（基础数学专业论文）范畴nat（n）及其半伴随上的自然变换.pdf

范畴n a t ( n ) 及其半伴随上的自然变换 摘要 本文的工作分为三部分第一部分是通过自然变换 n ：f 斗g ：a b 建立了自然变换范畴n a t ( n ) ，然后从范畴角 度讨论了自然变换的性质首先得到了f ，g 为加法范畴间加法 函子时，n a t ( n ) 也是加法范畴其次，讨论了自然变换函子 的性质，得到了，g 和自然变换函子在可加性和忠实性 上的关系，最后，当f ，g 为a b e l 范畴间忠实加法函子时，证明 了自然变换范畴a r ( ，1 ) 是a b e l 范畴 第二部分研究了半函子的性质首先引入了扩张的概念， 利用态射集间的关系来刻划半函子与函子之间的转化其次， 定义了半函子间正则自然变换，进一步得到半函子间正则自然 变换与函子间自然变换的等价关系 第三部分主要讨论了半伴随上的自然变换先讨论了半伴 随基本性质，引入了函子左( 右) 正则的概念，从而得到了半伴 随的两个等价命题在此基础上又推广了自然变换函子，从而 得到半伴随上自然变换同构的等价判别条件： 关键词 自然变换，自然变换函予，半函子，半伴随，正则自然变换 c a t e g o r yn a t ( n ) a n dn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o no n s e m i - a d j o 玳t s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t , t h en a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n c a t e g o r y n a t ( n ) i sc o n s t r u c t e dv i aan a t u r a lt r a n s f o r m a t i o nn ：f 争g ：a ba n dt h e n t h ep r o p e r t i e so fn a t u r a lt r a n s - f o r m a t i o n sa r ed i s c u s s e di nac a t e g o r i c a lv i e w p o i n t f i r s t 。i ti ss h o w nt h a t w h e nf ，ga l ea d d i t i v ef u n c t o r sb e t w e e na d d i t i v ec a t e g o r y , n a t ( n ) i s a l s oa na d d i t i v ec a t e g o r y s e c o n d ，t h er e l a t i o n so n a d d i t i v i t ya n df a i t h f u l h e s sb e t w e e nf 。ga n dt h en a t u r a lt r a n s f o r m a t i o nf u n c t o ra l eo b t a i n e d b yd i s c u s s i n gt h ep r o p e r t i e so f n a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n f u n c t o r s f i n a l l y ，i t i s p r o v e d t h a ti ：f ，ga r ef a i t h f u la d d i t i v ef u n c t o r sb e t w e e na b e l i a n c a t e g o r i e s 。t h e nn a t ( n ) i sa l s o 铋a b e l i a nc a t e g o r y i nt h es e c o n dp a r t ，t h ep r o p e r t i e so fs e m i f u n c t o r sa r ec o n s i d e r e d f i r s t , t h ee x t e n s i o no fs e m i - f u n c t o r si si n t r o d u c e da n dt h e nt h et r a i l s f o r m a t i o nb e