（数学专业论文）期权定价反问题研究.pdf

摘要 期权定价反问题，在现代金融学的理论研究领域中占有重要的一席之地。无论是理 论探讨还是实际应用，它都具有很好的学术价值和社会经济意义。本文以随机波动率下 的期权定价反问题为研究对象，引入了波动率移动因子，采用随机最优控制理论来探讨 随机波动率的求解并构造了相应的数值解法，使得问题变得更加复杂和实用。 本文的主要研究工作和所得结果集中在第三章到第五章。第三章在前人工作的基础 上引入了波动率移动因子，其满足一定的随机微分方程且自身附带有波动率，使得问题 更加接近实际金融市场结构。而所考虑标的资产依然遵循随机微分方程运动，其具有的 随机波动率是关于标的资产、波动率移动因子和时间的函数。然后，通过引入相对熵， 使得随机波动率下的期权定价反问题转化为最优控制问题。最后运用随机最优控制理论 得到相应的h j b 方程，从而求得随机波动率的解析解。第四章给出了一个求解方程h j b 方程的隐式有限差分方法，构造了求解随机波动率下期权定价反问题n e w t o n 数值方法， 并进行了边界条件处理。第五章证明了该方法的单调性、稳定性和收敛性，并设计了其 求解方案，随后实例验证了该算法的有效性。 关键词：随机波动率，期权定价，随机微分方程，h j b 方程，有限差分 s t u d y o nt h ei n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n g l ix i u l u ( m a t h e m a t i c ) d i r e c t e db yp r o f w a n gz i t i n g a b s t r a c t t h ei n v e r s ep r o b l e mo f o p t i o np r i c i n go c c u p i e sa ni m p o r t a n tp l a c ei nt h er e s e a r c hf i e l d o fm o d e mf i n a n c i a lt h e o r y b o t hi nt h e o r e t i c a ld i s c u s s i o na n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，i th a st h e g r e a ta c a d e m i cv a l u ea n ds o c i a la n de c o n o m i cs i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e ra n i n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n gw h i c hh a st h es t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , a n di n t r o d u c et h e v o l a t i l i t yd r i v i n gf a c t o r , a n dt h e nu s es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r yt os o l v et h es t o c h a s t i c v o l a t i l i t y w ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a ls o l u t i o n , a n df i n a l l ym a k ep r o b l e mm o r e c o m p l e xa n dp r a c t i c a l t h i sp a p e r sm a i nw o r ka n dr e s u l t sa l em a i n l yi nc h a p t e r3 , 4 ，5 b a s e do np r e v i o u sw o r k i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h ev o l a t i l i t yd r i v i n gf a c t o rs a t i s f i e dac e r t a i ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dh a v i n gi t so w nv o l a t i l i t y , w h i c hm a k e st h ep r o b l e mb em o r ec l o s et ot h e s t r u c t u r eo ff i n a n c i a lm a r k e t w ec o n s i d e rt h eu n d e r l y i n ga s s e tf o l l o w i n