计、施工及水域的可持续发展提 供了重要的指导作用。随着国民经济的发展，更多的江河水力资源得到了开发利用， 对明渠水流数学模型也提出了新的要求，同时也为水流运动基本理论研究的发展提供 了一个很好的机遇和条件，以便明渠水流模型能够更好地服务于生产实践。本文利用 边界拟合坐标技术生成正交曲线网格，基于此网格系统，建立平面二维明渠非恒定流 的数值模型，实现复杂边界明渠水流的数值模拟。主要研究内容如下： 1 、采用边界拟合坐标技术建立二维正交曲线网格以克服由于复杂边界而引起的计 算困难。提出了种经济、有效的滑动边界处理方法，提高网格边界上的正交性。 2 、利用张量分析的方法，推导出正交曲线坐标下二维浅水方程的具体形式。 3 、采用有限差分法对二维浅水方程进行离散，利用交替方向隐格式法( a l t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d 简称a d i 法) 实现在计算区域内对二维浅水方程的求解。将得 到的数学模型用于长江南通河段进行算例验证，验证结果比较令人满意。针对紊动粘 性系数这个重要参数，对该算例进行分析验证，验证结果表明模型中考虑e 结果更好。 4 、在得到的数学模型中分别加入迭代的思想和迎风格式，以此对模型进行修正。 实际算例表明修正是合理的，有助于提高模型的计算精度。 关键词：数值模拟正交曲线网格张量分析二维浅水方程a d i 法 a b s t r a c t t h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no ft w o d i m e n s i o n a lo p e nc h a n n e lf l o wm a t h e m a t i c a l m o d e lh a sb e e nal o n gh i s t o r y , a n dm a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e na p p l i e dt os u c hp r o j e c t sa s w a t e rc o n s e r v a n c y , e n v i r o n m e n t ，p o r ta n dc h a n n e l ，f l o o dd e f e n s e ，w h i c hp l a y sa l li m p o r t a n t g u i d i n gr o l ei nt h ed e s i g na n dc o n s t r u c t i o nf o rap r o j e c ta n ds u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to f w a t e r s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn a t i o n a le c o n o m y , m o r eh y d r a u l i cp o w e rr e s o u r c e sh a v e b e e nf u r t h e re x p l o i t e da n du t i l i z e d ，w h i c hm a k e sah j i g h e rd e m a n df o ro p e nc h a n n e lf l o w m a t h e m a t i c a lm o d e l m e a n w h i l e ，i ta l s op r o v i d e sag o o dc h a n c ea n dp r e r e q u i s i t ef o rt h e d e v e l o p m e n to ff u n d a m e n t a lr e s e a r c ho fw a t e rc u r r e n ta n dg i v e sab e t t e rs e r v i c et o t h e p r o d u c t i o np r a c t i c e t h i st h e s i s i s g o i n gt o e s t a b l i s hah o r i z o n t a lt w o - d i m e n s i o n a l m a t h e m a t i c a lm o d e lo fu n s t e a d yo p e nc h a n n e lf l o wu n d e rc a r v i l i n e a rc o o r d i n a t es y s t e mo n t h eb a s i so ft h ep r o p o s e db o u n d a r y f i t t e dc o o r d i n a t et e c h n o l o g ya n dt r yt oo b t a i nt h ef l o w f i e l d sw i t hc o m p l e xb