t w e e ns e m i - f u n c t o ra n df u n c t o ri sc h a r a c t e r i z e db y u s i n gt h e r e l a t i o n sb e t w e e nm o r p h i s ms e t s s e c o n d ，n o r m a ln a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n b e t w e e ns e m i - f u n e t o r si sd e f m e da n d ，m o r e o v e r , a l l e q u i v a l e n c er e l a t i o n b e t w e e nt h en o r m a ln a t u r a lt r a n s f o r m a t i o no fs e m i f u n c t o r sa n d 也a to f f u n c t o r si so b t a i n e d i nt h el a s tp a r t ，t h en a t u r a lt r a n s f o r m a t i o no ns e m i - a d j o i n t si s c o n s i d e r e d t h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h es e m i - a d j o i n t sa r ed i s c u s s e da n dt h e l e f t ( r e s p r i g h o n o r m a lo ff u n c t o r sa r e i n t r o d u c e d ，f i r s t t h e n ，t w o e q u i v a l e n c ep r o p o s i t i o n sa b o u ts e m i a d j o i n t sa r eo b t a i n e d f i n a l l y ，t h e “ c o n c e p t o fn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o nf u n c t o ri sg e n e r a f i z e da n de q u i v a l e n c e c o n d i t i o n so fi s o m o r p h i s mo fn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n so fs e m i a d j o i n t sa r e g i v e n - k e y w o r d s n a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n ，n a t u r a lt r a n s f o r m a t i o nf u n c t o r , s e m i - f u n c t o r s e m i a d j o i n t s ，n o r m a ln a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n 引言 众所周知，数学的各个分支都是研究一些对象类以及对 象类间的联系范畴理论很好地把对象类以及对象类间的联系 统一起来最早的范畴论产生于s e i l e n b e r g 与s m a c l a n e 对 自然等价一般理论的研究，之后范畴理论有了飞速的发展 函子，自然变换，伴随是范畴学中的最重要的概念近年 来，在现代微分几何学，拓扑学，计算机科学以及生物遗传学 中被广泛的应用起来计算机理论的模块化规范理论主要也是 运用了函子和自然变换的概念不少学者对自然变换进行了深 入研究，解决了许多难题，见文【6 】， 2 1 】_ 1 2 4 】随着学科发展 的需要，又产生出如i t e r a t e dn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n l 4 1 ( j o h nw b a r r e t t ) 和a n t i n a t u r et r a n s f o r m a t i o n 【2 1 ( j