gt h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a lm o v e m e n t , w h i c hh a st h e s t o c h a s t i cv o l a t i l i t yo naf u n c t i o no ft h et m d e r l y i n g a s s e t ，v o l a t i l i t y & l y i n gf a c t o ra n dt i m e b yt h er e l a t i v ee n t r o p y , t h ei n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o n p r i c i n gu n d e rt h es t o c h a s t i ci sm a d ei n t oa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m f i n a l l y , w ed e r i v et h e c o r r e s p o n d i n gh j be q u a t i o nu s i n gt h es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , a n dt h e no b t a i nt h e s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y sc o r r e c ts o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w eg i v ea ni m p l i c i tf m i t ed i f f e r e n c e m e t h o dt os o l v et h eh j be q u a t i o n , a n dc o n s t r u c tan e w t o nn u m e r i c a lm e t h o d ，a n dp r o c e s st h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r5 ，w ep r o v et h a tt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sm o n o t o n e ， s t a b l ea n dc o n v e r g e n t t h e n , w ed e s i g ni t ss o l u t i o ns c h e m e ，a n df i n a l l ys h o wt h em e t h o di s e f f e c t i v et h r o u g ha ne x a m p l e k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , o p t i o np r i c i n g ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n , i - i j b e q u a t i o n , f i n i t ed i f f e r e n c e 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：奎盘迩日期：少加年石月，日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：叁查坠 指导教师签名： 日期：劫，d 年 日期：力矽年 月 ，日 歹月 日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章绪论弟一旱瑁了匕 期权定价问题，在现代金融学的理论研究领域中占有重要的一席之地。无论是理论 探讨还是实际应用，它都具有很好的学术价值和社会经济意义。 1 1 问题背景与研究意义 期权是金融市场上的一件重要的衍生产品，它赋予所有者一种权利，但并不用承担 义务，即所有者可以在规定的时间、按一定的价格向出售方购买或销售一定数量的标的 资产。它具有一定的风险规避和风险投资等功能，而且表现出良好的灵活性和多样性等 特点，已然成为最具活力的金融衍生产品之一，得到了快速发展和广泛应用。 期权作为一种金融产品，就涉及到如何定价的问题。2 0 世纪7 0 年代初，f i s c h e r b l a c k 和m y r o ns c h o l e s 在期权定价理论方面做出了突破性的工作，提出了第一个完 整的期权定价模型，f l 1 b l a c k s c h o l e s 定价公式，被理论和实业界广泛地接受和应用。 在b l a c k s c h o l e s 定价公式中除了波动率是自由变量，即无法直接观察到的，其它参数 和变量均是由当时的市场条件或合约决定的。