o u n d a r i e s t h er e s e a r c hd e t a i l so ft h et h e s i sa r ea sf o l l o w s 1 a no r t h o g o n a lc u r v i l i n e a rg i r dh a sb e e ne s t a b l i s h e db ye m p l o y i n gt h e b o u n d a r y f i t t e dc o o r d i n a t et e c h n o l o g y , w m c ha i m st oo v e r c o m ed i f f i c u l t i e so fn u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t i n gf r o mc o m p l e xb o u n d a r y b e s i d e s ，a ne c o n o m i c a la n de f f e c t i v es l i d i n g b o u n d a r yp r o c e s s i n gm e t h o do fi m p r o v i n gt h eo r t h o g o n a l i t yo ft h eb o u n d a r yh a sb e e n p r o p o s e d 2 b ym e a n so ft e n s o ra n a l y s i s ，s h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n so ft w od i m e n s i o n a l u n s t e a d yc h a n n e lf l o wi no r t h o g o n a lc u r v i l i n e a rc o o r d i n a t e sh a v eb e e nd e d u c t e d 3 i nt h ec o m p u t a t i o n a ld o m a i n ，s h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n so ft w od i m e n s i o n a l u n s t e a d yc h a n n e lf l o wh a v eb e e nd i s p e r s e db yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n ds o l v e db yt h e a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tt e c h n i q u e t h ee s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e lm e n t i o n e d a b o v ei sa p p l i e dt ot e s ta n dv e r i f yn a n t o n gs e c t i o no fy a n g t z er i v e r ，t h er e s u l to fw h i c h p r o v e st ob es a t i s f a c t o r y a n di fi t i st e s t i f i e db yt h ee d d yv i s c o s i t yc o e f f i c i e n t ，t h er e s u l t t u r n so u tt ob em r c hb e t t e r 4 i t e r a t i o nm e t h o da n du p w i n ds c h e m eh a v e b e e nr e s p e c t i v e l ya d d e dt ot h e m a t h e m a t i c a lm o d em e n t i o n e da b o v et om o d i f yt h em o d e l ，a n dt h er e s u l to fw h i c hp r o v e st o b er e a s o n a b l ea n d h e l p f u lt oi m p r o v et h ec o m p u t a t i o n a la c c u r a c yo f t h em o d e l k e y w o r d s ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， t w o - d i m e n s i o n a is h a l l o w m e t h o d o r t h o g o n a l c u r v i l i n e a rg r i d ，t e n s o r a n