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时频分析在地震资料处理中的应用 摘要 傅里叶变换反映的是信号或函数的整体特征，其不具备时间分辨 率，随着信号分析的深入，傅里叶变换难以满足分析要求，不适合处 理非平稳信号；短时傅里叶变换具有一定的局部分析能力，但其时频 窗口固定不变，意味着其在时间域和频率域的分辨率是固定的，不具 备自适应性；小波变换具有可变的时间和频率分辨率，具有较好的自 适应性，但小波基的选择是关键；w i g n e r - v i l l e 变换是二次变换，时 频聚焦性较强，但是会产生交叉干扰项；c o h e n 类函数通过加入核函 数在一定程度上抑制了交叉干扰项，但这是以降低一定的时频分辨率 为代价的。本文比较了传统时频分析方法的优缺点，介绍了高阶谱时 频分析方法，以及提出了改进的f x 域e m d 去噪方法。 经验模态分解是比较新近提出的一种信号分解方法，它依据数据 自身的时间尺度特征来进行信号分解，无需预先设定任何基函数。本 文在m a i z ab e k a r a 的基础上，将f x 域中的i m f l 完全滤除，并滤除 i m f 2 的高频噪声，这样可以达到更好的去噪目的。将其应用于井间 地震数据去噪，提高了井间地震数据的信噪比。 高阶谱分析的最大特点是：( 1 ) 高阶累积量具有对高斯有色噪声 恒为零的特点，因而可用于提取高斯有色噪声中的非高斯信号；( 2 ) 高阶累积量含有系统的相位信息，因而可用于非最小相位系统辨识： ( 3 ) 高阶统计量可用于检测和描述系统的非线性。这些性质是的高阶 谱分析迅速成为现代随机信号分析与处理的一个重要工具。所以，高 阶统计量对于处理非平稳信号非常适合，而地震信号正是这样的非平 稳信号，因此能够很好的应用在地震资料处理中。 关键词：高阶谱，经验模态分解，去噪 a bs t r a c t f o u r i e r 砌n s f o r m a t i o n 。r e f l e c t i n gt h eu n i t yf e a t u r e so f t h es i g n a l so r f u n c t i o n s ，i sn o tf i tf o rp r o c e s s i n gt h en o n s t a t i o n a r ys i g n a l s i td o e s n t h a v et i m ed o m a i nr e s o l u t i o n s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ( s t f t ) a d d e db yaf i x e dt i m e - f r e q u e n c yw i n d o w , h a sal i m i t e dt i m e 。f r e q u e n c y r e s o l u t i o n i tm e a n s t h a t t h e t i m e d o m a i nr e s o l u t i o na n d f r e q u e n c y d o m a i nr e s o l u t i o na r ef i x e di ns t f t , s oi t sn o ta d a p t i v e e n o u g h 。肠v e l e tt r a n s f o r m a t i o n jw i t hab e t t e ra d a p t i v i t y , h a saf l e x i b l e t i m e d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i nr e s o l u t i o n b u tt h ew a v e l e tb a s i si s t h ek e ys t 印w i g n e r - v i l l et r a n s f o r mi saq u a d r a t i ct r a n s f o r m a t i o n ，w i t ha g o o dt i m ea n df r e q u e n c yf o c u s i n g ，w h i l ei tm a yg e n e r a t e c r o s s i n g d i s t u r b a n c e s c o h e nc l a s sf u n c t i o n sr e s t r a i nt h ec r o s s i n gd i s t u r b a n c e st oa c e r t a i ne x t e n t b ya d d i n g ak e m e lf u n c t i o nw h i l et h er e s o l u t i o ni s d e c r e a s e d t h et r a d i t i o n a l t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s