对于给定的一份期权合约( 包括该期权的 价格，到期日和执行价格等) ，就可以利用b l a c k s c h o l e s 定价公式和这些数据反解出波 动率的参数。而这一隐含波动率会随着不同的到期时间和执行价格而变动，它是在市场 中观察到的期权价格所蕴含的波动率。而在现实期权市场数据中，隐含波动率呈现出关 于到期日的“偏斜”曲线和关于执行价格的“微笑”曲线【l 】。因而，波动率不是常数而 是随机的，这就产生了随机波动率问题。 实际上，隐含波动率的“微笑”和“偏斜”现象是由资产价格及交易成本等多个因素造 成的，也与期权的价格变动相对应。对于不同的到期时间和执行价格，波动率比期权或 股票价格稳定很多，它实际上已经成为期权价格的另一种表示方法。因此，隐含波动率 可以给金融市场参与人员提供很好的预测与保值建议。于是，研究期权定价问题中隐 含波动率的这类反问题就变得非常重要，对未来金融市场的发展和风险管理有着积极 的指导和推动作用。 适逢全球金融危机，我国金融及相关经济领域正面临越来越多错综复杂的理 论和实践问题。认识和研究期权定价问题是紧跟当前国际金融理论研究与应用现状、 与国际金融市场接轨并参与国际金融市场竞争，创造适应当前中国金融市场的特色金融 理论的迫切需要，对于我国经济的发展有着十分重要的意义。 第一章绪论 1 2 国内外研究概况 期权定价问题的历史最早可追溯到1 9 0 0 年。法国学者l o u i sb a c h e l i e r 在这一年发表 了他的博士论文“t h et h e o r yo fs p e c u l a t i o n ，首次给出了欧式看涨期权的定价公式，“这 宣告了数学金融学的诞生”【2 j 。 2 0 世纪7 0 年代以来，期权市场得到了迅速发展，期权定价理论的研究也随之取得了 突破性进展。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 发表了一篇题为“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n d c o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”的论文，给出了不支付红利下的欧式期权定价公式，奠定了期权定 价的理论基础。同年，m e a o n 减弱了该理论所依赖的条件，推广了红利和随机利率模型。 1 9 7 6 年，r o s s 提出了更具一般性的套利定价理论。1 9 7 9 年，c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n 建立 了二叉树模型。1 9 8 5 年，c o x 、r o s s 和i n g e r s o l l 考虑了利率期权。1 9 8 7 年，h u l l 和w h i t e 考虑了随机波动率模型。彭实戈【3 】和e p a r d o u x 于1 9 9 0 年发现了一般非线性倒向随机微分 方程的研究方法，为不完全市场定价理论奠定了一定的基础。 2 0 世纪9 0 年代以来，期权定价问题得到了长足发展，极大地丰富了期权定价的相关 理论，并且在经典的b l a c k - s c h o l e s 模型的基础上，提出了许多新的模型 4 1 。同时，很多 经济学家对期权定价中波动率的反问题进行了广泛研究，取得了许多重要的研究成 果。 对于波动率估计，除了经典的隐含波动率法，1 9 9 5 年，b i b b y b m 和s o r e n s e n m 用到了鞅估计函数方法，这是一种比较精确的估计方法，且估计具有渐进正态性、 一致相合性等良好性质。1 9 9 6 年，s h c h u 和s t e r n g f 给出了g a r c h 模型逼近。 2 0 0 0 年，f o u q u e 根据他导出的o r n s t e i n u h l e n b e c k 模型下欧式期权的渐近定价公 式，给出了隐含波动率与模型参数之间的关系，提出了结合期权市场价格对模型 参数估计的方法。2 0 0 2 年，h s o r e n s e n 总结了离散观察的扩散过程的参数估计， 给出了几种比较有影响力的估计方法。另外，g o u r i e r o u x 提出了间接推断，p e d e r s e n 提出了近似极大似然估计方法，e l e r i a n 提出了b a y e s 估计，a i t s a h s l i a 改进了近 似极大似然估计方法等。 在我国，关于期权定价理论的研究仍处于初级阶段。1 9 9 7 年，诺贝尔经济学奖授予 了s c h o l e s 和m e r t o n 之后，我国也掀起了对期权定价问题研究的热潮，不断的有专著、 译著和论文问世。