a l y s i s ， w a t e re q u a t i o n s ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i t 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不 实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： i 坠訇驷7 年占、月p 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：筮 垂 钿7 年| f 月孑日 第一章绪论 1 1 引言 1 1 1 问题的提出 第一章绪论弟一早瑁下匕 与明渠水流运动相联系的生产问题是水利工程中最常见的生产问题之一。 我国是一个具有众多高含沙河流的国家，由泥沙带来的问题十分突出，黄河、长 江等大河大江的泥沙问题尤为严重。例如，逐年的泥沙冲刷和淤积导致河床演变和整 个流域地形地貌的改变；水库中泥沙的淤积使水库的有效库容减小，缩短水库的使用 寿命等等。对这些问题的研究依赖于对明渠水流运动规律的研究。 随着人民生活水平的提高和工业的发展，越来越多的生活污水和工业废水排入江 河，水污染的现象十分严重，对水污染的传播和如何控制与减轻水污染的研究对下游 生活用水和工业用水的取水是十分迫切的。随着火电事业的飞速发展，火电厂冷却水 的引用与使用后热水的排放，极大地影响了水域及其四周的生态环境。对这些问题的 研究属于传质传热运动的研究，而它又密切地建立在明渠水流运动规律研究的基础上。 船闸作为水利枢纽工程的一个重要组成部分，包括上、下游引航道和闸室三个部 分。引航道的合理布置决定了航运的安全运营，而这种合理布置只有通过研究和评价 众多方案下的明渠水流运动规律才可以获得。 丁坝是河道整治工程中常见的水工建筑物之一，它对水流运动的影响无疑是十分 巨大的。为了验证丁坝建成后能否达到预期的河道整治目的，我们只有通过研究丁坝 修筑前后明渠水流运动规律的改变来加以证实。 潮汐引起的海水倒灌直接影响着江河入海口附近生活淡水的取用，这方面的研究 可以归于明渠水流运动规律的研究。 近些年来，随着桥梁的建设而在河道中修筑的桥墩，它们对水流运动和泥沙运动 的重要影响逐渐被人们认识，对这种影响的考虑已经成为现代桥墩设计中的组成部分。 桥墩的修筑除应满足其支撑桥梁的结构要求外，还应满足种种水力学要求。要实现这 些水力学要求，只有通过研究桥墩对水流运动和泥沙运动的影响。显然，这种研究属 于明渠水流运动规律的研究范畴。 综上所述，可以发现明渠水流运动规律的研究适用的范围是十分广泛的，也是十 分有意义的和十分迫切的。 河海大学硕士学位论文 1 1 2 研究方法 目前，研究水流运动规律的主要方法有：原型观测( f i e l dm e a s u r e m e n t ) 、理论分析 ( n e o r e t i c a la n a l y s i s ) 、物理模型试验( p h y s i c a lm o d e le x p e r i m e m ) 和数值模拟 ( n u m e r i c a lm o d e l i n g ) 等几种方法“1 。 原型观测是认识的基础和来源，即使只是局部的定性的认识，也是十分可贵的。 它不存在物模比尺问题，也不用考虑数模计算参数是否适当的问题，它可以为物模及 数模提供所需的数据。但原型观测方法常受制于外部环境和人力物力，耗时长、观测 点少且不易进行。 理论分析揭示的是普遍性的规律，如果能用数学方法求解微分方程得到流场中物 理量的解析表达式，就可以得到相应的初始和边界条件下的全流场的准确信息，这比 在某一特定条件下进行的物理模拟或数值模拟所得到的局部近似值要全面、深刻得多。 同时，为证明数值模拟是对某一水力现象的准确模拟，应该用理论分析的方法对数学 模型的相容性、收敛性和稳定性进行推导证明，最后数值模拟结果的整理和分析也要 借助理论分析工具。理论分析的缺点是受限于数学工具，只有少量特定条件下的问题， 可根据求解问题的特性对方程和边界条件做相应简化，而得到其解析解。目前可解的 问题很少，在实际水利工程上的不规则区域边界与非线性水动力学方程方面，般是 无能为力的。 ， 物理模型十分直观，其相似准则可从各物理量表达式的对比关系中导出，但物理 模型同样是投资大，周期长，精度受比尺效应和观测仪器的影响。它不能同时满足所 有力相似( 牛顿一般相似性原理) ；只能满足主要力相似( 各种模型相似律，例如，弗氏 模型律可保证重力相似，但粘性力偏离，因而只能是近似的。它的模型比尺，基本上 是在一维、总流情况下得出的，而二维、三维流场并不相似，涡、紊动亦不相似。总 之，相似是近似的，而非全同恒等。 7 0 年代以来发展起来的数值模拟方法已经渐渐成为研究明渠水流运动的主要方法 之一，这种方法就是在现代电子计算机上通过求解明渠水流运动的控制方程来进行研 究。数值模拟方法具有众多原型观测和模型试验无法比拟的优点，如：提供信息的完 整性和系统性；不受时空限制，模型使用的重复率高，极大地节省时间、人力、物力 和财力费用等。在可行性研究与决策阶段，数值模拟因其快速灵活有其独特的优势。 