o h nc b a e z ) 这样的概 念，更加丰富了自然变换的研究伴随是范畴学研究的一种基 本思想，它贯穿于范畴学的各个层面，并在许多等价形式，如： 伴随的泛性结构，逆向极限中得以体现伴随函子的概念最初 是d m k a n 于1 9 5 8 年给出，随后伴随函子理论被广泛应用于范 畴、环理论及模论等研究领域，现在伴随函子已成为代数学的 重要概念及工具之一例如6 0 年代k m o r i t a 等成功利用伴随函 子理论来研究f r o b e n i l l s 及拟f r o b e n i l l s 扩张，最近许多代数学 者通过引入导出及上导出函子伴随函子又成功用于研究h o p f 模代数等在这方面有许多的研究成果，见文【6 】，【1 5 】- 2 0 】文 【6 】引入了自然变换函子，研究了伴随上的自然变换并成功的 建立了自然同构与伴随间的一类等价关系，使得它们之间关系 更加紧密众所周知，a 演算与范畴有着密切的联系，s u s u m u h a y a s h i 最早提出半函子及其半伴随口1 的概念，利用这一概念 把丑一t h e o r y 推广到了雕- t h e o r y ，得出t y p e d 肚一t h e o r y 和s e m i c c c 的等价性，之后文【1 1 ，【13 】又对半函子作了一些推广工 作。k 3 0 a c h i m t s l 运用了半函予的概念，为同伦理论中著名的 s i m p s o n 猜想提供了直接的证据当今，半函子和半伴随的思 想方法又被广泛应用到n - c a t e g o r y 和s e m i - c a t e g o r y 的研究中本 文就是基于此对自然变换和半伴随上的自然变换作了深入的 研究 本文第一部分建立了范畴a r ( n ) ，从范畴的角度研究了自 然变换的性质，并且利用自然变换函子对其性质作了迸一步刻 划第二部分主要研究了半函子的性质，引入了半函子间正则 自然变换的概念同时建立了自然变换和正则自然变换的等价 关系第三部分研究了半伴随的性质，得到了半伴随的一个等 价刻划，并且对自然变换函子进行了推广，进一步给出半伴随 上的正则自然变换同构的一个等价判别条件 本文中范畴用a ，曰，c 表示，范畴中对象用a ，b ，c 表示， h o m ( a ，b ) 表示范畴a 中a 到b 的态射集函子如不加说明均指 共变函子 一、范畴n a t ( n ) 及其性质 本章主要从范畴的角度研究了自然变换的性质本章分为三节，在 ( 一) 中，介绍了基本概念并建立了范畴a f ( n ) 在( 二) 中。具体讨 论了n a t 加) 的可加性和带积性，在( 三) 中，对自然变换函子性质作了 进步研究，并且运用自然变换函子研究了a r ( n ) 的性质 ( 一) 、范畴n a t ( n ) 预加法范畴是带有零对象的范畴c ，对一切a ，b o b c ，h o m ( a ，6 ) 是 加法a b e l 群且态射合成与加法满足分配率 预加法范畴c 称为一个加法范畴，若c 中任何有限个对象盘l ，a 2 ，a n 都有直和例如，r 觚，a g 和f a g 都是加法范畴 满足以下3 个条件的加法范畴称为一个a b e l 范畴 ( 1 ) 任何态射都有核与上核； ( 2 ) 任何单态射( 满态射) 都是上核( 核) 的核( 上核) ； ( 3 ) 任何仃e h o m ( a ，b ) 都可分解成一个满态射石与一个单射7 7 之积， 即：d = r z 例如，r 嫩和a g 都是a b e l 范畴f a g 不是a b e l 范畴 预加法范畴间的函子f 称为加法函子，如果f ：h o m ( a ，扫) h o m ( f a ，f b ) 为加群同态 称f ：c 斗d 是忠实( 完全) 的，若对于c 中任意态射集h o m ( a ，b ) ， f 是h o m ( a ，功到h o m ( f a ，f b ) 的单射( 满射) 设c ，d 是两个范畴，若有f ：c 专d ，g ：d 哼c 使g f 兰i c , f g 兰 则称范畴c 与d 等价记作：c “d 如果g f = i c ，f g = i d ，则称c 与d 同构记作：c 兰d 设，g 都是范畴c 到d 的函子，称，l ：f 斗g 为，到g 的自然变换， 其中，l = l o b c ，对任意，：口一6 ，图1 - 1 可换 图1 - 1 f a 与乃 ，2 。 