宋逢明以“无套利均衡分析”深刻地讨论了期权定价理论；姜礼尚、 茅宁、张志强等人则讨论了期权及其应用等相关问题( 参见【l 】，【5 】- 6 】) ；沈致远、李训 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 经和雍炯敏指出了b l a c k s c h o l e s 模型的一些局限性( 参见 7 】) ；王应贵利用鞅的方法讨论 了期权定价的问题：杨云峰研究了跳扩散模型的期权定价；马超群、陈牡妙改变了 b l a c k s c h o l e s 模型的基本假设之一，推导出了一种新的期权定价模型；张晓蓉分析了期 权隐含波动率“微笑”的成因；宋琴，邓醉茶，孔庆雨等研究了期权波动率的估计( 参见 8 】【1 l 】) ；陈萍、杨孝平研究了随机波动率及定期分红和配股模型；李明新、李元研究 了随机收益率与波动率模型等。 虽然我国在期权定价方面的研究取得了一定的成果，不过还有许多不足之处，主要 表现在【1 2 1 ：一是主攻方向不明确，仍处于跟踪性研究阶段；二是未结合我国经济体制现 状开展针对性研究；三是不够重视先进数学方法的研究。因此，应立足于我国经济市场 体制将期权定价理论与金融实践相结合，开展针对性研究，这也正是我国金融工作者需 要努力研究和解决的问题。 1 3 本文的主要工作 本文主要以具有随机波动率的期权定价模型为研究对象，借助期权定价理论，重点 研究期权定价的反问题，突出数学方法在期权定价理论中的重要地位。主要内容为： 第一章，主要介绍了问题背景及研究意义，并给出了国内外研究概况。 第二章，主要介绍期权定价的相关理论基础及其正反问题。 第三章，引入了随机波动率下的期权定价反问题，借助相对熵，使得该问题转化为 最优控制问题。运用随机最优控制理论得到相应的h j b 方程，从而求得随机波动率的解 析解。 第四章，主要探讨了求解方程h j b 方程的有限差分方法，构造了求解随机波动率下 期权定价反问题的n e w t o n 数值方法，并进行了边界条件处理。 第五章，证明了随机波动率下的期权定价反问题模型的有限差分方法的单调性、稳 定性和收敛性，并设计了其求解方案，随后实例验证了该算法的有效性。 3 第二章预备知识 第二章预备知识 本章主要介绍期权定价的相关理论基础及其正反问题。 2 1 期权定价的理论基础 期权定价( o p t i o np r i c i n g ) 理论作为现代金融学的重要组成部分，与投资组合理论、 资本资产定价理论、市场的有效性理论及代理问题一起，被认为是现代金融学的五大理 论模块【1 3 1 。 2 1 1 期权的相关概念【1 4 】 金融衍生证券( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e ) 是指其交易价格衍生于标的资产( u n d e r l i n ga s s e t ) 价格( 如股票价格、利率、指数等) 的远期、期货和期权等金融产品。它既可用来规避风 险和套期保值，也可用来作高风险、高收益的投资，因此得到了广泛的应用。 期权( o p t i o n ) 也称选择权，是一种很重要的金融衍生证券。它赋予买方一种权利，可 以在确定的时间内以约定好的价格买入( 或卖出) 一定数量和规格的某种标的资产或合 约，而卖方有义务满足买方要求。期权分为两种，买方有权以某一确定的价格在某一确 定的时间买入标的资产的称之为看涨期权( c a l lo p t i o n ) ，看跌期权( p u to p t i o n ) 是指买方有 权以某一确定的价格在某一确定时间卖出标的资产。期权合约是正式的法律文件，它确 定了期权交易双方的贸易关系，其惟一的变量是期权价格，又称期权金( p r e m i u m ) 。买方 在支付期权金后，即拥有了在确定时间内买卖某种期权的权利，但不需要承担任何义务。 卖方有义务履行买方要求行使的权利，并通过卖出期权赚取期权金。执行价格( s t r i k e p r i c e ) 就是履行合约时买卖期权的价格。 但是，期权合约的买卖双方收益和损失的机会不是均等的。对于买方来说，他有权 根据自己的意愿来决定是否买卖标的资产，而不是必须；与之相反，卖方只有义务而无 权利。这正是期权独特的地方。 根据期权合约持有者行使权利的自由度不同，期权又可分为美式期权( a m e r i c a n o p t i o n ) 和欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 。可以在期权的有效期内任何时间执行合约的是美式 期权，欧式期权只能在期权的到期日( m a t u r i t y ) 执行合约，既不能提前、也不能推迟。欧 式期权的最终收益与它的历程无关，只依赖于到期日标的资产的价格。 鉴于欧式期权的特征容易分析，期权定价问题的研究大都以欧式期权为起点。本文 所研究的即是欧式期权定价反问题。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 i 2 期权的基本性质 资产，它的变化是随机的，由此产生的期权的价格变化也必然是随机的。 若标的资产在f 时刻的市场价格为墨，期权金为k ，则存在一个确定的二元函数 y ( 墨，f ) ，使得在区域： o s 0 ，应将r 时刻的执行价 格k 按无风险利率，_ 贴现到当前时刻。