m e t h o d sa r e i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sw i l lb e s u m m a r i z e df r o mt h ec o n t r a s to fe a c ho t h e r t h e nh i g h o r d e rs p e c t r u m a n a l y s i sm e t h o di si n t r o d u c e d a n dam e t h o do fi m p r o v e de m d i nt h ef x d o m a i nf o rn o i s ea t t e n u a t i o ni sb r o u g h t u p e m di sas i g n a ld e c o m p o s em e t h o d w h i c hd e c o m p o s e st h es i g n a l s b yt h et i m e s c a l e f e a t u r eo fi t s e l f , w i t hn op r e s t a b l i s h i n g a n yb a s e f u n c t i o n s b a s e do nm a i z ab e k a r a ，a l lt h ei m f1a n dt h eh i g l lf r e q u e n c y o ft h ei m f 2a r ef i l t e r e do u ts oa st od e n o i s i n gt h en o i s ea n dr e s e r v i n gt h e u s e f u li n f o r m a t i o n t h e ni ti su s e di n t ot h ec r o s sw e l ls e i s m i cd a t at o i n c r e a s et h es n ro ft h ed a t a t h ee v i d e n tf e a t u r e so fh i g h o r d e rs p e c t r u ma r e ：( 1 ) t h eh i g h o r d e r c u m u l a n ti sa l w a y sb ez e r ot og a u s sc o l o r e dn o i s e ，w h i c hc a nb eu s e dt o p i c ku pt h en o n g a u s ss i g n a l sf r o mt h eg a u s sc o l o r e dn o i s e ；( 2 ) t h e h i g h o r d e rc u m u l a n tc o n t a i n st h ep h a s ei n f o r m a t i o n w h i c hc a nb eu s e d i n t ot h en o n m i n i m u mp h a s es y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ；( 3 ) t h eh i g h o r d e r s t a s t i c sc a nb eu s e di n t od e t e c t i n ga n dd e s c r i b i n gt h es y s t e m sn o n l i n e a r a b o v ea l l ，h i g h o r d e rs p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o db e c o m e sa ni m p o r t a n t t o o lt oa n a l y s i sa n dp r o c e s s e st h em o d e mr a n d o ms i g n a l s t h e r e f o r e h i 曲- o r d e rs t a t i s t i c si sv e r yf i tf o rp r o c e s s i n gt h en o n - s t a t i o n a r ys i g n a l s ， w h i l et h es e i s m i cs i g n a l sa r et h en o n 。s t a t i o n a r ys i g n a l s ，s oi t c a l lb e u s e f u l i nt h es e i s m i cd a t a k e yw o r d s ：h i g h o r d e rs p e c t r u m ，e m d ，d e n o i s i n g i i 作者简介 周安，女，汉族，1 9 8 4 年1 0 月1 6 日出生，湖南省怀化市安江镇人。