山山 ，z 6 g a笪g 6 均是同构态射时t 称，l 为e 到f 的自然同构 设a x 是两个范畴，f ：x 辛a ，g ：a - - x ，称( f ，g ，妒) 是从x 到a 的 附加，若有妒= ：a ( f x ，口) 寸x ( x , g a ) 是自然同构所谓自然性是指图 1 2 中两个图是交换的 图1 - 2 a ( 戥，口) j ox ( 工，g d ) 疋 山 j ， g k a ( f x 。a ) 生斗x ( x ，g a ) a ( f x ，口) f h 山 a ( f x 。，口) x ( 工，a a ) 山h x ( 工，g a ) 其中f ：f x 呻d ，h ：一专工，盘：a 哼，此时，f 称为g 的左伴随，g 称 为，的右伴随 这些概念与文 1 ， 7 ， 8 中记号是一致的 设c ，d 是两个范畴，f ，g ：c - - d ，由自然变换，l ：f g 我们来 构造一个范畴n a t ( n ) o m 忧r ( n ) ：n 4 ，n b a r r n a t ( n ) ：n 口j 玛。厂：口- - b 态射的合成：n 。型立玛咒b 型蔓呜，z 。 ( f g ，g g ( 聪，c f = ( f 酊，g 西 态射的合成显然满足结合率 单位态射： 1 。= = 易验证n a t ( n ) 定义是合理的下文用m r ( n ) 来表示这个范畴，假设 条件不再重复 4 与 与 ( 二) 、范畴n a t ( n ) 的性质 定理1 2 1 若f ，g 是预加法范畴c ，d 上的加法函子，则n a t ( n ) 是预 加法范畴 证首先，n a t ( n ) 中有零对象n o ：f o 斗g o ，这里0 是c 中的零对 象因为，g 为加法函子，所以f o ，g o 是d 中的零对象由交换图1 3 图1 3 而型 f o n a 山上万o g a笪g o 可，g ，在同构意义下是唯一的 即：ih o m ( n a ，1 0 ) i = l ，所以n o 为终 对象，同理也为始对象，于是有为n a t ( n ) 中零对象 在h o m ( n 。，n 6 ) 中规定加法运算：对任意 ， h o m ( n a ，n 6 ) - f = = 因为g ( f + g ) n 。= g f n 。+ g 苫n a = n 6 f f + n b ，g = n b f ( y + g ， 所以加法的定义是合理的，易证结合率和交换率成立由于加法函子保 持零态射，所以h o m ( n 。，n 6 ) 中有零态射 0 k 。 = = ，记作：o = 对任意的 h o m ( n 。，n b ) ，规定 一 = ( f ( - f ) ，g ( - f ) 所以h o m ( n 。，n d 对如上规定的加法运算作成加群， 对任意的 ， h o m ( n 4 ，n 6 ) ， ， h o m ( n b ，n c ) ， ( + ) ( + ) = = = + + + 从而分配率成立，因此a 丁( n ) 为预加法范畴 c 中的对象4 ，b 的双积图1 是指图 图l 一4应出c 出扫。 p l 其中p l ，p 2 ，i l ，f 2 满足p l i i = 1 。，p 2 i 2 = 1 5 tf l p l + i 2 p 2 = l 。 注意，双积图中p l 毛= 0 ，p 2 i i = 0 引理1 2 1 设f ，g 是预加法范畴c ，d 上的加法函子，若c 中对象d ，b 的 双积图存在，那么批t r 瓴) 中对象n a ，n 6 的双积图也存在 证对任意口，b h o m ( n a , n b ) ，假设口；音量c ；等6 双积图，即： p l i l = 1 。，p 2 如= 1 6 ，i i p l + 屯乜= l 。令 磊= ，死= ，i i = b ( 1 ) k e r = ( 2 ) c o k = 证( 1 ) 因为c 为a b e l 范畴，对任意，：a 寸b ，不妨设k e r f = 盯， 下证k e r = 首先 = = = 若存在 h o m ( n d , r c ) ，使得 = 则： = ，即：f ( f o ) = 0 ，g ( f o ) = 0 由于f ，g 为 忠实的，所以f o = 0 ，再由k e r r = 盯知存在唯一的h ：d - - - c 使图3 可交换 图3 c 旦斗口上jb h 气0 尹 d 从而存在唯一的 h o m ( n d ，h 。) ，使得 = ，所以k e r = ( 2 ) 式由c 中态射上核的唯一性同样可证 类似的。