（机械设计及理论专业论文）少自由度串联机器人构型综合与奇异分析.pdf

中文摘要 摘要：少自由度串联机器人已经广泛应用于诸多的工程领域，相对于六自由 度串联机器人来说，它在结构、制造成本和控制等方面的优势和可行性都得到了 普遍的认同。但是其构型的设计过多的依赖于设计者的经验和直觉，没有可靠的 方法和科学的步骤来遵循。 本文主要研究少自由度串联机器人机构的型综合问题，旨在建立普遍适用的 型综合理论，并对得到的机构构型进行了奇异位形的分析。主要研究内容包括以 下几个方面： 首先，结合约束螺旋在空间不同几何条件下的相关性以及机构自由度运动的 要求，对螺旋系进行了重新分类，并通过螺旋理论的互逆原理获取了每种约束螺 旋系所约束掉的运动。在此基础上，对期望机构的自由度类型进行了分析。 出于对工程实际的考虑，在机构构型理论中引入了实际约束条件，以保证综 合得到机构构型都可以得到封闭形式的解。 然后，在螺旋分类的基础上，构建了普遍适用的少自由度串联机器人机构的 构型综合理论。 应用建立的构型综合理论，对五、四和三自由度串联机器人进行了构型的综 合，得到了五自由度串联机构共1 0 8 种，四自由度串联机构共8 4 种，三自由度串 联机构共2 5 种，系统的揭示了少自由度串联机构的结构特性。 最后，应用螺旋理论的方法构建了少自由度串联机器人的雅克比方阵，并在 此基础上求解了机构奇异位形存在的条件。针对机构的奇异位形，利用g r a s s m a n n 线几何原理分析了机器人关节轴线螺旋的线性相关性。 关键词：少自由度串联机构；构型综合；螺旋理论；g r a s s m a n n 线几何；奇异分析 分类号：t h l l 2 a bs t r a c t a b s l 。r a c t ： l o w d o f ( d e g r e eo ff r e e d o m ) s e r i a lr o b o th a sf o u n daw i d ea p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do f e n g i n e e r i n g c o m p a r e dw i t ht h e6 - d o fs e r i a lr o b o t ，i t sa d v a n t a g e so fs i m p l es t r u c t u r e ， l o wc o s ti nd e s i g na n dc o n t r o la n di t sf e a s i b i l i t yh a v ea l r e a d yb e e na c c e p t e d h o w e v e r , t h ed e s i g no fl o w d o fs e r i a lr o b o tc o n f i g u r a t i o nd e p e n d so nt h ed e s i g n e r s e x p e r i e n c e a n di n t u i t i o nt o om u c h ，w i t h o u tar e l i a b l em e t h o da n ds c i e n t i f i cp r o c e d u r e st of o l l o w t l l i sp a p e rf o c u s e so ns t r u c t u r a ls y n t h e s i so fl o w d o fs e r i a lr o b o tm e c h a n i s ma n d a i m st oe s t a b l i s hau n i v e r s a la n de f f e c t i v es t r u c t u r a ls y n t h e s i st h e o r y , a n dt h e na n a l y s i s t h es i n g u l a r i t yo fa c q u i r e dm e c h a n i s m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , b a s e do nt h el i n e a rd e p e n d e n c yo fc o n s t r a i n ts c r e w su n d e rd i f f e r e n t g e o m e t r i c a lc o n d i t i o n sa n dt h er e q u i r e dd o ft y p eo fm e c h a n i s m ，an e wc l a s s i f i c a t i o n o fc o n s t r a i n ts c r e ws y s t e mi sp r o p o s e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t r a i n e dm o t i