在优化设计中，数值模拟能为模型试验提供重要的指导作用。 计算水力学中所求解的是非线性偏微分( 积分) 方程组，其数值方法的现有数学理 论尚不够充分，严格的稳定性分析、误差估计和收敛性证明等理论工作的发展还跟不 上数值模拟方法的进展。目前仍停留在线性问题。虽然关于广义解唯一存在性等问题 的严格数学理论已取得了长足进展，但还不足以对一些复杂流动的求解问题给出明确 的回答。所以，一方面仍必须依靠对一些简单的、线性的、与原有问题有相近关系的 第一章绪论 数学方程进行严格的数学分析，依靠启发性的推理，分析非线性问题，给出数值解的 理论依据；另一方面，依靠对线性和非线性数学方程的数值实验及数值解与试验值或 他人典型算例的计算结果的比较和物理特性分析，验证计算结果，进一步改进计算方 法。所以原型观测、物理模型、理论分析和数值模拟是研究水流运动规律的几种基本 方法，它们的发展是相互依赖相互促进相辅相成的。 1 2 数值模拟 1 2 1 数值模拟方法 目前数学模型的各种数值计算方法主要是对于基本方程的离散方法不同，主要方法 有有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c e ) 嘲、有限单元法( f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ) “”、有限分析法 ( f i n i t e a n a l y t i cm e t h o d ) “1 、边界单元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) “”及有限体积法 ( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) “”等。 有限差分法是数值解法中最经典且常用的方法。它将求解域划分为差分网格( 最简 单的为矩形网格) ，用有限个网格节点( 即离散点) 代替连续的求解域，然后将偏微分方 程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求差分方程 组的解，就作为微分方程定解问题的数值近似解。它是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法。该方法适用于各种类型的微分方程，数学基本原理清晰、灵活 方便，便于编写程序，精度随差分格式选择可高可低，收敛性和稳定性理论也趋于成 熟，是应用最多和最成功的一种方法。当前最广泛的有以下几种方法：就一维问题， 有显、隐式差分，特征线怛0 1 等；而对于多维问题，有a d i 法，破开算子法，边界拟合 法等。 其中交替方向隐格式法( a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n i m p l i c i t m e t h o d ，简称a d i 法) 是由 p e a c e m a n - r a c h f o r d o ”和d o u g l a s o o 在1 9 5 5 年提出的一种用于专解二维问题的特殊分步 法。这种方法是将一个时间步长分为两个半步，前半步在x , y 方向分别用隐、显格式， 后半步在x ，y 方向分别用显、隐格式，这样做可以把原来较为复杂的方程组化为两个三 对角方程组，可用追赶法求解。可以证明，a d i 法的隐式格式具有( & ，矿 阶精度，而 且是无条件稳定的。由于在差分格式中引入中间步长，在每半个步长中只需解一个三 对角矩阵的代数方程，所以计算工作量比较小。 有限单元法约始于二十世纪5 0 年代初西方的飞机设计，6 0 年代开始应用于流体力 学。有限单元法吸收了有限差分法中离散处理的内核，又采用了变分计算中选择逼近 函数并对区域进行积分的合理方法。这是两类方法相结合取长补短而进一步发展的结 果。它具有很广泛的适应性，特别适合于几何、物理条件比较复杂的问题，而且便于 河海大学硕士学位论文 程序的标准化。常用的有限单元法通常有r i t z 方法，g a l e r k i n 方法以及迎风有限元法。 有限分析法是七十年代末美籍华人陈景仁提出的，它是在有限元法基础上的一种 改进，其基本思想是：在离散单元的解，不再用插值函数式来表达，而是方程局部线 性化后的解析解。有限分析法的推广应用面临两个主要问题：一是描述物理现象的控 制方程往往是比较复杂的，不易找到其解析解；二是实际河道水流计算问题的区域边 界往往是不规则的，即使可以找到控制方程的通解，有难以求得适合于特定不规则边 界的特解。因此在河道水流计算中应用还存在一定的困难。解决这些问题的途径是用 近似解代替其分析解，这种处理方法所得到结果实际上和不规则网格差分法所得到结 果基本相同。 边界单元法于7 0 年代首先由英国的c a b r e b b i a 提出。后又发展，有与区域方法 结合的混合元法和有限基本解法。它是首先将控制微分方程化为边晁积分方程，再用 有限元的基本思想与方法步骤( 在求解域的边界上划分有限单元) 来处理边界积分方程 的方法。目前只适用于线性问题以及基本解已知( 如源、汇、偶极子、涡) 的问题。对 于非线性问题、半无限域问题，特别是区域的角点等处理都在研究之中。 