故在，时刻欧式买权的价值c f 和卖权的价值e 分 g=max(o，,st-一ke-(r“一)=max(o k e ，1 叫一s ) p 叫 下面给出在f 时刻、是否支付红利( d i v i d e n d ) q 下，欧式看涨期权价值圪与看跌期权 价值圪之间的基本关系，这也是期权的基本性质。 性质2 1 欧式期权价格的上限 圪s ；圪k e ”r 州 性质2 2 欧式期权价格的下限 圪 m a x ( s , 一胎- r ( - o , o ) ；圪 _ m a x ( k e 。一s ，o ) ( 不付红利) 圪 m a x ( s , 一g 一恐- r ( t - t ) , o ) ； m a x ( q + k e 吖一s ，o ) ( 付红利g ) 性质2 3 欧式看涨期权与看跌期权的关系 屹+ 吖= 圪+ s ( 不付红利) 圪+ g + & 1 = 圪+ s ( 付红利q ) 第二章预备知识 2 2 期权定价的正问题 期权的价格实质是一种风险价格，其受到包括标的资产价格、波动率和无风险利率 等诸多因素的影响。 2 2 1b s 期权定价模型 期权定价理论的重大革命始于1 9 7 3 年，b l a c k 教授和s c h o l e s 教授发表了一篇名为 t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”的论文，提出了具有划时代意义的期权 定价模型，艮1 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型( 简称为b s 模型) 。 2 2 1 1b s 模型的基本假设 在现代金融学领域，包括期权在内各种金融资产的定价理论，都是建立在以下5 条 关于金融市场一般特征的假设基础之上【1 5 】： 1 ) 市场不存在摩擦( f r i c t i o n e s s ) 。即金融市场没有交易成本( 如佣金、买卖差价和税 赋等) ，没有保证金要求，没有卖空限制。 2 ) 市场参与者不承担对家的风险( c o u n t e r p a r t yr i s k ) 。即市场参与者所涉及的任何一 个金融交易合约，对家不存在违约的可能。 3 ) 市场是公平竞争的。即金融市场上的任一位参与者都是价格的承受者，而非价 格的制定者。 4 ) 市场参与者规避风险，且希望财富越多越好。这是关于市场参与者偏好的基本 假设。 5 ) 市场不存在套利( a r b i t r a g e ) 机会。即若市场上存在套利的可能性，价格会迅速地 进行准确地进行调整，使得套利机会很快消失。 b l a c k 和s c h o l e s 在推导b s 模型时，除了要求上述5 条假设成立外，还做了如下5 条基 本假设【l 】，即： 1 ) 期权是欧式期权，即期权只能在合约的到期日执行； 2 ) 标的资产为股票，且股票价格s 是连续的，其变化服从标准的几何b r o w r 运动且 满足随机微分方程 ， a s , = r s , a t + , r s , a z , ( 2 3 ) 其中g l r 称为波动率( v o l a t i l i t y ) ，互为标准的b r o 、n 过程1 6 】； 3 ) 无风险利率( i n t e r e s tr a t e ) r 己知，且为不随时间变化的常数； 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 4 ) 标的股票不付红利g 或其他收益； 5 ) 投资者可以自由借入或贷出资金，借入利率和贷出的利率相等，均为无风险利 率，并且投资者可以购买任意数量的股票。 2 2 1 2b s 模型的推导【1 7 】 b l a c k 和s c h o l e s 两人合作研究期权的定价问题，构造了一个标的资产和无风险债券 的适当组合，即合成期权。将来无论标的资产的价格如何变化，期权在到期日的损益特 征都能够由该组合表现出来，因此在到期日该合成期权与所要定价的期权具有完全相同 的收益特征。根据无套利定价原则1 8 1 ，构造该合成期权所需的成本即为期权当前的价值。 由此，便可以建立期权定价的b s 模型。 首先给出i t 6 引理( 亦称i t 6 公式) ，它是由日本数学家k n o 在1 9 5 1 年提出的，具体如下： 引理2 1 1 9 1 设s 是一个给定的随机过程，满足随机微分方程 a s , = r d t + a d z t ， y 为二元可微函数，那么k = y ( s ，f ) 也是一随机过程，有 彤= ( 詈+ ，簧a s , 0 2 一番a s ? 卜竹簧皿 q 川 i 街j弧 、7 在此，我们顺便将其推广到n 维情况： 引理2 2 明设y ( ，) ，f ) 及其导数形，v s , ，z s , s ，关于( s ( f ) ，t ) er x o ，o o ) 连续， s ( f ) 是具有随机微分a s ( t ) = r d t + a d z ( t ) 的以维随机过程。那么，矿( s ( f ) ，f ) 有随机微分： 醐吐垆驾半西+ 军华+ 三荨警码q 甸 其中，d z , d z , = 4 a t ，皿d t = d t d z i = 0 。 