o ni s o b t a i n e db yr e c i p r o c a lr e l a t i o n sb e t w e e nt w i s t sa n dw r e n c h e s f u r t h e r , t h ed o ft y p eo f a n t i c i p a n tm e c h a n i s m i sa n a l y z e d s o m ep r a c t i c a lc o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e di n t ot h es t r u c t u r a ls y n t h e s i s t h e o r yo u to ft h ee n g i n e e r i n gc o n s i d e r a t i o n , i no r d e rt oa s s u r et h a te a c hs y n t h e t i c a l m e c h a n i s mc a nb es o l v e di nc l o s e d f o r m t h e n ，b a s e do nt h ec l a s s i f i c a t i o no fc o n s t r a i n ts c r e ws y s t e m ，t h eu n i v e r s a la n d e f f e c t i v es t r u c t u r a ls y n t h e s i st h e o r yo fl o w - d o fs e r i a lr o b o tm e c h a n i s mi se s t a b l i s h e d t h es t r u c t u r a ls y n t h e s i so f5 - d o f , 4 - d o fa n d3 - d o fs e r i a lr o b o ti sp e r f o r m e du s i n g s t r u c t u r a ls y n t h e s i st h e o r y 10 8k i n d so f5 - d o f , 8 4k i n d so f4 - d o fa n d2 5k i n d so f 3 d o fs e r i a lr o b o tm e c h a n i s m sa r eo b t a i n e d a n dt h es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so f l o w - d o fs e r i a lr o b o tm e c h a n i s m sa r er e v e a l e ds y s t e m a t i c a l l y a tl a s t ，t h es q u a r ej a c o b i a nm a t r i xo fl o w - d o fs e r i a lr o b o ti se s t a b l i s h e du s i n gs c r e w t h e o r y , a n dt h ec o n d i t i o no fe x i s t i n gs i n g u l a r i t yi ss o l v e do nt h i sb a s i s u n d e rs u c h s i n g u l a r i t y , t h el i n e a rd e p e n d e n c yo fj o i n ts c r e w si sa n a l y z e du s i n gg r a s s m a n nl i n e g e o m e t r ym e t h o d k e y w o r d s ：l o w d o fs e r i a lr o b o t ；s t r u c t r a ls y n t h e s i s ；s c r e wt h e o r y ；g r a s s m a n n l i n eg e o m e t r y ；s i n g u l a r i t ya n a l y s i s c l a s s n o ：t h l l2 v n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：忉敝 签字p t 期：瑚8 年9 6 月0 7p l 新虢k l - 7 荔汐，、，怍 导师签名： 、，j 易 ，、， 。 签字同期：汐矿年6 月。同 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位做储躲擎签- 7 吼w 譬年0 6 月07 日学位论文作者签名：) o 曲 签 日期：w 譬年月7 日 1 0 1 致谢 本论文的工作是在我的导师方跃法教授的悉心指导下完成的，方老师渊博的 知识、严谨而自由的科研作风和积极的人生态度深深感染了我。