2 0 0 7 年6 月毕业于中南大学信息物理工程院地球信息与科学技术专业，同年被保送至 中南大学信息物理工程院地球探测与信息技术专业攻读硕士学位，研究方向为时 频处理在地震勘探中的应用。于2 0 1 0 年7 月毕业，获得工学硕士学位。 在攻读硕士学位期间，本人按规定修完了科学社会主义理论与实践、英语、 数值分析、数学专门问题、地球物理反问题、瞬变电磁法、地震波场理论、物探 信号处理、有限单元法、地球物理位场理论及应用等1 4 门课程，修完学位课学 分2 5 5 分，共修完学分3 8 分，加权平均绩点为3 4 7 ，达到研究生硕士论文答辩 要求。 中南大学硕士论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 选题的目的及意义 检测和识别地层岩性一直是地震勘探追求目标之一，比如在高速公路地层勘 探，勘探地下储煤层，地下是否有空洞等。随着地震勘探难度日益加大，要求对 地震解释的准确性越来越大，傅里叶等传统时频分析方法已经不能满足实际需 求。时频联合分析方法把信号转换到时频域，可以用时间和频率同时来表示信号， 更适合于处理地震数据中的非平稳信号。高阶谱时频分析方法由于其自身的特 点，可以更清楚的判别地下异常的边界和位置，判别地下薄层和孔洞结构。因此 我们可以最大限度的利用地震数据，以达到最好的处理效果。改进的f x 域e m d 去噪方法在井间地震数据中取得了较好的效果，有效的去除了井间地震数据中的 随机噪声。 1 2 国内外研究现状及水平 1 2 1 时频谱分析研究现状 非平稳信号的研究工作开始于2 0 世纪4 0 年代。经典傅里叶变换经过一个世 纪的发展，已成为信号处理领域最强有力的分析方法和工具，这主要是由它的正 交性和鲜明的物理意义以及快速简洁的计算方法所决定的【1 1 。但是傅里叶变换只 具有单一的分辨率，不能同时兼备时频分辨率，不适宜于处理非平稳信号。1 9 4 6 年g a b o r 发展傅氏变换，提出了短时傅立叶变换，其基本思想为：假定非平稳信 号在一个大小固定的分析窗内是平稳的，计算出信号在该时窗的傅里叶变换，然 后沿时间轴移动窗函数，计算出信号在各个窗内所在的时间段内的傅立叶变换， 从而得到信号在各个不同时刻的频谱，然后取其模平方，即得到信号的时变功率 谱。短时傅里叶变换继承了傅里叶变换计算的方便快速这个特点，因此在信号分 析中的应用范围也是相当的广泛【2 】。然而，由于短时窗傅里叶变换的时频窗口大 小固定不变，这意味着短时傅里叶分析方法在时间域和频率域的分辨率是不变 的，不能自适应变化。一旦窗口选定，就固定了时频分辨率。当时窗较大时，意 味着时间分辨率较低，由不确定性原理可知其频率分辨率较高；而当频窗较大时， 意味着频率分辨率较低，同理时间分辨率较高。当高频信号到来时，持续时间短， 应该采用窄时窗；当高频信号到来时，其持续时间则较长，应该采用宽时窗。因 此，对于非平稳信号进行分析时要求其时频分析窗口能够进行自适应调节，以适 应高低不同频率信号的分析。因此，短时窗傅里叶变换不具备此种分析能力【3 1 。 随着信号分析的发展，非平稳信号分析逐渐成为信号分析的主要任务。因此， 中南大学硕士论文 第一章绪论 找到一种既能够保持傅里叶变换的优点，又能弥补傅里叶变换不足的新的正交展 开系已成为人们研究的热点。小波变换便是在这种背景下迅速发展起来的一种新 理论【4 】。2 0 世纪8 0 年代初法国地球物理学家提出了小波分析的方法，它是一种 信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，具有多分辨率的特点，克服了s t i 叮 时频窗不能自适应变换的缺陷，具有较强的频域和时域局部分析能力4 】； w i g n e r - v i l l e 分布于1 9 3 2 年由w i g n e r 在量子热力学中提出，1 9 4 8 年由v i l l e 引 入信号分析领域。它作为一种能量型时频联合分布，是一种非常有用的非平稳信 号分析工具，但是此种方法是基于二次运算的，因此会生成交叉干扰项，会导致 整个时频平面上出现伪影现象【2 , 3 , 1 s - 1 7 ；1 9 6 6 年c o h e n 在w i g n e r - v i l l e 分布的基 础上增加了核函数给出了各种二次型时频分布的统一形式，称为c o h e n 类时频 分布，该类中的不同时频分布的性质由核函数来确定，w i g n e r - v i l l e 分布是c o h e n 类中最基本的双线性时频分布，c o h e n 类中一些成员可以通过平滑的方法来减小 交叉项，但它是以牺牲时频分辨率为代价的【2 , 3 , 1 8 - 2 1 】。 1 2 2e m d 分析研究现状 经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 是19 9 8 年h u a n g 提 出的，1 9 9 9 年又做了一些改进。e m d 可以对一个信号同时将不同尺度( 频率) 的波动或趋势逐级分解开来，产生一系列具有不同特征尺度的数据序列称为本征 模函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，i m f ) 。