有限体积法又叫控制体积法，它的基本思想是：将计算区域划分为一系列不重复 的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对每一个控制 体积积分，便得出一组离散方程。有限体积法属于加权余量法中的子区域法，两从未 知解的近似方法看来，有限体积法采用了局部近似的离散方程。简言之，子区域法加 离散，就是有限体积法的基本方法。 1 2 2 平面二维非恒定流的数值模拟方法的形成与发展 依据普遍适用的物理规律质量恒定律以及动量守恒定律，建立了著名的非恒定 流运动规律的理论方程- - n a v i e r - s t o c k e s o ”方程组。由于n a v i c r - s t o c k e s 方程组是偏微分 方程组，在数学上的复杂性限制了它的求解，在最初的八十年中只能根据各种假设将 其简化为便于求解的方程组，极大的限制了它的使用。只是到了最近的5 0 年，随着高 性能计算机以及软件的发展，对完整的n a v i e r - s t o c k e s 方程组的求数值解才变成可能。 天然河道中的水流是三维的，鉴于天然河道其深度与宽度相比较起来很小，故可 以采用垂线方向平均的方法来简化n a v i e r - s t o c k e s 方程组，由此产生平面二维浅水运动 方程。关于平面二维非恒定流的研究己经有相当长的历史，国内外的许多专家和学者 做出了大量的研究成果：a b b o t t ( 1 9 7 9 ) 及s t e l l i n gm 3 ( 1 9 8 4 ) 曾对平面二维浅水方程作 出了仔细的分析，更有l e e n d e r t s e s 将有限差分法以及a d i 法成功地应用于河口与海岸 的平面二维、三维的水力学模型中，随后p a t a n k a r 和s p a l d i n ”提出了s i m p l e 算法， 该方法现在被广泛地应用于不可压缩流体的流动数值模拟，并在此基础上有了进一步 地改进，主要有s i m p l e r ”1 算法、s i m p l e c 。7 3 算法、s i m p l e x 啪1 算法和s 1 m p i e t 。1 算法等，这些模型都成功地应用于速度一势稻合的流场模拟，垂线平均的浅水流动模 4 第一章绪论 型是在静压下导出的，故一般流体模型中的速度一势耦合的问题也就转化成了速度一 水深的藕合州。h o l t m o “采用“逆风”格式离散平面浅水波的守恒型方程进行水流模 拟计算。王船海、程文辉m 侧提出了天然河道非恒定流场的通用数学模型，采用正交 曲线拟合坐标来克服天然河道复杂的边界给有限差分带来的困难，克服了天然河道边 界形状复杂，长宽尺度相差悬殊等问题，采用露滩处理方法一“冻结法”，在计算过程 中对“动边界”进行追踪，确定非恒定流时因水位引起的计算区域的变化，从而解决 了由水位波动引起的计算边界变化等困难，并采用全隐式方法离散计算，极大地克服 了分裂法时间步长的限制。周建军、林秉南和王连样应用破开算子法原理，将平面 二维非恒定流方程按不同的物理意义破开成对流、扩散和传播三个子方程，对对流方 程，采用特征线的迭代解法，对扩散和传播方程，引入有限差分法求解，用“动边界” 技术追踪在非恒定流时因水位的变化而引起的计算区域边界的变化。大连理工大学吴 修广、沈永明嘲等采用l a p l a c e 方程坐标变换方法生成正交曲线网格，并对浅水流动的 控制方程进行坐标变化，方程离散时采用b 型交错网格。方春明3 针对河道平面形状 窄长的特点，采用全隐式差分法求解河道平面二维恒定水流运动方程。刘晓东、华祖 林和赵玉萍建立了基于四汊树网格的二维水流数学模型，控制方程采用有限体积法 对守恒变量进行离散，应用g o d u n o v 型通量差分格式计算边界上的法向数值通量。李 光炽、周晶晏和张贵寿”1 在用数值模拟方法研究高桩码头对河道流场影响的基础上， 为确保流场模拟精度，采用正交边界拟合坐标变换，应用二维全隐式祸合联解模型离 散控制方程，利用矩阵追赶法求解代数方程；同时引入过水率和修正糙率的概念，并 提出了间接等效模拟高桩码头对流场影响的方法。邓家泉1 以b g k 波尔兹曼方程为基 本方程，利用有限体积法，建立了满足熵原理的二维明渠非恒定水流的r ( 3 k 数值模型。 胡四一、谭维炎“”提出在无结构网格上建立有限体积高性能格式族的统一框架，通过 引入跨单元界面法向数值通量的“逆风”解法，将一维o c h e r ，t v d 两种通量分裂格 式自然地推广至二维浅水方程组。王如云、张东生、张长宽和朱寿峰3 针对水动力学 中的涌波现象导出二维曲线坐标系下的守恒型方程，然后利用算子分裂法和t v d 差分 格式思想构造出计算格式，在此基础上建立起由实际流场域至方形计算区域的全局同 胚映射，对急流过缩窄河道产生的涌波结构进行数值模拟。邵颂东、王光谦和费详俊嘲 在分析总结有关l e 法、m a c 法及p i c 法等优越性的基础上，建立了适合于计算类似 分洪区水流运动的平面二维l e 法的数学模型。程永光、索丽生1 根据二维浅水波方程 的特点，应用由b o l t z m a n n 方程展开的多尺度方程，建立了一个能模拟二维明渠非恒 定流的格子b o l t z m a n n 模型。