每一次交谈，每 一次偶遇都使我深深感受到了这一点。在整个硕士研究生学习和生活期间，方老 师给予我的不仅是谆谆教导，而更多的是一种思想上的自由与引导，每每使我产 生“仰之弥高，钻之弥坚”之感，这期间取得的每一个进步都包含了方老师的心 血，在此衷心感谢两年来方老师对我的关心和指导。 在实验室的学习和生活中，郭盛老师给予了我很多的关心和帮助，并对于我 的论文研究工作提出了许多的宝贵意见，在此向郭盛老师表示衷心的感谢。 房海蓉老师对于我的论文研究工作提出了许多的宝贵意见，在此向房海蓉老 师表示诚挚的感谢。 在实验室进行论文的研究与学习期间，得到了韩书葵、槐创锋、张克涛、曾 强、王乃碉、侯扬毅、石磊和刘旭等同学的大力支持和无私帮助，他们不仅对我 论文中的研究工作给予了热情帮助，还为我提供了良好的学习环境，在此向他们 表达我最真挚的感激之情。 另外也感谢我的父母和家人，感谢我的朋友们，他们的理解、支持和鼓励使 我能够在学校专心完成学业。 最后衷心感谢在百忙中评阅本论文的各位专家。 1 绪论 1 1 背景 自由度少于六的串联机器人被称为少自由度串联机器人。此处定义自由度，l 为 机器人末端操作器在参考坐标系中的独立运动个数。在空间运动中，末端操作器 的独立运动最多有6 个，包括沿三个坐标轴方向的平移和绕三个坐标轴的转动【l 】。 少自由度串联机器人不能进行完全的空间位置定位和姿态调整，但是在某些特定 的工作要求情况下，诸如装配、焊接、喷涂、隧道作业等，少自由度已经能够满 足工作要求，并且相对于六自由度甚至具有冗余自由度的机器人来说，少自由度 串联机器人在构型设计和控制方面更具优势。现有的串联机器人在很大程度上模 拟人的手臂，通常设计成六自由度，其中前三个关节决定末端操作器的位置，后 三关节调节末端操作器的姿态。而在需要少自由度机器人工作的地方，也只是利 用程序来控制6 - d o f 的机器人，甚至是控制过约束的6 - d o f 机器人来完成工作， 这不可避免地就造成了自由度的浪费和增加了控制的难度。即使存在少自由度的 情况，也只是在原来6 d o f 的基础上，直接去掉某个关节来减少不需要的自由度， 如减少腕部回转或者旋转，这本身也许能够满足一定的工作要求，但却不一定是 最优选择。 尽管少自由度串联机器人已经广泛应用于诸多的工程领域，其优点和可行性 也得到了认同，但是其构型的设计过多的依赖于设计者的经验和直觉，在设计过 程中没有可靠的方法和科学的步骤来遵循，这导致现有串联机器人在构型本质上 是没有多大变化的，变化的是关节位置和构件尺寸参数，以及由各种变化而限定 的关节最大动作范围和关节速度变化范围。而直观有效的少自由度串联机器人构 型综合方法以及结合实际工况的性能评价体系却并未完全建立。 对于少自由度并联机器人的设计分析，也要首先针对其某一串联支链进行分 析，少自由度串联支链是少自由度并联机器人机构型综合的基础。根据各串联支 链对动平台提供的约束类型，利用螺旋理论可以求解出各串联支链的基础运动螺 旋系，然后对基础运动螺旋系进行线性组合，就可以得到任何的运动副螺旋系， 进而得到串联支链的结构形式【2 , 3 , 4 】。串联操作手是所有机器人机械系统中最简单的 机器人的组成方式，可以将它作为更复杂的机器人机械系统的组件【5 j 。 针对综合出的一系列机构，怎样根据实际的工作要求制定评价指标，优选出 一种甚至是几种满足要求的机构，则是紧接着的另一个问趔1 7 】。而现有的机器人 构型的性能评价多存在着弊端，或者使用不合理的性能指标搭配为依据，造成机 器人构型不能很好的满足工作要求，或者盲目的追求评价指标的全局最优化。 1 2 理论现状 1 2 1机构构型现状 目前，对于少自由串联机器人的综合，主要集中在了对于给定运动副组合形 式的尺度综合上。m c c a r t h y l 6 , 7 】对末端操作器满足一系列工作位置要求或指定轨迹 的串联机器人进行了综合，并把倍四元数的概念用于机器人的尺度综合中，开发 了计算机辅助设计软件s y n t h e t i c a 。a l b ap e r e z 8 , 9 , l o 分别建立了位置和姿态的 四元数设计方程，证明了四元数设计方程在受约束串联机器人综合中的可用性。 l e e ，e r i c t l l , 1 2 幂l j 用数值的方法对3 r 和p r r 机构进行了尺度综合。 而对于少自由度串联机器人的构型综合则少有人做。除了经验的方法，目前， 杨廷力f 1 3 】等根据运动输出特征方程和不同尺度类型的串联机构的输出特性，进行 了串联机构的拓扑结构综合；再者便是一大批学者在进行并联机器人设计时，按 照串联支链对动平台提供的约束类型( 纯力、力偶和力螺旋) 对串联支链的结构 类型进行了综合【2 ，3 4 2 8 1 ，称之为螺旋理论支链法。在制造业等结构化环境工作情况 下，使用少自由度机器人来完成工作已经成为趋势，但少自由度串联机器人构型 的设计理论化、系统化则成为一个容易被忽视却急待解决的问题。 由于串联机器人的机构构型是有限的，它不像并联机器人那样具有各种可能 的闭环结构【1 1 ，加之串联机器人在刚度、误差积累、位置求解等方面的劣势，所以 少有人对串联机器人的新构型进行研究，对少自由度串联机器人的研究则更少。 