我们还可以得到 引理1 3 3 设f 为c 到d 的忠实函子，若c 为a b e l 范畴，对任意 h o m ( n a ，n b ) ， 单( 满) f ：a - - b 单( 满) 由a b e l 范畴的定义和定理1 1 2 即得如下结论 定理1 3 3 设f 为a b e l 范畴c 到d 的忠实加法函子，则n a t ( n ) 也是 a b e l 范畴 9 二、半函子与正则自然变换 本章主要研究了半函子与正则自然变换的性质本章分为三个部分， 在( 一) 中，首先引入了扩张的概念，利用态射集间的关系来刻划半函 子与函子之间的转化在( 二) 中，定义了半函子间正则自然变换，得 到半函予间正则自然变换与函子间自然变换的等价关系 ( 一) 、半函子 定义2 1 1 3 1 设c d 是两个范畴，如果f ：c 哼d ( 1 ) 对任意a o b c ，f a o b d ( 2 ) 对任意盯e h o m 0 ，6 ) ，f r y h o m ( f a ，乃) ( 3 ) 对任意仃h o m ( a ，b ) ，f h o m ( b ，c ) ，f ( v t y ) = f v f o r 则称f 为从c 到d 的一个半函子 可见半函子除了不具备保持单位态射这一性质之外，其它性质和函 子完全一样显然函子是半函子由于半函子不保持单位态射，这就使 得它的性质比函子复杂，与之相对应的是，半函子具备了更加广泛的应 用性它经常出现在s e m i c a t e g o r y 和n - c a t e g o r y 的研究中。可以举出一 个半函子的例子 例如，s e t 是以全体集合作为对象，集合之间的映射作为态射构成的 范畴在s e t 中定义f ：s e t 专s e t ，对任意a e s e t ，f ：a j b 。f ( a ) = a x a ， f ( f ) ( ( 口，a ) ) = ( ，( 口) ，( 4 ) ) 。这样规定的，显然是一个半函子当a a 时 f ( 1 。) ( 口，a ) = ( a , a ) ，l 凡徊，a ) = ( 口，a ) ，即f o 。) 1 凡，也就是说f 是s e t 到s e t 的一个半函子，丽不是函子 我们知道，c a t 是以所有所有范畴为对象，范畴间函子为态射构成的 范畴现在以所有所有范畴为对象，范畴间半函子为态射显然也可以构 1 0 造一个范畴，用c a t 表示由于函子是半函子，所以c a t c a t 这样他们 之间有这样一个包含函子i ：c a t o 函 定义2 1 2 i s l 设c 是一个范畴，c 的k a r o u b i 包络是一个范畴e ( c ) ，其 中e ( c ) 中的对象是由c 中作为幂等元的态射构成，即： o b e ( c ) = ，：4 哼b l ，f = f ； h o m ( f ，g ) = 仃ig d f = 盯，f ：d - - 口，g ：b _ b 实际上h o m ( f ，g ) 是使得图2 - 1 成为交换图交换的盯 图2 1 口山口 仃j ，j ，盯 b b 由定义直接可以得到下面的结果 命题2 1 1 对范畴e ( c ) 有如下结果 ( 1 ) 对任意的口o b c ，1 。e ( c ) ； ( 2 ) 对任意的f g ( c ) ，1 ，= f ； ( 3 ) 对任意的g h o m c ( 口，b ) ，g h o m ( c ) ( 1 。m 1 ) ； 由此可以得到这样一个函子e ：c _ e ( c ) ， 对任意的4 o b c e a = 1 。 对任意的仃h o m ( 4 ，b )e d r = 盯， 将e 称为c 到e ( c ) 的嵌入函子口1 也记做露 定义2 1 3 设e c ：c - - - e ( c ) ，定义半函子f c ：e ( c ) 专c 对任意的f 0 b e ( c ) ，f f = d o m ( f ) 对任意的仃e ( c ) ( ，占) ， f c r = 盯 事实上，对任意的，e g ( c ) ，f ：口_ + d ，f ( 1 ，) = f ( 厂) = f ，而1 厅= l 。 一般f l 。，即：f ( 1 r ) l r f 容易验证乓岛= 丘 定义2 1 4 设f ：a 寸b 是半函子，f 。：e ( a ) _ e ( b ) 称为f 的扩张， 其中，对任意，o b e ( a ) 。d e ( a ) ( ， g ) ，f 厂= 可，f 。仃= 西 命题2 1 2 设f ：a b 是半函子，f ：e ( a ) _ 占( 丑) ，则f 。是函子 证，显然是一个半函子，又因为 f 5 ( 1 ，) = f 。