魏文礼、沈永明“”等采用基于m a c c o r m a c k 预测一校正技 术的隐式数值格式，求解控制水流运动的二维浅水方程，建立了模拟大坝瞬间全溃或 局部溃倒所致的洪水演进进程数学模型。 河海大学硕士学位论文 1 3 复杂边界处理 在研究江、河、湖、泊的水流数值计算过程中，学者们提出了许多处理边界的方 法，例如阶梯近似法、任意网格差分法、通度系数法、不同坐标系组合法、等参元函 数法及贴体坐标法等。在这些方法中，美国学者t h o m p s o n ”提出的贴体坐标法因其能 使计算域边界上的坐标线与边界线密切贴合，而获得了广泛的研究与应用。 余利仁i 许卫新和张书农“7 3 使用在一对相邻边界上可任意选定边界网格点的数值 方法，通过逐次求解拉普拉斯方程组，成功生成了非对称渠槽中的正交贴体坐标系。 河海大学的何国建、汪德耀等以求解拉普拉斯方程组为基础，不合并或聚集任何控 制函数，生成了与边界正交性良好的网格线，并可随意控制网格的疏密程度。清华大 学的揭冠周、介玉新和李广信“”提出用基于适体坐标变换的有限差分法求解复杂边界 的自由面渗流。西安理工大学的魏文礼嘲1 等采用p o i s s o n 方程进行曲线网格生成，并提 出了一种新的构造p ，q 函数的方法，该方法直接利用边界网格节点的信息来控制区域 内部网格节点的信息，利用动边界技术力求实现边界处网格的正交。董耀华。“基于河 势概念和h e r m i t e 三次插值函数，提出了河势贴体河道平面二维正交四边形网格的生成 方法。清华大学的黄炳彬、方红卫和刘斌脚在直角坐标系下发展了一套处理复杂边界 的斜对角笛卡尔方法。西安理工大学的刘玉玲、魏文礼旧1 将曲线拟合坐标变换技术应 用于三角形网格生成中，形成一种方便、有效的三角形网格生成方法。 1 4 本文主要内容及创新点 本文利用边界拟合坐标技术生成正交曲线网格，基于此网格系统，建立平面二维 明渠非恒定流的数值模型，实现复杂边界明渠水流的数值模拟。本文的主要工作如下： 第一章绪论。叙述了选题的目的和意义，论述了数值计算的发展概况和主要方法。 评述了平面二维非恒定流的数值模拟以及复杂边界处理方法的发展概况。 第二章正交曲线网格坐标的生成。根据天然河道不规则边界的特点采用边界拟合 坐标变换技术，建立二维正交数值网格来模拟复杂曲线边界，以克服由于复杂边界而 引起的计算困难。并提出了一种经济、有效的滑动边界处理方法来提高边界上的正交 性，将该方法用于拟合长江南通河段，得到了南通河段的边界拟合的非均匀正交曲线 网格。 第三章二维浅水方程。使用张量分析的方法，推导出在正交曲线坐标下二维浅水 方程的具体形式。 第四章平面二维明渠非恒定流的计算模型。采用有限差分法对二维浅水方程进行 离散，利用a d i 法，实现在计算区域内对二维浅水方程的求解。将得到的数学模型和 计算方法用于长江南通河段进行算例验证，验证结果比较令人满意。并就紊动粘性系 6 第一章绪论 数s 这个重要参数对该算例进行了分析验证，结果表明在考虑占情况下所得的计算结果 更好，得出在本模型中考虑占是必要的结论。 第五章模型的修正：为了提高数学模型的计算精度，对得到的数学模型进行了修 正，在所得到的数学模型中分别加入了迭代的思想和迎风格式。实际算例表明修正是 合理的，模型修正后结果确实有所改善。 第六章总结与展望。，论述了主要研究工作与进一步研究的建议。 本文主要创新之处： l 、采用边界拟合坐标变换技术，建立二维正交数值网格模拟复杂曲线边界，将该 方法用于长江南通河段，得到了其边界拟合的正交曲线网格。 2 、使用张量分析的方法推导出在正交曲线坐标系下的二维浅水方程的具体形式。 3 、在考虑紊动粘性系数的情况下，利用a d i 法，实现在计算区域内对二维浅水方 程的求解，构建一个平面二维明渠非恒定流的计算模型。并在数学模型中加入了迭代 的思想和迎风格式，将得到的数学模型用于长江南通河段进行算例验证，验证的结果 令人比较满意。 7 河海大学硕士学位论文 2 1 概述 第二章正交曲线网格坐标的生成 边界拟合坐标变换是计算流体力学领域中应用比较广泛的一种坐标变换法。该方 法最早是由美国m i s s i e s i p p l 洲立大学j f t h o m p s o n 等人提出的，是通过求解椭圆型 方程，并由待处理的非规则边界离散点坐标提供d i r i c h l e t 边界条件构成坐标函数的边 值问题。边值问题的解可以通过数值方法求解逆变换方程而得到。由于坐标变换问题 所包含的全部意义仅来源于坐标值或坐标函数，因此可以认为边界拟合坐标变换的计 算与流体的计算在性质上无任何联系，变换也不具备任何与流体相关的物理意义，变 换计算过程仅属于流体计算过程的某一相对的前期工作处理范畴，因而边界拟合坐标 变换对微分方程以及变换过程的方法有足够的自由选择性，并有充足的数值求解方法 为之提供可行性保证。这样边界条件的处理、差分离散格式及数值迭代方法便构成了 边界拟合坐标变换的全部计算内容。 通过拟合坐标变换所生成的网格类型和质量将直接影响流体力学问题求解的精 度，甚至影响数值计算的收敛性。对于复杂流场的计算问题，采用边界拟合坐标技术 来进行研究，可把复杂边界的物理区域变换成规则的计算区域，从而在计算中能够准 确地使用边界条件，提高求解的精确度。 