而现有的串联机器人机械结构和控制功能都大同小异，并且趋于技术的稳定成熟， 这在当前串联机器人的发展方向上主要体现在新型机器人的推出以及机器人应用 技术的丰富和发展l l 引。 ( 1 ) 基于经验的构型设计 传统的串联机器人构型设计多是根据给定的运动学特性、工作对象、作业环 境和场地，然后结合已有的串联机器人构型，通过不断的尝试和改进，进行设计。 这同样设计出了许多优秀的机型，诸如p u m a 机器人、s c a r a 机器人等。 p u m a 机器人属于关节式机器人，它的结构很明显的符合手臂和手腕组合的 形式，即应用手臂进行末端操作器的定位，而用手腕进行姿态调整，如图1 1 所示。 这种结构组合形式的机器人具有动作灵活、结构紧凑、工作空间大并且对工作条 件要求较低等优点。基于此，这种构型的机器人得到了广泛的应用，并衍生出许 2 多这一组合类型的机器人。 末端操作 图1 - 1p u m a 机器人 图1 2s c a r a 机器人 f i g 1 1 p u m a r o b o t f i g 1 - 2 s c a r a r o b o t s c a r a 机器人则是典型的平面关节型机器人，它由3 个轴线相互平行的转动 关节和1 个移动关节组成，如图1 2 所示。末端操作器的位置由两个旋转关节的角 位移仍和仍，以及移动关节的位移z 确定。由于它的机构轻便、响应快，这类机 器人在动作相对简单，而又需要有高产量的作业环境中( 主要是那些点对点的运 动) ，比如分配、装载、包装以及装配和码跺等，得到了广泛的应用，它同样衍生 出许多的构型【2 。 图卜3 点焊机器人图1 _ 4 凿岩机器人机械臂 f i g 1 3s p o tw e l d i n gr o b o tf i g 1 - 4 m e c h a n i c a la r mo fr o c kd r i l lr o b o t 针对串联机器人本身存在的一些固有的弱点( 相对于并联机器人) ，诸如刚度 差、整机系统的惯性大等，人们利用经验对整机构型的某一方面的特性进行了改 进。例如，对于末端操作器负重较大的一类机器人重型点焊机器人、凿岩机 器人机械臂等，在构型设计中加入了连接机架的闭环结构以提高串联机器人的载 重量，如图1 3 所示。 而对于机械臂较长的一类凿岩机器人钻臂【l5 1 ，如图1 4 所示，利用一对支臂 缸和一对俯仰缸组成的部分作为双三角的定位机构，并实现跨关节驱动以提高机 构刚度并进行末端操作器定位。 经验的方法在串联机器人的构型设计中依然占有主要的地位，各种关节的组 合配置也多是依据以往的经验和不断的实验对比来进行选择。虽然也设计出了比 较成功的构型，但其后续的产品设计多以此为原型，大多没有脱离传统串联机器 人设计的思路，即利用臂部进行末端操器的定位，利用腕部进行姿态的调整，造 成构型上的单调和局部重复。目前各种不同的结构环境对机器人的构型设计提出 了新的要求，缺乏系统的理论指导的经验方法已经不能完全的满足这种需求。 ( 2 ) 基于拓扑结构的综合 基于拓扑结构的综合首先需要根据工作的要求选定串联机器人的运动输出特 征矩阵，根据运动副类型和数目等约束条件确定运动副的多种组合方案，然后根 据机构对运动副约束的类型( 重合、平行、共点、共面( 含平行于同一平面) 与 垂直及其组合) 来确定运动副轴线方位的配置类型。 根据运动输出特征方程检验得到的所有串联机构是否满足选定的运动输出特 征矩阵，删除不满足的，然后绘制机构简图即可。 ( 3 ) 螺旋理论支链法 由于多自由度复合运动副可以用多个单自由度的运动副来表示，不失一般性， 假设串联机器人的关节皆由转动副和移动副组成，即机器人的所有运动副都可以 表示为一简单的螺旋。当机构中所有运动副都表示为螺旋时，少自由度串联机器 人末端操作器的运动就是诸螺旋的线性组合，也就是组成了一个秩为甩( 咒 6 ) 的螺 旋系。 运动螺旋的反螺旋是结构螺旋，表示物体在三维空间受到的约刺4 1 。如果存在 一个确定的秩等于咒( ” 6 ) 的运动螺旋系$ ，则必定存在另外一个秩等于6 一n ，且 允许这样的运动存在的反螺旋系$ ，使 $ o $ = 0 ( 1 - 1 ) 成立，其中“o 表示螺旋的互易积。 利用式( 1 1 ) ，在确定了少自由度机器人的运动设计目标后，即知道了它的约 束反力螺旋的表达形式，就可以很容易的求出其相对应的运动链的螺旋分布形式。 然后，保证机构可以在任何瞬时都满足这样的条件，就得到了要求综合出的机构 新机型。 ( 4 ) 比较现有的构型方法 对于一种具有普遍意义的机构构型设计方法，它应该由科学的机构综合步骤、 准确的数学表达方式和标准的机构表达概念组成【嗡】。目前，对于少自由度串联机 器人构型综合的方法，主要包括上述的几种：经验法、串联机构拓扑结构综合、 螺旋理论支链法。 经验的方法在串联机器人的构型综合中依然占有主要的地位，各种关节的组 合配置也多是依据以往的经验和不断的实验对比来进行选择。虽然也设计出了比 4 较成功的构型，但其后续的产品设计多以此为原型，大多没有脱离传统串联机器 人设计的思路，造成构型上的单调和局部重复。