对e m d 分解的每一个i m f 进行希尔伯 特变换，称希尔伯特黄变换( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，h h t ) ，这种变换非常 适合于具有非线性和非平稳特征的经济系统时间序列。i m f 波动分量具有显著的 缓变波包的特性，不同i m f 分量是平稳信号，具有非线性特征，其缓变波包特 征意味着不同特征尺度波动的波幅随时间变化，因而也具有时域上的局域化特 征。趋势分量则是单调函数或者均值函数，可以代表其长期变化趋势或平均态。 对i m f 分量进行希尔伯特变换，虽然得到的希尔伯特谱和小波谱具有近似的特 征，但却提供了更加清晰详细的局部细节特征。从时频分析的角度，希尔伯特一 黄变换方法的最终结果是得到在时域和频域都有较高分辨率特征的谱图。目前， e m d 方法已经成功应用于湍流、地震、大气科学以及生态、环境、经济等非线 性领域，可以预期在不远的将来，该方法必将在更多的研究领域中发挥巨大的作 用。 1 2 3 高阶谱分析研究现状 在信号处理这一领域中，我们通常假定信号或噪声服从高斯分布，因此在进 行参数辨识以及各种处理的时候仅仅采用二阶统计量就可以提取所需要的信息。 然而，高斯分布只是众多信号分布类型中的种，非高斯信号才是更为普遍的信 2 中南人学硕士论文 第一章绪论 号。对非高斯信号来说，二阶统计量只是其中一种信息，它不包含相位信息，因 此在对非最小相位系统的辨识而言，二阶统计量则显得无能为力。在实际工作中， 常常面临大量非高斯、非最小相位、非因果、非平稳信号的处理问题。利用高阶 统计量辨识解决这些问题的主要手段，高阶统计量提供了前所未有的十分丰富的 信息，使我们可辨识非因果、非最小相位、非线性系统；可以抑制高斯或非高斯 的有色噪声；可以抽取不同于高斯信号的多种信号特征；可以分析与处理循环平 稳信号等等。高阶统计量是现代信号处理的核心内容之一。 早在2 0 世纪6 0 年代初，高阶谱在数学上就开始被人们研究，也应用到工程 上并解决了一些特殊问题，然而在实际应用过程中，高阶谱的计算量相当的大， 计算起来相当费时，因此在实现上存在了一定的困难。直到8 0 年到后期才是真 正的发展顶峰，经过短短几十年的时间，随着科技的发展，信号分析技术、谱估 计技术越来越多的应用到实际生产过程中来，高阶统计量在声纳、雷达、通信、 天文学、电磁学、海洋学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、 振动分析、流体动力学等领域获得了广泛的应用。因此，高阶谱技术重新又开始 被人们重视起来。在国内，高阶谱研究起步较晚( 8 0 年代中后期) ，但也取得了 一些进展。现在有许多科研工作者和工程技术人员对在信号处理、系统理论和时 间序列分析等领域表现出很大的兴趣。随着人们对高阶统计量的关注，高阶统计 量必然会得到广泛的发展与应用。普及高阶统计量的理论及方法，进一步发展这 一理论与方法，并将其应用到地球物理领域，已成为信号分析领域的一个发展趋 势【2 2 2 9 1 。 高阶统计量是描述随机过程高阶( 二阶以上) 统计特性的一种数学工具。高 阶统计量已成为信号处理领域中一种新的强有力的工具，应用范围涉及通信、声 纳、雷达、语音处理、图像处理、时延估计、地震信号处理等大量领域【2 2 】。 1 2 4 研究目的及意义 随着地震勘探的深度和精度的要求不断提高，人们希望从地震资料中获取更 多的地下信息。提高地震勘探信号的信噪比和分辨率则成了相关工作者的追求目 标。 本文从传统时频分析开始，介绍了一系列相关的时频分析方法，对比其优缺 点，突出了时频两域分析的优点。通过时频分析，极大程度的提高了地震资料的 分辨率，利用了有限的地震资料获取了更多的有用信息。对地震资料去噪，判别 查明地下空洞及异常处，将时频处理方法很好的应用于地震勘探中。 1 3 论文主要工作和成果 在对传统时频分析方法进行对比时，本文通过对主频3 0 h z 瑞雷子波和不同 3 中南大学硕士论文 第一章绪论 主频瑞雷子波的叠加波进行时频分析，并做出频谱图，通过实际图形来对比出各 种时频分析方法的优缺点，并通过改变不同参数来研究这些参数对时频分析的效 果，并做出总结归纳。然后介绍和研究了本文的重点：本文在m a i z ab e k a r a 的基 础上在f x 域中将i m f l 完全滤除并且对i m f 2 采用滤波方法以达到更好地去噪 目的，保留有效信息，从而提出了改进的f x 域e m d 去噪方法，通过理论数据 对比分析确实能有效地改进去噪效果，然后将其应用于实际井间地震资料中，通 过噪音北京等参数表明实际的去噪效果。高阶谱分析以及提出改进的fx 域em d 去噪在地震资料处理中的应用；本文中阐述了高阶谱的基本概念，基本公式， 重点分析了双谱和三谱，同时建立了楔状模型和孔洞模型，对其进行双谱时频分 析，获得不同频率的频率切片图，通过分析这些切片，来分析地震模型中的薄层 和孔洞结构，然后再将高阶谱分析应用到实际地震资料中，来判别实际资料中的 薄层和孔洞结构，取得了较好的效果。 1 4 论文的组成部分 本文共分为六章： 第一章是绪论，分析选题目的意义及各种时频分析方法国内外研究状况，阐 述了本论文研究的目的及意义，论述了本论文的主要工作任务和成果。 