( ，) = ，= l 2 1 r r 所以，是函子 可以看出若只考虑态射集，r 与f 作用完全一致，并且 f 巧l 厂a ( a ，6 ) ) = ( f 盯i 盯鼢( ，g ) ，下文中在记号上经常不加区别有 了嵌入函子就使得半函子和函子有了直接的关系 结合上面的讨论，我们可以构造c a t 到c a t 的一个扩张函子 定义2 1 5 称函子e ：c a t j c a t 为扩张函子，其中对任意范畴a 和半 函子， e 似) i e ( a ) ，e ( f ) = f 。， 事实上，e 是保持单位态射的，c a t 中的单位态射是恒等函子i ， e ( i ) = i a 。= i a = i b c a ) = i e ( ) 定理2 1 1 设l ：c a t - - - c a t ，e ：c a t - 9 c a t ，e 是i 的右伴随 证令妒：c a t ( c ，d ) - - kc a t ( c 。e ( d ) ) 对任意的半函子f ：c 斗d ，妒( f ) = e d f ， 再令v ：c a t ( c ，e ( d ) ) - - 9 c a t ( c d ) 对任意的函子，g ：c j e ( d ) ，r p ( f ) = g 易验证毋是自然同构从而命题得证 ( = ) 、正则自然变换 半函子间的自然变换同函子间的自然变换定义是一致的，即： n ：f g 为半函子f 到g 的自然交换，其中珏= h a ia o b c ) ，对任 意f ：口寸b 图2 - 2 可换 图2 - 2 f a壁乃 h 。 土山 g 口箜g b n 。均是同构态射时，称n 为e 到f 的自然同构 下面我们引入一个新的概念 定义2 2 1 设n ：f 专g ：c - - y d 是自然变换，称自然变换n ：f 。一g 。 为n 的扩张，这里n ；= ，：口哼d ，n = 唠：巧- - y 6 fi fe o b e ( a ) ) 从n 的定义不难发现，作为态射集n 定理2 2 1 自然变换n 的扩张n ：f 。斗g 。是函子间的自然变换 证n 。显然是函子间的变换，下面只须证明n 。的自然性即：对任意 仃h o m ( f ，占) f ：口j 口，g ：矗斗参，图2 - 3 可交换 图2 3 可上，殆 ，z ； 山j ， g ，旦眙 因为d h o m e ( a ) ( f ，g ) 盯h o m a ( a ，6 ) ， 性知图2 - 4 可交换 图2 - 4 而塑 上 g a 鲤 而，l ；= 1 1 a ，l ：= 嘞，由n 的自然 f b 上 n 4 g b 从而命题得证 定义2 , 2 2 设只g ：c _ + d 是半函子，昂：f 哼g 是自然变换，若对任 意a o b c ，l 。f ( 1 。) = r a ，则称n 为正则自然变换 命题2 2 1 设f ，g ：c 寸d 为半函子，7 ：f - 9 g 是自然变换，则n 为 正则自然变换当且仅当g ( 1 。) r a = a 证由，l 的自然性知，对任意f ：a 寸b ，有g ，- n 。= 1 6 - 可，特别的取 f = 1 。，即得结论 命题2 , 2 2 设f ，g ：c 斗d 为半函子，n ：f 寸g 是自然变换，若f ，g 中 有一个是函子，则n 是正则自然变换 证假设f ：a b 为函子，则对任意a o b c ，f ( 1 。) = l f a ，所以 1 1 a - f ( 1 。) = n 。1 f a = n a g 为函子时类似可证 定理2 2 2n 为正则自然变换时，n 兰，l 。，即： 【，l 。i 8 o b cl = 抖；l f o b e ( c ) ) 证设n ：f _ g ：c 哼d ，n 为正则自然变换时，由定义得 ( ，l ；j feo b e ( c ) ) e t a i4 o b c 反之任取口o b c ，则 r a f ( i 。) = r t a ，由y 的的自然性可得g ) 挥。f 0 。) = n a ，即 n a e ( d ) ( ，( 1 。) ，g ( i 。) ) ，n a = 7 1 e 。