目前各种不同的结构化环境对机 器人的构型设计提出了新的要求，缺乏系统的理论指导的经验方法已经不能完全 的满足这种需求。 机构的拓扑结构方法在机构的表达和运动副的空间描述上采用了一种全新 的，介于直观和抽象之间的表达方式，把组成机构的运动副的空间拓扑关系利用 一系列符号来确定。但是，在根据机构对运动副的约束类型来确定运动副轴线配 置时，同样过多的依赖于设计者的经验和空间几何的知识。 螺旋理论的运算属于矢量之间的运算，在进行少自由度串联机构构型综合时， 各种运动副均以螺旋的形式表示。首先需要针对工作的实际情况需求确定末端操 作器的运动螺旋，然后利用互易积公式( 1 1 ) 并借助于中间量( 即约束螺旋) 作为分 析和运算的手段求解少自由度串联机器人构型的运动螺旋系。 存在的问题是1 4 】，在机器人的实际工作中，末端操作器所受到的约束的螺旋形 式并不能直接的得出，包括轴线位置和节距，而是给出末端操作器上某点的瞬时 速度矢量以及它的角速度矢量。这便需要根据给定末端操作器上点的速度及角速 度求解出瞬时运动螺旋。 在上述的综合方法中，只有螺旋理论的方法利用矢量的表述，对机构的表达 和运动副的空间描述具有较严格的数学表达形式，具有全局的设计思路。但严重 依赖设计者的空间几何知识，才能保证机构综合的准确性。考虑g r a s s m a n n 线几 何在机构空间表达上的直观性，以及将线几何应用于机构学上的成果【4 刀l ，可以预 测将螺旋理论和线几何的结合用于机构的综合中将会得出一套具有科学的机构综 合步骤、准确的数学表达方式和标准的机构表达概念的少自由度串联机器人综合 方法。 1 2 2 性能评价现状 对于机器人机构的性能评价，许多的学者提出了各种性能指标去尝试量化描 述机器人机构的运动学和动力学性能。目前这方面的研究分为三类：基于雅克比 矩阵的研究、基于h e s s i a n 矩阵的研究和基于刚度矩阵的研列2 6 1 。 现有的评价指标多为基于机器人位形的j a c o b i a n 矩阵的研究，所述指标表明 机器人在某一个具体位形下机器人的控制准确度的信剧1 8 , 2 6 。s a l i s b u r y 和c r a i g 1 9 】 定义了j a c o b i a n 矩阵的条件数，y a n g 和l a i l 2 u j 定义了机器人条件数概念。a n g e l e s 和r o j a s t 2 l 】将条件数等应用在求机器人动力学性能方面。基于雅可比矩阵条件数， a n g e l e s 又和l o p e z c a j u n t 2 2 】定义了串联机器人的“灵巧度指标 。g o s s e l i n 2 3 】在对 5 机器人操作器的运动最优化设计，定义了一个全局性能指标。k i r c a n s k i 2 4 利用 g o s s e l i n 定义的全局条件数指标研究了平面二自由度串联机器人的各向同性性能 及其机构设计。s e r d a rk u c u k 和z a f e rb i n g u l l 3 0 1 利用工作空间变量的可操作性指标 和条件数进行了机器人的优化设计。而基于h e s s i a n 矩阵的研究，郭希娟【2 5 】首次将 h e s s i a n 矩阵引入并联机器人机构的性能指标中，提出基于一阶、二阶影响系数矩 阵的速度、加速度全域性能指标。接着，许亚靖【2 l j 利用影响系数法对串联机器人 动力学性能进行了分析。 在这些性能评价指标中机构的奇异位形分析是机器人机构的一个重要的运动 学特性，它是指在机器人的工作空间中，末端操作器不能沿任意方向的微小移动 或转动时相应机构的位形【67 1 。在奇异位形点及其附近，机构的运动学、动力学性 能会发生瞬时突变，使得机构的传递运动和动力的性能失常。因此，在进行机器 人构型选择时，应首先对所选机器人机构的奇异位形进行分析。 对于一般的六自由度串联机器人，已经有众多的学者利用雅克比矩阵对奇异 位形进行了研究，即是令雅克比矩阵的行列式等于零，从而求解出机器人机构在 奇异位形时对应的关节角度值。 然而，当机器人的自由度少于六或者机构的位形特别复杂时，这种方法就失 效了。为此，引进一种新的分析方法q a s s m a n n 线几何方法。在机构运动学的 研究中，g r a s s m a n n 线几何原理是一种十分有用的数学工具。众多的学者都对线几 何原理做了一系列的应用与研究。m e r l e t ( 1 9 8 9 ) t 2 9 j 应用线几何原理发现了一批 s t e w a r t 机构的奇异位形；c o r r a d oz a n e l l a b ( 1 9 9 7 ) 6 2 j 进一步研究了g r a s s m a n n 线几 何的几何性质，就一类线簇展开研究，更加准确的阐述了g r a s s m a n n 线几何原理。 胡准庆等( 2 0 0 3 ) 【6 3 肼】将线几何原理用于分析机器人机构的雅克比矩阵，并求解出机 构的奇异位形。