第二章中对几种常见的时频分析方法进行了理论上的分析，包括短时傅里叶 变换、小波变换、w i g n e r - v i l l e 变化、c o h e n 类时频变化等，并以各种不同主频 的地震子波为模型进行时频分析，研究不同主频的地震子波在时频分析中时间和 频率的分辨率如何变化，总结归纳各种传统时频分析方法的优缺点，做出这几种 传统时频分析方法的时频谱图。 第三章从理论上分析高阶谱时频分析方法，阐述了三阶相关和双谱，定义累 积量和多谱，并以具有特殊地位的高斯随机变量为例，对累积量和多谱进行举例 分析。 第四章建立了两种理论模型，楔状模型与孔洞模型，从理论上对双谱时频分 析方法进行试验，结果能较好的分析出楔状模型的薄层结构，以及孔洞模型中的 孔洞结构；分别将双谱时频分析方法应用到相应实际的地震数据中，通过时频分 析，得到了理论的分析结果，能够判别出地下薄层结构和孔洞结构。 第五章提出了改进的f x 域e m d 去噪方法，该种方法通过对数据进行时频 转换，去除随机噪声，最后再将数据转换回时间域，即得到了去噪后的地震数据。 通过对理论数据进行去噪分析，验证该方法的可行性，再将其应用在井间地震数 据中，获得了较理想的去噪地震数据。 第六章是总结归纳，对本文重点提出的两种方法进行总结归纳，并提出建议。 文章的最后是参考文献。 4 中南大学硕士论文 第二章传统时频谱分析方法简介 第二章传统时频谱分析方法简介 2 1 傅里叶变换 对于空间l 2 ( r ) 而言，傅里叶变换为： f ：j ( f ) 专s ( c o ) = i s ( t ) e 1 叫d t ( 2 1 ) - - c o i i 在应用中，s ( c o ) 称为信号s ( t ) 的频谱，b ) l 称为信号j ( f ) 的幅谱，a r g s ( o ) 称 为信号j ( ，) 的相谱。所s ( c o ) 连续，则可以定义傅里叶逆变换为： 1 4 - 0 0 f 。1 ：s ( c o ) 寸s ( t ) = _ 1is ( 国) p m d o( 2 - 2 ) z t 二 傅罩叶变换有许多良好的性质，这些性质很好的反映了信号时域表示与频域 表示之间的关系。 2 2 时频分析的基本概念 在信号分析中，描述信号最基本的两种方式是：时域形式和频域形式。把时 间或空间位置作为自变量，把信号的某一数字化特征作为因变量来描述信号的方 式是常用方式。然而信号在固定时间或固定时间区域的孤立值本身很少有意义， 因此，对信号人们往往做另一描述，即用它的傅里叶变换来描述它的频率特性。 2 2 1 非平稳信号与时频分布 傅里叶变换虽然有很多的优越性，但也存在许多不足。傅里叶变换只能分析 整体时间内的频域特性，失去了时间分辨率，而且其分析信号要求是平稳信号。 但是实际应用中最常见的是非平稳信号，傅里叶分析已经不能达到人们的分析要 求。因此人们开始寻求新的分析方法，要求它既可以保持傅里叶变换的优点，又 可以弥补它的不足之处。基于此，人们发展了时频域分析方法。 对于非平稳信号，信号的统计量发挥着很大的作用。一阶统计量是最常见的 统计量描述方式，其包括均值等。二阶统计量描述方式，比如：功率谱密度、相 关函数等。当然，还有更高阶的表达方式，如高阶累积量，高阶谱等高阶统计量。 非平稳信号的最基本分析内容是时频分析。时频分析最主要的任务就是获得 时间t 和频率w 的二维函数，简称时频分布，并以能量谱图的形式表达出来。根 据时间频率二维谱图，我们可以确定某一时间频率所对应的能量分布，同时利用 这种时频分布来讨论非平稳信号的时频变特性，如瞬时带宽、瞬时频率、群延迟 等。 5 中南大学硕士论文 第二章传统时频谱分析方法简介 2 2 2 时频分布的基本性质 一个理想的时频分布p ( t ，c o ) 具有如下的典型性质：时频不变性、频移不变性、 线性尺度变换特性、定义域的同一性等。 ( 1 ) 时频分布的时频不变性 这一特征是指原始信号经过时移后，那么时频分布p ( t c o ) 也会长生相应的时 移，但是分布本身并没有发生变化。即：s ( f ) 对应时频分布为p ( t ，c o ) ，对s ( f ) 进 行时移s o 一气) ，则时移信号的时频分布产生相应的时移p ( t t o ，c o ) ，记为： s ( f ) 专p ( t ，国) js ( t - t o ) - - p ( t t o ，c o )( 2 - 3 ) ( 2 ) 时频分布的频移不变特性 这一特征是指原始信号经过频谱搬移后，其时频分布也产生相应的频谱搬 移，而分布本身保持不变，这一特点与特点( 1 ) 相对应。记为： s ( f ) p ( t ，国) = e # o t s ( t - t o ) - - p o 一气，c o c o o ) ( 2 4 ) ( 3 ) 时频分布的线性尺度变换性 若s ( f ) 的时频分布为p ( f ，0 3 ) ，则尺度变换信号口j ( 口f ) 的时频分布为 尸( a t ，国a ) ，即： s ( f ) 专p ( t ，c o ) = x l a s ( a t ) 专只础o ，c o ) = p ( a t ，t o a ) ( 2 - 5 ) ( 4 ) 有限支撑性 信号的有限支撑性是指信号在有限区间有值。因此，对信号时频分布同样是 指在有限区间有值。