，从而 i ，o b e ( c ) ，故：n = n 推论2 2 1n 为正则自然变换时，图2 - 2 与图2 - 3 等价 定理2 2 3n 为正则自然变换时， l 为自然同构营，l 为自然同构 1 4 三、半伴随上的自然交换 本章研究了半伴随的性质及其半伴随上的自然变换本章分为两个 部分在( 一) 中，讨论了半伴随的基本性质，引入了函子的左( 右) 正则的概念，得到了半伴随的两个等价判别条件在( 二) 中，研究了 半伴随上的自然变换和正则自然变换，进一步给出了半伴随上自然变换 同构的判别条件 ( 一) 、半伴随的性质 定义3 1 1 口1 设a ，x 是两个范畴，f ：x 专a ，g ：a 寸x 是两个半函 子，称( f ，g ，卢) 是半函子f ，g 的附加，如果图4 1 是交换图 图4 a ( n ，孛x ( x , g 口) 伊 山山 v ， a ( f x t ) 串x ( x ，g 口) 其中，：z _ 不g ：a d ，9 = a ( t f g ) ，y = x ( y ，国) ，图4 - 1 的交换性意 味这下面这四个式子成立 咿口= 妒，妒卢= 卢y ，妒= 卢1 】f ，口，y = o f , 妒卢 此时，g 称为f 的右半伴随，称为g 的左半伴随 也称定义中的半函子附加为半附加，与函子的附加不同，半附加在 同构意义下并不是唯一的 为了下文研究方便起见，按照定义可将将图4 - 1 拆成如下4 个交换图 图4 2 a ( f x ，口) 旦斗x ( x ，g a )a ( f x ，口) 车一x ( x ，g a ) 妒上上1 f ，妒土上y a ( f x ，a ) ! ! x ( 工，g a )a ( f x ，口) 曼一x ( x 。，g 口) 图4 2 。1图4 2 2 a ( f x ，a ) 与x ( 石，g a ) 妒上上v ， a ( f x ，a ) o 卫- x ( 工，g a ) 图4 - 2 3 a ( f x ，口) 旦一x ( x ，g a ) 上 山i i i a ( f x ，a 1 ) j l x ( x 。，g a ) 图4 2 4 图4 - 2 1 和图4 - 2 2 说明了口，p 的自然性，也称芦在工和a 处自然，这 和函子附加( ，g ，妒) 中自然性的是一致的 这四张图交换的交换性可以分别用这样四个式子来描述对任意的 ，：f x 斗a ，g ：x j g a ，h ：x 斗工，k ：a _ a ， ( 1 ) a ( k f f h ) = g k a ( f ) - h( 2 ) 卢( g l | g h ) = k - 卢( g ) f h ( 3 ) 卢( 矾- d ( ，) ) = k ，f h( 4 ) a ( k 卢( 占) f h ) = g k - g h 命题3 1 1 设( ，g ，卢) 是半函子的附加，f ，g 为函子时( ，g 口) 是 函子的附加，并且口= 旷1 证由定义知口是自然的，下面只需证a ：a ( f x ，口) _ x ( x ，g a ) 是 同构的即可对任意的f ：f x 斗a ，取h = 1 ，k = 1 。，有 卢( g ( 1 。) a ( ，) ) = ，f 1 ： 从而卢( 1 国a ( ，) ) = f - 1 f x ，即触( ，) = f 同样地，对任意的g ：工呻g a ， 有筇( 占) = g 因此，口是同构的，并且卢= a 类似的，我们可以定义半附加的扩张 定义3 1 2 设f ：x a ，g ：a 哼x 是两个半函子，( f ，g ，a ，卢) 是f ，g 的半附加称( f 。，g 。，矿，| i b 。) 是( f ，g ，口，p ) 的扩张，这里对任意 ，：f f 0，g ：f g o ，口( ，) = 似，) ，卢。( g ) = 卢( g ) 命题3 1 2 如果g 是f 的右半伴随，那么g 。是p 的右伴随 证由己知可设( f ，g ，o f , ，口) 是半附加，则图4 - 1 是交换图 对任意的0 ：巧寸g ，f ：f 一，jr ：g _ g ， 其中f ：工一x ，f ：一一x ，g ：a _ a ，g ：a 呻a 则0 ：f x _ a ，f ：x - 工，r ：a 寸a ，因为口。( ，) = a ( f ) ，卢。( g ) = 卢( 占) 从 而图4 3 是交换的 1 6 x ( ，g g ) 山w x ( ，g g ) 又因为，。，g 。是函子，由命题3 1 1 即得( ，5 ，g 。，口。，卢。) 是函子的附加，g 。 是p 的右伴随 下面从态射集的角度进一步研究半伴随的性质和半伴随上的正则自 然变换 定义3 1 。3 设f ：c - - 9 , d 是半函子，称d 中态射f ：f c 寸d 为关于f 的 左正则态射，如果，f ( 1 。) = ，；称c 中态射g ：d 寸f c 为关于f 的右正则 态射，如果f ( 1 。) f = f ，f 的所有左正则态射作成的集合称为f 的左正 则，记作：玛( f ) ，f 的所有右正则态射作成的集合称为f 的右正则，记 作：，( f ) 命题3 1 3 设f ：c d 是半函予，则： ( 1 ) n j ( f ) = e ( d ) ( f ( 1 。) ，1 d ) ，n ，( f ) = ( c ) ( 1 。