w o l f 和s h o h a m ( 2 0 0 3 ) t 6 5 】运用线几何和螺旋理论描述了给定的并联 机构的构型，并分析了机构在奇异位形处或者接近奇异位形时的瞬时特性。m b a r e k 和l o n i j ( 2 0 0 7 ) t 6 6 】等分析了五自由度并联机器人的奇异位形，并用线几何原理分析 了某些不能完全用数学表达的奇异位形。 1 3 课题的提出及研究目标 少自由度串联机器人已经得到了广泛的应用，但是实际应用中串联机器人的 构型综合却依然停留在借助经验进行设计，然后不断试验、改进的层面上。虽然 也形成了某些可行的方案，却一直没有形成普遍有效的构型综合理论。随着结构 化环境工作情况对少自由度机器人需求的加大，当前串联机器人的发展方向主要 体现在新型机器人的推出以及机器人应用技术的丰富和发展。少自由度串联机器 6 人构型综合的理论化、系统化紧接着成为一个容易被忽视却急待解决的问题。 在此基础之上，本论文得到国家自然科学基金的资助( n o 5 0 6 7 5 0 1 6 ) ，力图解 决少自由度串联机器人构型综合这一问题，为串联机器人的构型设计提供依据。 本文的研究目标主要包括以下两个方面： l 、针对少自由度串联机器人构型综合理论没有系统化这一现状，结合螺旋理 论和g r a s s m a n n 线几何原理，提出系统的少自由度串联机器人构型综合理论。 2 、在此基础上，进行机器人的奇异位形分析，为最终建立少自由度串联机器 人构型优选的评价体系做了基础性工作。 1 4 论文结构及研究内容 综上所述，本论文课题拟在少自由度串联机器人设计理论和构型评价、优选 方面展开研究工作，以期能够按照工作的实际要求，设计出能实现所要求运动功 能的所有少自由度串联机器人机构构型，并对少自由度串联机器人机构进行性能 评价。这对于设计性能优良的少自由度串联机器人具有十分重要的意义，对少自 由度串联机器人的产业化具有深远的影响。选题对机构学和机器人学都具有重要 的学术和应用意义。 本文具体内容如下： 第一章讨论了少自由度串联机器人构型以及性能评价的现状与趋势，分析了 在机构构型和性能评价方面的一些急需研究和解决的理论问题，并阐述了论文的 意义和拟达到的目标。简述了本文的研究内容。 第二章介绍了理论分析所用到的数学工具：螺旋理论和g r a s s m a n n 线几何原 理。本文在讨论了螺旋理论的基本知识之后，结合螺旋相关性的几何条件以及机 构自由度运动的要求，对约束螺旋系进行了重新分类，共三大类1 5 小类。本章的 研究内容是后续各章的理论基础。 第三章根据机器人构型的要求，本文提出了系统的少自由度串联机器人构型 综合理论，并给出构型综合的具体步骤和数学表达。在此基础上，然后，利用 g r a s s m a n n 线几何原理并结合机构雅克比方阵的建立，给出了机构构型奇异性分析 的理论体系。本章在第二章的基础上展开，是本论文的重点章节。 第四章考虑五自由度串联机器人的不同类型：3 r 2 t 串联机构和2 r 3 t 串联机 构，分别进行了机构的构型综合。 第五章考虑四自由度串联机器人的不同类型：3 r 1 t 串联机构、1 r 3 t 串联机 构和2 r 2 t 串联机构，分别进行了机构的构型综合。 第六章考虑三自由度串联机器人的不同类型：3 r 串联机构、2 r 1 t 串联机构、 7 1 r 2 t 串联机构和3 t 串联机构，分别进行了机构的构型综合。 第七章选取四和五自由度串联机器人的典型机构，对它们进了机构奇异位形 的分析。 第八章对论文研究内容进行总结和展望，给出全文的结论。 本论文的结构如图1 5 所示。 图1 5 论文结构 f i g 1 5 t h e s i ss t r u c t u r e 8 2 螺旋理论与线几何研究 2 1 引言 本课题中构型综合部分的理论基础是螺旋理论。螺旋理论是一种机构空间分 析的有效的数学工具。一个螺旋可以表示空间中的一组对偶矢量，从而可以用来 同时表示矢量的方向和位置，同时表示运动学中的角速度和线速度，以及同时表 示刚体力学中的力和力矩【4 】。因此，在分析复杂的空间机构时，运用螺旋理论可以 把问题的描述和解决变得十分简洁统一，而且易于和其他方法如矢量法、矩阵法、 影响系数法等相互转换。 在螺旋理论分析的基础上，接下来应用g r a s s m a n n 线几何原理来进行机构构 型的奇异分析。在机构运动学研究中，g r a s s m a n n 线几何是一个十分有用的数学工 具。该方法是研究空间螺旋线性相关性的系统理论，对于雅可比矩阵比较复杂、 难以用解析方法计算其行列式的机器人结构分析非常有效。 为了使后续章节的内容易于理解，本章对后续章节使用的螺旋理论和线几何 原理及其应用做了进一步的分析与研究，而与本课题无关的理论部分不再进行阐 述。 2 2 螺旋理论 螺旋理论形成于1 9 世纪。1 9 0 0 年r s b a l l 完成了其经典著作螺旋理论， 书中用螺旋讨论了在复合约束下刚体的运动学和动力学。但在整个2 0 世纪上半叶， 螺旋理论几乎无人问津。1 9 5 0 年，f m d i m e n t b e r g 在分析空间机构时首次应用了 螺旋理论，引起人们的关注。