但对于信号时频分布的有限支撑性又分为两种情况：弱有限 支撑性( 定义域的同一性) 和强有限支撑性。 1 ) 弱有限支撑性 当信号定义在某一有限区间内有值( 或定义在某一频带内) ，它的时频分布 也定义在相同的区间( 或相同的频带) 内，即： 若t ( t l , t 2 ) 时，j ( f ) = 0 ，则p ( t ，c o ) = 0 若c o ( c o l ，吐) 时，s ( c o ) = 0 ，则p ( t ，c o ) = 0 满足以上要求的时频分布p ( t ，彩) 称为具有弱有限支撑性或定义域同一性，但 是，满足若有限支撑的时频分布不可能局限于时频平面的有限区域，因为信号不 可能同时在持续时间和频带上有限。 2 ) 强有限支撑 当任意时刻都满足s ( f ) 为零，那么时频分布函数p ( t ，o j ) 为零；当满足任意频 点，只在信号s ( f ) 的频谱为零，时频分布函数p ( t ，0 3 ) 为零，即： 若t 时，s ( t ) = 0 ，则在同一时刻p ( t ，c o ) = 0 6 中南大学硕士论文第二章传统时频谱分析方法简介 若彩时，j ( 缈) = 0 ，则在同一频点p ( t ，c o ) = 0 满足以上要求的时频分布称为强有限支撑分布。 这些性质是理想时频分析的典型性质，而实际的时频分布还有其他一些性质 ( 反演性、卷积性等) ，并且总是不能够完全满足上述的这些基本性质。 2 2 3 信号的不确定原理 不确定性原理也称为海森伯测不准原理【5 0 5 1 】。不确定性原理强调信号的时宽 和带宽不可能同时任意的窄，它是非平稳分析信号中非常重要的定理。 傅里叶变换将信号的时间与频率的关系进行联系起来，信号的时域特性与频 域特性不是孤立的，是相互联系的。当信号的持续时间有限时，信号的频率带宽 则为无限；相反，当信号的持续时间无限时，信号的频率带宽则为有限。这说明， 信号不可能同时具有有限的时间和有限的频率带宽【4 1 。用定理来表达不确定性原 理： 若h 寸0 0 时，信号s ( t ) 与时间的平方根积满足船( f ) - - o o 时，信号的时宽， 与带宽。的积满足： 1 ，a ( 2 6 ) 二 当信号s ( f ) 为高斯信号s ( f ) = a e 叫2 时，式( 2 6 ) 中的等号成立。这就是信 号分析中的不确定性原理。 2 3 传统时频分析方；去 4 8 】 2 3 1 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换是在傅里叶变换的基础上添加了一个大小固定的时频分析 窗口，从而可以把时间和频率一一对应起来，同时具备时间分辨率和频率分辨率。 短时傅里叶变换认为：截取分析信号的一个短时间信号，并认为这个信号在这个 短时间内是平稳信号，然后通过傅里叶变换得到其对应的时间和频率关系，通过 移动这个固定的时频窗口，分析下一个短时间内的信号，这样就可以得到整个信 号的频率随时间的变化关系，即时频分析谱【3 0 】。 其反变换为 s t f t ( t ，c o ) = f x f ) w ( f r ) e - 弘7 d r x ( f ) = ，f s r f r , ，国) w ( t - t ) p 彬衍d c o ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 2 3 2 连续小波变换 小波变换具有自适应性，它通过改变尺度因子和平移因子，从而改变分析时 频窗口的形状和位置，而保持窗口面积不变。对于检测高频分量，尺度参数会自 7 中南大学硕士论文 第二章传统时频谱分析方法简介 适应变小，这时时窗自动变窄，频率窗口高度增加；对于检测低频分量，尺度参 数会自适应变大，这时时窗自动变宽，频率窗口高度减小【3 0 , 4 2 4 4 。 信号x ( t ) 的连续小波变换( c w t ) 表示为： c 胛( 口，6 ) = 去量w 宰( 等渺 ( 2 9 ) 连续小波变换反变换为： m ，= 吉! f 胛c 啪，以字，亨等 c 2 枷， 、，一 ”v c 嘲赳石 ( 2 - 1 1 ) 二 缈 2 3 3w i g n e r - v i l l e 时频分布 w i g n e r - v i l l e 时频分布( w v d ) 是一种非线性的变换，之前提到的两种传统 时频分析方法都是线性的，而w v d 是一种二次变换【3 0 1 。信号x ( t ) 的w i g n e r - v i l l e 变换为： m 俨弘+ 互t ) 州f 一2 ) e - s 2 可 , d f ( 2 - 1 2 ) 式中z 为x 的解析信号，z 事为z 的复共轭。 如果z ( t ) = 毛( f ) + z 2 ( f ) ，则： w w ( t ，厂) = 朋哆。( f ，厂) + 聊哆：( f ，门+ 2 r e 聊哆内( f ，厂) 】( 2 - 1 3 ) 式中 r d z 。：( f ，门是时频谱分析中产生的交叉项，且有 崛。= 一弘+ i t ) 乞一2 ) e - j 2 月f r d f ( 2 - 1 4 ) 2 3 4c o h e n 类时频分布 c o h e n 类时频分布( c t f r ) 是在w i g n e r - v i l l e 的基础上添加核函数进行改进 的一种时频分析方法，用以尽可能多的抑制由w i g n e r - v i l l e 二次变换产生的交叉 项。