2 2 边界拟合坐标 j f t h o m p s o n 等人提出的边界拟合坐标系法的主要思想“1 是寻找一对适当的变 换关系善= 善( 为力，7 = ( 而力，可将物理平面上的不规则区域d 变换为计算平面内的规 则区域e ( 见图2 - 1 ) 。 ( a ) x 一少平面d 域 m 0 3 n q h p l 图2 1 8 p 2 n ( b ) f r 平面e 域 第二章正交曲线网格坐标的生成 假定善= 善b y ) ，叩= gj ，) 满足 及d i f i c h l e t 边界条件 ( 鞘赫卜小g 描 o ( 训q ( 鞘掣卜：“小q ( ；) = l 砸e = 州mj 。q 4 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 其中善= 1 ，孝= n ，刁= 1 ，刁= m 四条等值线即为图2 - 1 ( b ) 中善一r 平面e 域的四条边 界日，男，昱，只，它们分别与图2 - 1 ( a ) 中x j ，平面d 域的四条边界q l ，q 3 ，q 2 ，q 4 相对应。 其中控制函数p ，q 为f ，刁的连续函数，只要适当选取p ，q 函数，就可把x y 平面上疏 密程度不同的曲线网格变换成善一刁平面上均匀的矩形网格，它们反映了善一r 平面上等 值线在物理平面上的疏密程度。如图2 一l ( a ) 所示，在q l ，q 边界上布置了吖个点，在 q 2 ，q 4 边界上布置了个点，这些点的间距可以不等。为了计算方便且不失一般性，在 告一吁半圆上阴矩彤城嘲穑1 日j 距耿亏= 1 皮，7 = 1 ，如图2 - 1 【b ) 所不。 之所以假设变换关系满足式( 2 - 1 ) ，是由p o s s i o n 方程的性质所决定的。“由 p o s s i 0 1 1 方程可鲁出计算平面上关于( t y ) 的偏微分方程 j 口。2 ”曩+ 宁 ( 2 二3 ) i 口y 鬈一2 f l y 如+ ，口。+ j 2 【尸心+ q ) = 0 式中：鼍表示骞，麓衣一不_ 琵0 2 两x 等等， a 口= + 谤p = x f x n + y f y n y = 迁+ 记，j = x f y n x 。y 1 9 协 缈卢，卢， 以 烈 = 2 丝矿塑妒 + + 丝酽塑髟 河海大学硕士学位论文 4 - ；单位善坐标的实质长度； 口单位卵坐标的实质长度； 7 ，广单位f ，玎坐标间的方向余弦。 4 a y 其边界条件为 忙墨鼢 诽 y x ：- - - 9 2 9 , ( ( n 砌, , 1 ) ) 在只上 忙乏长3 在耻 髓黝 在耻 通过上述坐标变换，就可以将求解物理平面上p o s s i o n 方程的边值问题，转化为求 解矩形边界上规定x ( 孝，即) ，y ( f ，r ) 的取值方法的计算平面上的边值问题，然后通过求 解微分方程来确定计算区域内部各点的( 工，y ) 值，即找出与计算平面内各点相应的物理 平面上的坐标。 2 3 正交拟合坐标中控制函数的选取 在生成数值网格的应用过程中，人们基于问题不同的出发点和侧重点，已构造了 不同的控制函数，其中常用的有由t h o m p s o n 等人1 所提出的，控制函数p ，q 形式如 下 p ( 孝，刁) ：一兰q s 喀玎( 手一专) e x p ( - c , 悟一专1 ) 一 弘i g n ( 善一) e x p 一哆肛瓣 浯a ， q ( 善，7 ) = 一q s i g n ( r 1 一r l ) e x p ( - c , l 刁一研i ) 一 忙l l o 第二章正交曲线网格坐标的生成 羔屯s 劬( 刁一珥) 唧f 一( 善一乞) 2 + ( 玎一乃) 21 ( 2 - 5 ) j 5 l 式中：q ，6 ，一密集强度；q ，d ，一衰减因子；s i ( 工) 一符号函数；玎网格线数目； m 一网格数。所有的参数的作用都是调整网格的质量。 t h o m p s o n 等人给出的p ，q 函数有难以克服的缺陷，主要表现在：1 、可调整的参 数过多，当网格生成质量不理想时，很难确定调整哪一个参数才能改善网格的质量；2 、 网格生成迭代过程中不易收敛；3 、参数选取不当易引起双映射现象；4 、不能保证生 成的网格在边界处正交。 自然界中存在许多符合椭圆型关系的物理现象，例如有势流体中的势函数和流函 数，温度场中的等温线和热力线等。若以这些现象为依托，可建立正交网格。 根据流函数与势函数正交的概念，其水流运动方程为 警g 辱 亩。， 古秘辱v o 式中；钟，v 分别表示流速在工，y 方向分量的沿深平均值；p 表示流体密度；日表示全 水深；玎表示压力势函数。 取e = p g t 也2 h + - v _ - - ，则 1a 力 “= 一一 e8 x 。