，f ( 1 d ) ) ( 2 ) 川( ，) = e ( d ) ( f f ，g ) ，( ，) = ( c ) ( ，j 嘧) 证( 1 ) 首先证第一式，对任意，m ( f ) ，：f c 斗d ，由m ( f ) 的定 义有，f ( 1 。) = ，即：1 d ，- f ( i 。) = f ，所以，e ( d ) ( f ( 1 。) ，l d ) 反之， 对任意g 层( d ) ( f ( 1 。) ，l d ) ，由e ( d ) 中态射的定义易得g n t ( f ) 从而 m ( f ) = e ( d ) ( f ( 1 。) ，1 d ) 第二式类似可证 ( 2 ) 由( 1 ) 式川( f ) = e ( d ) ( f ( 1 。) ，1 d ) ，显然有j ( f ) e ( d ) ( f f 。g ) ，任 取9 e ( d ) ( f ，占) ，设f ：c 斗c ，g ：d - - 4 d 则妒：f c j d ，并且g 妒f f = f o ， 因为妒f ( i 。) = g 妒- f f ( 1 。) = g t p ：f f = 妒，所以妒m ( ，) 从而m ( f ) = e ( d ) ( f f ，g ) 定理3 1 1 设a ，x 是两个范畴，f ：x _ a g ：a 斗x 是两个半函子， ( f ，g ，a ，卢) 为半附加的充要条件是 ( 1 ) a ，_ ；b 在x ，口处自然的 咚瀑 巧山 何山 俐 图 ( 2 ) v , ( ，) 兰r ( g ) 证若( f ，g ，岱，届) 为半伴随，则由定义( 1 ) 显然成立，对任意 f ：f x a n i ( ，) ，g ：x _ g a n r ( g ) 有f f ( 1 。) = f ，g ( 1 。) + g = g ， 令： 妒：m ( f ) j n ，( g )妒( ，) = o r ( f ) y ：n r ( g ) 斗n f ( f ) v ( g ) = 1 3 ( g ) 则妒( 妒( ，) ) = l , t r ( o l ( f ) ) = 1 ；f r ( a ( 厂f ( 1 ；) ) ) = v c o ( 1 。) a ( f ) - 1 ，) = l b ( g o 。) o t ( f ) 1 ，) = f f ( 1 ：) = ， 类似可得妒y ( 占) = g ，所以n t ( f ) 兰l v r ( g ) 反之，只须证下面这两个图是交换的即可 a ( f x ，a ) 与x ( x ，g a ) 妒0上y a ( f x ，a ) 卜旦一x ( 石，g a 。) 图4 - 2 3 a ( f x ，口) 止x ( x ，a a ) ll 妒山0 y a ( f x ，a ) 旦辛x ( 工，g a ) 图4 2 - 4 对任意的，：f x 寸a ，h ：一寸x 7k ：a 呻， 由口在x ，a 处自然知，图4 - 3 1 和图4 - 3 2 是交换图 图4 4 ，1 a ( f x ，a ) 旦斗x ( x ，g a ) 屯 山上 g k a ( f x ，a ) 与x ( x ，g a ) 图4 4 2 a ( f x , a ) 一与x ( x , g a ) 确0山h a ( f x ，a ) 旦x ( z ，g a ) 所以卢( g ( i ) - a ( f ) h ) = 卢( g t a ( f h ) ) = 卢口( k f f h ) = k f f h 同理可得a ( k - 口( 占) f h ) = a ( f ( a k g ) - f h ) = a f ( g k g h ) = g k g h 故结论成立 定理3 1 2g 是，的半伴随当且仅当f ( f ) 兰r ( g ) 为自然同构 证充分性若g 是，的半伴随，设附：j n x c j 为瓯卢，则，( ，) 兰m ( g ) 自 然性由o i ，口的自然性即得 必要性设9 ：m ( ，) _ + n r ( g ) 是自然同构，规定 a ( ，) = p ( ，t f ( 1 ，) ) ，p ( ，) = 旷1 ( g ( 1 。) h ) 由命题3 1 3 知a ，口的定义是合理的，下面只需验证口，卢在x ，口处是自然 的对任意，：f x 哼a ，h