我们构造如下的合成期权，即在时刻f ，以价格s 买入a k a s , 股股票，并以价值k 卖出一份期权，则该合成期权的构造成本为4 = ( a k a s , ) s k 。当时间从r 微小变化 至_ l j t + a t 时，a z , a s , 可以近似看成一个常数，从而该合成期权价值4 的改变量幽，可写 为： d a t = 警a s , 一彤，( 2 - 6 ) a s 。 。 因将期权价值k 看作为股票价格s 的函数，利用i t o i j 理2 1 得 7 第二章预备知识 彤=(丝+埚蔷+亏1矿砰蔷卜+吣丝os,ot 皿，( 2 。7 ) 。i弧2弧j ”、7 将( 2 3 ) n ( 2 7 ) 两式代入( 2 6 ) 式，经化简得 戤一降j 1c r 2 群簧卜 ( 2 - 8 ) 在上式中，不存在皿项，这表明该合成期权在区间p ，f + 址】上价值的变化是确定的， 不存在风险。在不考虑交易成本等因素的情况下，根据无套利定价原则，该合成期权的 收益率应当是无风险利率，即： 杈= 以一簧一k 卜 ， 将上述的( 2 8 ) 和( 2 - 9 ) 两式合并，可得： 一睁j 1 水骞卜s , a v , 一k 卜 上式经化简便可得到著名的b s 微分方程： 警+ 峰簧0 2c r 2 群筹吖 乱 i a s 。 i a s 1 、。 特别地，在考虑红利的情况下，期权定价的b s 方程为： 百a v , + ( ，刊s 簧甲12 砰象一，例 2 2 2 期权定价的正问题 任何一种衍生工具的标的资产价格变化只要服从标准的几何b r o w n 运动，b s 方程 就可以应用于该衍生工具的定价。对于不同类型的衍生工具，其价值k 的边界条件也不 同。当其边界条件确定后，即可通过求解b - s 方程( 2 - 1 0 ) 或( 2 1 1 ) 来导出该衍生工具的定 价模型。特别地，当该衍生工具是期权时，这就是所谓的期权定价正问题。 下面给出欧式看涨期权的正问题【2 0 】。为了确定在合约有效期 o ，明内期权的价值， 就要在区域： o s 0 0 ，o t 0 ，因此该方程存在唯一解o r = o r o 。这样，我们就从一张到期日为r o 、执 行价为k 的特定的期权导出了标的资产的隐含波动率o r = o r o 。 但事实并非如此。对于拥有不同的到期日丁和不同的执行价格k 的期权，标的资产 的隐含波动率是由相应期权的价格决定出的，它应该是不同的。根据文献【1 】可知，对于 固定的丁，隐含波动率o r 与执行价格k 的关系一般呈现“微笑”( v o l a t i l i t ys m i l e ) l 抽线；对 于固定的k ，隐含波动率o r 与到期日丁的一般呈现“偏斜”( v o l a t i l i t ys k r e w ) 曲线关系。 因此标的资产的波动率盯是常数的假设不成立，比较合理的假设应该是标的资产价 格s 和时间f 的函数，即o r = o r ( s , ，f ) 。则在风险中性测度意义下，标的资产价格的随机 微分方程就演化为 a a s , ：( ，一g ) a t + 盯( s ，) 矗z f ，( 2 - 1 9 ) 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 从而相应的b s 方程应为 百o r , + ( r - g ) s 簧+ 2 0 - ( s t , t ) s ) 0 矿2 v t 忙。 现在我们提出这样的问题：如何运用期权市场上期权的报价，获取有关未来标的资 产波动率的信息? 这就引入了期权定价的反问题( t h ei n v e r s ep r o b l e mo f o p t i o n p r i c i n g ) 1 2 3 1 。 由欧式看涨期权与看跌期权的关系性质2 3 可知，不论是采用看涨期权的市场报价还 是看跌期权的市场报价，所得到的波动率仃应该是相同的。不妨以欧式看涨期权为例， 期权定价反问题即为： 假设k = 矿( s ，f ；仃，k ，丁) 是欧式看涨期权的定价，它在区域： o s o o ，0 f 丁 上 满足 百a v , 嘶_ g ) s 盖+ 三以蹦崦s 2a 霹2 v t 一，k _ 0 ， ( 2 - 2 1 ) l巧= ( s t - g ) + 当，= f ( o 厶丁) ，s = 时，已知 y ( & ，f ；盯，k ，互) = 形，( f = 1 ，) ， 如何确定局部波动率( 1 0 c a lv o l a t i l i t y ) 盯= o - ( s ，f ) ? 2 3 2 反问题的研究方法及现状 由于偏微分方程反问题的不适定性( 病态性) ，必须探讨反问题解的存在唯一性，求 解方法及其稳定性。 d u p i r e 首先利用转移概率密度( e 口g r e e n 函数) 的对称性，将期权定价反问题转化为关 于k 、r 的对偶方程，使得在f = f ，s = & 一点上的信息转变为在r = t 一厶= l 这一条 线上的离散的信息，并导出了著名的d u p i r e 公式嗍。由于使用该公式涉及数值微分这个 病态问题，因此无法直接应用。