；一上塑 e 砂 而对二维平面水流运动，可得流函数善( x ，y ) 与流速甜，v 的关系为 甜；上丝，：一土鲎 h匆h a 3 c 同时，二维水流运动满足连续性方程 昙( 协) + 杀( 协) = o 将式( 2 7 ) 代入式( 2 - 9 ) ，得 ( 2 - t ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 塑童盔堂堡主兰堡丝塞 旦f 旦塑 + 旦f 旦塑1 ：o 叙l e 缸砂l ea yj 由式( 2 7 ) 和式( 2 - 8 ) ，得 曼丝：一塑 ha y瓠 旦丝：塑 ha x a y 昙f t , 旦h 鼍 + 专l 旦h 蒡 = 旦o x 署 + 参( 一罢 = 。 缸 缸砂砂jl 钞j 砂l 缸 取k = 鲁，则 昙( k 豺号( k 豺。 即 k 鍪o x + 丝o x 丝o x + k 等+ 蔷等= j 2 咖2勿勿 k ( 等+ 割= 一芸篆一爹等 故 等+ 等一芸昙( n 足) 一筹刍( - n k ) 缸2 。咖2苏巩r 7 砂砂r 同理 。 百b2；7+再02170 xa y 一业a xo x ( t o k ) 鱼a y 旦a y ( 1 7 土k ) ：。2 rjlj 从而可得 。 p = 一篙昙( - n k ) 一蒡导( h k ) ，q = 一卺丢 h 书一多昙( h 爿 由式( 2 - 7 ) 和式( 2 8 ) ，有 e 2 , t + v 2 ) = ( 昝嘲 日2 2 + v 2 ) = ( 分 故 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第二章正交曲线网格坐标的生成 k = 号亨厄丽7 巧两= 店 对式( 2 - 1 3 ) 进一步展开计算，由网格的正交性，得 f = 一壶i l l l 叫办q = 一杀( 1 n 纠口) 综上所述，我们蠢终得到了生成正交坐标网格坐标系的实用方程为 f 口咯+ ，+ ，2 ( ，砖+ q ) = o 【口，碡+ 厂。+ ，2 ( j f + 乏螺) = o 其中p = 一毒( 叫心q = 一南( 1 n 纠口) 2 4 方程的离散与求锶 ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 采用中心差分格式离散式( 2 - 1 6 ) 中的各阶导数，并代入其中( 为方便，取 孝= 玎= 1 ) ，整理成遗代形式 ( 口一三脚) 瑞? ：( 口训彤+ ( 口+ i i 脚 瑞 = 一y ( 艺+ ，+ 川) 一寺j 2 q ( 吒+ 。一码。) ( 口一圭j ：p ) ，二j 二z i 口+ y ，仆1 + ( 口+ 三j ：p ) ，嚣： 2 1 7 = 一，( 虼+ l + 圯一。) 一丢j 2 q ( 川一呢一。) 式中：n , n + 1 分别代表计算过程中前后迭代次数。式( 2 - 1 7 ) 为三对角系数矩阵方程， 可采取三对角追赶法( t d m a ) 唧1 求解。 2 5 边界上正交性处理 在生成正交网格的过程中，很难实现边界上的正交。然而为了保证边界上水流计 算的准确性，就要求边界上的网格尽量满足正交性。加密网格点似乎是一个很好的办 法，但是对于_ 段几百米甚至几千米的山区河流这种方法便显得力不从心，因此有必 要寻求一种经济、有效的方法。 对于滑动边界的处理方法很多，常用的具体方法如下删：用迭代法求解式( 2 1 7 ) ， 河海大学硕士学位论文 设迭代后的解为x ( f ，) ，y ( i ，_ ，) ，如图2 - 2 所示，设刁= m 岸边线的网格位置为 x ( f ，彪) ，y ( f ，肘) ，f = ，线与? = 膨线交点p 的夹角为口，c o s 护= ( + 咒) ( 式中 j = 万= 岛) ，根据正交性要求，需调整善= f 线与玎= 吖线的夹角，即网格点p 的 位置从x ( f ，m ) ，y ( i ，m ) 沿岸边线，7 = m 移动距离西= 硝岛1 8 0 ，然后将新的边界点纳 入下一次迭代的求解过程中去。 b 图2 - 2图2 - 3 本文在处理计算域边界网格的过程中做了如下改进：在计算域直角坐标平面内， 由与边界相邻的网格线上的节点向边界线上最近两点决定的直线作垂线，用该垂线与 边界上曲线的交点来取代旧的边界点，来保证边界的正交性。 具体步骤如下： l 、计算域直角坐标平面内，由与边界相邻的网格线上的节点向边界线上最近两点 决定的直线作垂线，用该垂线与边界上分段拉格朗日三点插值曲线的交点来取代旧的 边界点； 2 、给定计算精度，判断新的边界点与旧的边界点之间的距离是否小于给定的精度； 3 、若不满足计算精度，则以新的交点代替旧的边界点，重复计算网格点的直角坐 标，然后重复步骤1 和步骤2 ，直至满足新旧之间的边界点距离小于给定的精度，输出 计算结果。示意图如图2 - 3 所示。 2 6 网格生成算例 本节把本章提出的生成正交网格的方法用于长江南通河段，得到了南通河段的边 界拟合的非均匀正交曲线网格。其中网格数为1 0 0 4 0 共4 0 0 0 个，最大网格纵向长度为 1 2 0 0 m ，最大网格宽度为4 0 0 m ；最小网格长度为1 6 0 m ，最小网格宽度为1 0 0 m 。如图2 - 4 。 1 4 第二章正交曲线刚格坐标的生成 圈2 4 长江南通河段的计算网格 河海大学硕士学位论文 97 太音小结 l 、介绍了j et h o m p s o n 等人提出的边界拟合坐标系法； 2 、通过推导得到了正交拟合坐标中控制函数p ，q 的表达形式； 3 、