我们也可以将w i g n e r - v i l l e 纳入c o h e n 类时频分析方法当中来，只是这时候 核函数取为1 。c o h e n 类时频变换其表达式为： c t f r ( t ，国) = ，弘( f ，o ) w v d ( t - 删一o ) d r d o ( 2 - 1 5 ) 式中，w v d 为w i g n e r - v i l l e 变换，矽( f ，为核函数【3 0 1 。 中南大学硕士论文 第二章传统时频谱分析方法简介 2 4 传统时频谱分析方法比较 传统时频分析方法各有各的优点与不足，通过设计一个单频信号和四个不同 频率单频信号的叠加信号对以上几种传统时频分析方法进行分析，用以对这几种 传统时频分析方法的谱分析效果进行比较。在设计中，单个单频信号的频率为 3 0h z ，叠加的四个单频信号的频率分别为3 0h z ，4 0h z ，5 0h z ，6 0 h z 。 2 4 1 短时窗傅里叶变换 0 1 0 2 芒0 3 q g 一 0 4 0 5 0 6 溪_ 震一疆臻田 图2 一l 单频信号的s t f t 时频分析 ( a ) 信号；( b ) 到( e ) 汉明窗长分别为4 0 m s 、8 0 m s 、16 0 m s 、3 2 0 m s ； ( a )( b )( c ) ( d )f e ) 一j 一【j ) uu ) l0) ul u uu) ul u uu) uj u uu5 0l j ( j f r e q u e n c y h z 图2 2 叠加信号的s t f t 时频分析 ( a ) 信号；( b ) 到( c ) 汉明窗长分别为4 0 m s 、8 0 m s 、1 6 0 m s 、3 2 0 m s ； 从图2 - 1 可以看出，当雷克子波的主频不变的时候，随着分析时窗的变大， 分析信号的频率分辨率增加，而时间分辨率减小；从图2 2 可以看出，对于某一 特定的分析时窗，雷克子波的主频变大，分析信号的时间分辨率增加，而频率分 o 1 2 3 4 5 6 0 o o 0 o 0 l 2 3 4 5 6 0 o o o o o 1 2 3 4 5 6 o 0 0 o 0 o 1 2 3 4 5 6 0 o 0 o o o 中南大学硕士论文第二章传统时频谱分析方法简介 辨率减小。 因此我们可以得出，短时窗傅里叶变换必须选择恰当的分析时窗的长度。若 分析时窗长度太短，频率分辨率太小；若分析时窗长度过长，则会出下不同时刻 频率叠加的现象。短时窗傅里叶变换中时窗长度的选取是整个时频分析的关键。 2 4 2 连续小波变换 蠕_ 震_ 震潍l l 一0 500 5l o5 01 0 0 05 01 0 0 f r e q u e n c y h z 图2 - 3 单频信号连续小波变换时频分析 ( a ) 信号；( b ) 到( e ) m o r l e t 小波长度分别为2 0 m s , 4 0 m s 、6 0 m s 、8 0 m s ； f a )( b )( c )( d )f c ) 芒o 3 o 吕 卜 0 4 1 0 500 51o5 01 0 005 0l o o05 01 0 005 01 0 0 f r e q u e n c y h z 图2 4 叠加信亏的连续小波变换时频分析 ( a ) 4 5 号；( b ) 莹 ( e ) m o r l e t 小波长度分别为2 0 m s 、4 0 m s 、6 0 m s 、8 0 m s ； 从图2 3 可以看出，当雷克子波的主频不变时，随着小波基长度的增加，分 析信号的频率分辨率增加，而时间分辨率减小；从图2 4 可以看出，当小波基长 度保持不变时，雷克子波的主频变大，分析信号的时间分辨率增加，而频率分辨 率减小。 因此我们可以得出，连续小波变换时频分析必须选择合适的小波基长度。若 小波基长度太短，则会出现假高频的现象；若小波基长度过长，则会出现不同时 1 0 2 3 4 5 6 o o o o o o 中南大学硕士论文第二章传统时频谱分析方法简介 刻频率叠加的现象。连续小波变换时频分析中小波基长度的选择成了时频分析中 的重要环节。同时，在这个连续小波变换中，选择的小波类型是m o r l e t 小波， 不同的小波类型对时频分析结果也会产生很大的影响。因此小波变换时频分析中 小波类型以及小波长度都是小波变换时频分析的关键环节。 2 4 3w i g n e r - v i l l e 变换 o 0 5 一一一一 一一_ o 0 5 芒 j 蓦o 1 一i 三二：= i = 刮o 1 ；- _、 一 、 0 1 5 。