但他的思想和方法是开创性的，对于后面其他学者的工 作具有深远的的影响。 e d e r m a n 和l a n d e r s e n 利用插值与外推技巧，构造连续的y ( & ，h ；a ，k ，n ，但这并 没有解决数值微分的实质困难。r l a g n a d o 、j b o d u r t h a 和m a v e l l a n e d a ，使用了不同的 模型校正误差推测构造极小化泛函，主要的方法是e n t r o p i c 正贝j j 化( 即使用l a g r a n g e 方法 第二章预备知识 计算带限制的极小化问题) 以及t i l c h o n o v 正则化。但由于变分后的e u l e r 方程( 偏微分方程) 的边界条件难以确定，并且由于求解使用的是迭代法，需要不断计算正问题，运算量极 大。t f c o l e m a n 和y l i 使用基于样条的最优化方法，用变尺度法求解非线性最小二乘问 题，但相对来说误差较大，缺乏理论上的稳定性证明及相应的误差结果( 参见 2 5 】) 。 i b o u c h o u e v 和v i s a k o v 利用泛函的t a y l o r 公式及f r e c h e t 微分将原问题线性化并转化成一 个非线性的f r e d h o l m 积分方程，由于舍去时间的高阶项，因此只对短期的波动率有效。 我国学者姜礼尚沿着d u p i r e 的思路，将期权定价反问题转化为一个最优控制问题，用迭 代法每次求解一组状态方程、共扼方程及变分不等式，工作量较大( 参见 2 6 】，【2 7 】) 。并 且最后两种方法仅仅是针对波动率是平稳过程，即盯= 仃( s ) 。 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第三章随机波动率下的期权定价反问题 m a v e l l a n e d a 和a l e v y 在1 9 9 5 年引入了随机波动率模型( s t o c h a s t i cv o l m i l i t y m o d e l ) 2 引。这是一个不完备市场下的期权定价模型，波动率是不确定的，也即是随机的， 其取值于一个区间。即考虑如下随机过程： 譬：( ，一g ) d r + q 田，g q 萨 o l 其中，q 是风险中性测度，邵是q 下的标准b r o w n 运动，和g 分别表示利率和红利。 波动率边界仃和万是可以预先确定的关于标的资产和时间的函数，特别地，两个边界都 是常数。 本章对上面的随机波动率模型做了进一步的推广，引入了波动率移动因子z 。假设 波动率仃是关于期权价格和移动因子的变量，即盯= 仃( s ，z ) 。而波动率移动因子自身变 化也满足随机微分方程，且具有相应的波动率。这样就使得欧式期权定价反问题模型变 得更加复杂和实用，接下来我们将探讨如何确定此时的随机波动率。 3 1 问题描述及模型的建立 考虑代数流空间集 ( q ，f ，q ) ，q o ( _ o - ，a - - ) ，此处o ( o 一- ，回定义了所有概率测度q 。 首先对金融市场做出如下基本假设： 1 ) 标的资产为股票，且股票价格墨是连续的，其变化遵循几何b r o w n 运动： 孕：( ，一g ) d r + 盯( s ，) 皿，( 3 - 1 ) q 其中，是利率，g 是红利，互是概率测度q 下的标准b r o w n 运动，波动率t l r 【_ o - ，司依 赖于股票价格s 和其移动因子z 。为了便于讨论，本文假设g 和厅都是常数； 2 ) 无风险利率，己知，且为一不随时间变化的常数； 3 ) 标的资产连续支付红利g ，且其为一已知不随时间变化的常数； 4 ) 不存在任何交易费和税收； 5 ) 市场不存在套利机会。 对于随机波动率模型( 3 - 1 ) ，其波动率盯是关于关于标的资产价格s 和移动因子z 的 函数，且z 的变化满足随机微分方程： d r , = y d t + k d b , ， ( 3 2 ) 1 3 第三章随机波动率下的期权定价反问题 其中，厂是漂移系数，k 为的z 的波动率，二者皆为常数。而尽是标准b r o w n 运动。 同时，我们给定b r o w n 运动z r 和e 之间的关系满足： 皿妲= p d t ， ( 3 3 ) 式中，p 为二者的关联系数，且为常数。 根据从市场上获得的信息，对于庸个交易的欧式期权所满足的条件为： e q p 啊g f ( ) = g ，i = 1 2 ，厨( 3 - 4 ) 此处，e q 【】为对应( 3 1 ) 的测度的期望，g f ( ) = ( 一k ) + 和c 分别表示第f 个期权在到 日期为z ，执行价格为墨下的收益和价值。 于是，( 3 1 ) ( 3 4 ) 便构成本文所要讨论的随机波动率下的欧式期权定价反问题，我 们的任务就是探讨随机波动率盯的求解方法。 3 1 1 相对熵 首先，我们给出相对熵( r e l a t i v ee n t r o p y ) 的定义。 定义3 1 t 2 9 给定概率测度q 。和q ，定义 慨= 严( 怒。卜 p 5 ， q”、 为相对熵，且具有如下性质： (