接着，f r e u d e n s t e i n 、y a n g 以及p h i l l i p s 等在相关方 面做了研刭4 1 。1 9 7 8 年k h h u n t 的运动几何学标志着螺旋理论的现代发展。 随后，w a l d r o n 5 1 , 5 2 , 5 3 】、s u g i m o t o 4 5 1 、m a r t i n e z 和d u f f y 4 8 ，4 9 1 、t s a i 和k 【5 0 1 ，x i a n w e n k o n g 和g o s s e n l i n 3 1 1 、黄真【4 1 、方跃法【2 ，2 8 4 3 1 ，j s d a i 4 6 , 4 7 1 等都在螺旋理论及应用 上做出了贡献。 螺旋理论的研究已经广泛的展开，并迅速的发展。尤其是它在并联机构构型 综合与分析方面表现出的简洁与有效性【2 8 , 3 2 ，3 3 1 ，使得螺旋理论在机构学方面得到了 足够的重视。但由于螺旋理论本身的限制，用它对刚体运动与约束的表示均为瞬 时的，所以对得到的机构需进行瞬时性判别。这同样也对螺旋理论的进一步的研 究与应用提出了更高的要求。 9 2 2 1基本概念 ( 1 ) 螺旋 b a l l 将螺旋应用在运动学和动力学上的几何特性描述为：“一个具有固定节距 的空间矢量”，用对偶矢量的形式可以表示为3 1 】： $ = r j 1 i ih 0 0 l r x s + h s j h 0 0 ( 2 1 ) 上式中s 为沿着螺旋$ 轴线方向的单位矢量，厂为由基础坐标系o - x y z 原点 至螺旋轴线上任意一点的矢量，矗为螺旋的节距，螺旋表示如图2 1 。 图2 - 1 螺旋表不 f i g 2 - 1 as c r e w 由上述分析可知，一个螺旋包括四个因素：螺旋的轴线位置、螺旋的节距以 及螺旋的方向和大小。螺旋可以表示任一刚体在空间的瞬时运动，描述刚体的速 度和加速度，称之为运动螺旋( t w i s t ) ：螺旋还可以表示任一刚体受到的力和力偶， 这种组合表示称为力螺旋( w r e n c h ) 。 1 ) 当h = 0 时，式( 2 - 1 ) 简化为：$ 。= p ；r x s t 此时旋量表示转动副螺旋或者纯力，其中s 为转动副螺旋的轴线或者纯力的作 用线方向，为转动副螺旋的轴线或者纯力的作用线方向上任意点的位置矢量。 若要用螺旋来描述刚体在三维空间的旋转运动，则需要采用角速度线矢量来 表示，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢$ = 0 ；s o ) 之积： c o s = c o ( s ；s o ) = ( c o ；v o )( 2 2 ) 式中，缈是刚体的角速度矢量，匕是刚体上与坐标原点重合点的线速度。当坐标 系原点与转轴重合时，v o = 0 ，转动线矢的p l i i c k e r 坐标为( 缈；0 ) 。 若要用螺旋来描述作用在刚体上的纯力，则需要采用力线矢来表示，即力的 大小与一个表示力作用线的单位线矢$ = 0 ；晶) 之积。 l o 厂$ = f ( s ；s o ) = ( 厂；c o ) ( 2 3 ) 式中，厂是刚体上的作用力，c 0 是力对原点之矩。当力过原点时，力对原 点之矩为零，c o = 0 ，此时表示力的p l i i c k e r 坐标为( f ；0 ) 。 2 ) 当h = 时，式( 2 一1 ) 简化为$ 。- o ；s r 此时旋量表示移动副螺旋或者纯力偶，其中s 为移动副导路方向或者力偶的作 用线方向。 若要用螺旋来描述刚体在三维空间的瞬时移动，则需要进行一定的等效变换。 可以把刚体沿s 方向的移动看成是一个瞬时转动，此转动轴线与j 正交，并且位于 距s 无限远的平面内，此转轴的p l f i c k e r 坐标为( 0 ；s ) ，则绕此转轴的瞬时转动运 动就可以表示成： $ = v ( o ；j ) = ( o ；v )( 2 - 4 ) 若要用螺旋来描述作用在刚体上的力偶，则需要用力偶矢来表示。若力偶矢 量是一c ，s 是力偶平面的法线单位矢量，可以认为【4 1 力偶矢是一个作用在刚体上的 “无限小的力”引起对原点的矩，该力作用线与s 正交，位于无限远的平面上，该 力的p l i i c k e r 坐标为( 0 ；s ) 。于是力偶矢可以表示为： c $ = c ( o ；s ) = ( o ；c )( 2 5 ) 表2 1 列出了上述各个物理量的比较，以及所对应的运动学和静力学的物理意 义。 表2 1 各物理量比较 螺旋类型 节距运动学静力学 ( s ；，s + h s ) ( s ；，s + h s ) 旋量 h 0 运动螺旋( 缈；，c o + h r o ) 力螺旋( f ；r x f + h f ) 线矢量 h = 0 角速度线矢( 缈；厂国) 力线矢( f ；，- f ) 自由矢量 h = 。o 移动速度( 0 ；y )力偶矢( 0 ；c ) ( 2 ) 反螺旋与反螺旋系 定义一：若存在两个螺旋$ 和$ f ，满足下述条件 $ o $ r = 0 ( 2 - 6 ) 则称这两个螺旋$ 和$ 互为反螺旋，式中“o 表示两个螺旋的互易积运算符。 