一l 一一j0 1 5 0 2l l0 2 1 050 5if ) 5 01 0 0 f r c q u c n c yh z 图2 5 单频信号w i g n e r - v i l l e 时频分析 ( a ) 信号；( b ) w i g n e r - v i l l e 时频谱图 5oo 5l o 5 01 0 0 f r e q u e n c y h z 图2 6 叠加信号w i g n e r v i l l e 时频分析 ( a ) 信号；( b ) 叠加信号w i g n e r - v i l l e 时频谱分析图 从图2 5 看出，单频信号的w i g n e r - v i l l e 时频分析图并没有交叉项的生成， 具有较好的时频分辨率；但是在图2 - 6 中，叠加信号的w i g n e r - v i l l e 时频谱分析 图产生了交叉干扰项，且当雷克子波的主频增加时，w i g n e r - v i l l e 变换的时间分 辨率增加，而w i g n e r - v i l l e 变换的频率分辨率减小。 中南大学硕士论文 第二章传统时频谱分析方法简介 因此，w i g n e r - v i l l e 时频变换不仅在多分量信号中会产生交叉干扰项，严重 影响时频分析，同时在进行w i g n e r - v i l l e 变换时，信号本身的主频也会影响到时 频分辨率。 2 4 4c o h e n 类时频变换 0 0 5 o 1 0 1 5 0 2 ( a )( b )( c )( d )( e ) 0 0 5 0 1 0 1 5 0 2 0 0 5 0 1 o 1 5 o 2 o 0 5 0 1 o 1 5 o 2 05 01 0 005 01 0 0o5 01 0 0 f r e q u e n c y h z 图2 - 7 单频信号c o h e n 类时频分析 o 0 5 o 1 o 1 5 o 2 ( a ) 信号；( b ) 到( e ) 分别为c w d 、b j d 、p 吖d 、r w v d ( a )( b )( c )( d )( e ) 0 1 ( 、t 0 1 o 2 一0 2 芒0 3 d 暑 卜 0 4 0 3 0 4 o 5 _ _ f 一一0 5 0 6 ：i一一0 6 o 1 o 2 o 3 0 4 0 5 0 6 o 1 0 2 0 3 0 4 0 5 o 6 o 1 o 2 0 3 0 4 0 5 0 6 o5 01 0 0o5 01 0 0 05 01 0 0 f r e q u e n c y h z 图2 - 8 叠加信号c o h e n 时频分析 ( a ) 信号；( b ) 到( e ) 分别为c w d 、b j d 、p w v d 、r p w v d 从图2 。7 和图2 8 可以看出，选择恰当的核函数可以抑制w i g n e r - v i l l e 变换 所产生的二次交叉干扰项。实际上，我们可以把w i g n e r - v i l l e 变换看成是c o h e n 类时频变换中核函数为1 的一种特殊情况。当选择某特定的核函数进行c o h e n 中南大学硕士论文第二章传统时频谱分析方法简介 类时频变换时，随着雷克子波的主频增加，时间分辨率增大，而频率分辨率减小。 c o h e n 类时频变换具有很好的时频聚焦性。在进行c o h e n 类时频变换的时候，必 须要选择恰当的核函数。虽然c o h e n 类时频变换在一定程度上抑制了交叉项的 生成，但是它是通过降低了一定的时频分辨率换来的结果。 2 5 传统时频分析方法小结 通过2 2 节的成图对比，对传统的几种时频分析方法有了一定的了解。短时 傅里叶变换的时窗选择直接影响时频分析效果；连续小波变换中小波基的种类的 选择以及长度的选择直接影响连续小波时频分析效果；w i g n e r - v i l l e 时频变换中 会产生二次交叉干扰项影响分析效果；c o h e n 类时频变换是在w i g n c r - v i l l c 变换 的基础上添加了核函数抑n - 次交叉干扰项，但同时它也是以牺牲一定的时频分 辨率为代价的，同时，不同的核函数的选择也会直接影响时频分析效果。 1 3 中南大学硕士论文第三章经验模态分解( e m d ) 时频分析 第三章经验模态分解( e 加) 时频分析 3 1e m d 的提出 美籍华人n eh u a n g 等人在对瞬时频率的概念进行了深入研究后，创立了希 尔伯特黄变换( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m s ，h h t ) 的新方法【3 l 】【3 2 】【3 3 】，创造性的提 出了固有模态信号组成的方法一e m d 。 经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 是1 9 9 8 年 h u a n g 提出的，1 9 9 9 年又做了一些改进。e m d 可以对一个信号同时将不同尺 度( 频率) 的波动或趋势逐级分解开来，产生一系列具有不同特征尺度的数据序 列称为本征模函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，i m f ) ，从而赋予了瞬时频率 合理的定义、物理意义和求法，它将任意信号分解为一系列的若干个固有模态函 数之和【3 3 1 ，这种信号分解方法非常适合于具有非线性和非平稳特征的地震数据 3 1 - 3 3 】。i m f 波动分量具有显著的缓变波包的特性，不同i m f 分量是平稳信号， 具有非线性特征，其缓变波包特征意