若将螺旋以p l i i c k e r 坐标表示 筑= ( 厶m ，以；曰q 尽) $ r = ( rm 7n ；p 。q r ) 式( 2 - 6 ) 就可以表示为： 厶p r + m q 7 + m r + 曰f + q m + r 。= 0i = 1 ，2 ，刀 ( 2 7 ) 运动螺旋的反螺旋是结构螺旋，表示了物体在三维空间受到的约束 4 1 。对于互 为反螺旋的螺旋【3 l j 具有如下结论： ( 1 ) 两个节距为无穷大的螺旋总是互为反螺旋； ( 2 ) 当节距为零的螺旋的轴线和节距为无穷大的螺旋的轴线相互垂直时，则 这两个螺旋互为反螺旋； ( 3 ) 两个节距为零的螺旋的轴线共面的充要条件是它们的互易积为零。 若将互为反螺旋的螺旋以空间几何的形式表示，如图2 - 2 所示。 图2 - 2 互为反螺旋的空间关系 f i g 2 - 2r e c i p r o c a ls c r e w s 定义二：若一组螺旋对于加法和数乘闭合，则称之为螺旋系【4 1 。同样可以定义作用 于刚体上的所有约束螺旋，若对于加法和数乘闭合，则称之为约束螺旋系。 容易看出，螺旋系和反螺旋系的螺旋元素一起构成运动空间的6 个基。在知 道了刀个空间线性独立的运动螺旋之后，就可以利用式( 2 6 ) 求得6 一咒个约束螺旋， 反之亦然。这种螺旋系与其反螺旋系的数学表达为： t = ( t 。) ( 2 8 ) 式中丁表示运动螺旋系，r 表示运动螺旋系的反螺旋系，( ) 7 对螺旋系求反螺 旋系。 当给定一个秩为万( n 6 ) 的螺旋系丁时，就必然存在另外一个秩为6 一n 的反螺 旋系t 7 。例如单螺旋的反螺旋系有5 个螺旋，双螺旋的反螺旋系有4 个螺旋，3 螺旋的反螺旋系有3 个螺旋等。对于秩为3 的螺旋系和反螺旋系的空间几何表示 如图2 - 3 所示。 1 2 ( a ) 节距为零的螺旋三系的反螺旋系 ( a ) r e c i p r o c a ls c r e ws y s t e mo f $ 0 2 t i l e3 - $ o s y s t e mt h e3 $ 。- s y s t e m 图2 3 互为反螺旋系的表示 f i g 2 - 3r e c i p r o c a l8 c i o ws y s t e m s 对于螺旋与反螺旋的计算，s u g i m o t o t 4 5 】应用g r a m s c h m i d t 的方法进行了求解， 黄真【4 1 ，j s d a i 4 6 ，4 7 1 等都做出了重要的贡献。 2 2 2螺旋的线性相关性 当给定一组螺旋$ ，= ( s i ；譬) ，i = l ，2 ，n 时，如果存在一组不全为零的数q ， 使得： q $ f2 0 i = l ，2 ，” 按螺旋的加法规则，有： 盐 t o r s i = o 和c o i s ：) = o ( 2 - 9 ) 当n 个螺旋满足式( 2 9 ) 时，则称这n 个螺旋是线性相关的，否则称线性无关。 存在的一个定理【4 】：螺旋的相关性与坐标系的选择无关。 上述定理对后续问题的分析带来了许多方便。考虑到螺旋系的线性相关性与 坐标系的选择无关，我们可以在分析螺旋相关性时，选取最方便的坐标系，从而 可以最大程度地将螺旋的表达式简化。 3 = 厶m 。1日q lr 厶鸩2 昱q 2r l n m nn n 只q nr 。 考虑螺旋的p l i i c k e r 坐标有6 个分量( ，m ，n ；p ，q ，r ) ，且本论文讨论的机构为 少自由度，所以三维空间中线性无关的螺旋最多为5 个。螺旋系的相关性，就可 以由螺旋系的p l i i c k e r 坐标表示的j a c o b i a n 矩阵的秩来分析，即找出螺旋系的最大 1 3 线性无关组，如上式，所示。 线矢量是螺旋的特例，当组成螺旋的两个对偶矢量的点积为零时，皿o = 0 ， 螺旋就退化为线矢量。表2 2 给出了线矢量和旋量在不同几何空间下的最大线性无 关数【4 1 ，表中带( ) 号者表示在该几何空间下的线性组合可能超出该空间，表中的 螺旋具有不同的节距。 表2 2 线矢量与旋量在不同几何空间下的最大线性无关数 序号 几何特点图示线矢量螺旋 1 共轴条件 12 2共面平行 7 23 3 平面汇交 2 ( 4 ) 4 空间平行 锄 34 5 共面 j - - j 3 ( 5 ) x少 6 空间共点 1l 3 ( 6 ) 汇交点在两面交线上的两 v ( 3 )7 平面汇交线束 仍 共面共点，汇交点在平面 8 二“求 ( 4 ) 上 ( a ) 有一条公共交线，且交 角为直角 44 ( b ) 有一条公共交线，且交 4 ( 5 ) 9 角一定 5 ( 6 ) ( c ) 有一条公共交线 4 ( d ) 有两条公共交线 3 - ( e ) 有三条公共交线 1 0 平行平面且无公共垂线 55 11 无公共交线，空问交错 55 1 4 2 2 3约束螺旋系的分类 运动螺旋的反螺旋是结构螺旋，表示了物体在三维空间受到的约束【4 】。对于一 个秩为，l 的约束螺旋系来说，它包含了n 个线性无关的约束螺旋。一个秩为，z 的约 束螺旋系也称为n