（计算数学专业论文）关于复二次映射的mj集的探究.pdf

摘要 本文主要研究了复二次映射族的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知的复二次映 射族f ：z 专z 2 + c ( c c ) 的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的联系，并且给出了不同参 数条件下的这两类复多项式族m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集之间所具有的对应关系。 首先，本文给出了几类特殊复二次映射族g ：w a w 2 + p ，g ：w j ( w 一) 2 + p ， g ：w 专a ( w 一) 2 + e 与己知复二次映射族f ：z 专z 2 + c c ) 的分支图，从分 支图上得到了这两个复二次映射族之间的分支点与分翁是相似的，初步了解到这 些复二次映射族之间是存在着某种联系。接下来分别讨论了这几类特殊的复二次 映射的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知的复二次映射厂：z 寸z 2 + c ( c c ) 的 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的之间所具有的对应关系，经过研究对于每种情况都给 出了一个连续映射，用给出的连续映射就把这些复二次映射族的m a n d e l b r o t 集 之间和j u l i a 集之间建立起一个对应关系。最后，在前面研究的基础上，本文对 一般的复二次映射进行了讨论，并且给出了两个连续的映射，得到了一般复二次 映射族g ：w - - 9 , a w 2 + b w + e 的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知的复二次映射 f ：z 专z 2 + c 0 c ) 的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的联系。本文给出这些复映射族 在对应初始值下的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的图像，用图像检验了给出定理的正 确性。 关键词：分形；m a n d e l b r o t 集；j u l i a 集；复映射；收敛域；分支图 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ec o n n e c t i o n so ft h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t s o ft h ec o m p l e xq u a d r a t i cm a p p i n g sf a m i l yo fa n dt h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so f t h ec o m p l e xf a m i l yo fq u a d r a t i cm a p p i n g sf ：z z 2 + c ( c c ) w h i c hw eh a v ek n o w n u n d e rt h ec o n d i t i o n sw i t ht h e d i f f e r e n to fp a r a m e t e r ，g i v e st h ec o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s h i po fm a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so ft w ot y p e so fc o m p l e xm a p p i n g s f a m i l y f i r s to fa l l ，t h i sp a p e rg i v e st h ec l a d o g r a m so ft h es p e c i a lt y p e so ff a m i l yo f c o m p l e x q u a d r a t i c m a p p i n g s g ：w _ a w 2 + p ，g ：w 寸( w 一) 2 + e ，g ：w 专a ( w 一) 2 + p a n dt h ef a m i l yo fc o m p l e xq u a d r a t i cm a p p i n g sf ：z 争z 2 + c ( c c ) ，a n df r o mt h e c l a d o g r a r no b t a i n st h a tt h eb r a n c hp o i n t sa n db i f u r c a t i o nb e t w e e nt h ec o m p l e x q u a d r a t i cm a p p i n g sf a m i l yi ss i m i l a r ，a n dk n o w st h a tt h e s ei sal i n kb e t w e e nt h e s e c o m p l e xq u a d r a t i cm a p p i n g sf a m i l y ，n e x t ，r e s p e c t i v e l y , d i s c u s s e st h ec o n n e c t i o n so f t h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so ft h eg e n e r a lf a m i l yo ft h e s ec o m p l e xq u a d r a t i c m a p p i n g s ，a n dt h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so ft h ec o m p l e xf a m i l yo fq u a d r a t i c m a p p i n g sf ：z z 2 + c ( c c ) w h i c hw eh a v ek n o w n t h er e s e a r c hs h o w st h a tw e c a nf m do n ec o n t i n u o u sm a p p i n g sf o re a c hc o n d i t i o n w i t ht h e s em a p p i n g s ，w ec a n e s t a b l i s ht h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t s f i n a l l y , o nt h eb a s i so ft h ep r e v i o u s ，i nt h i sp a p e rd i s c u s s e st h eg e n e r a lf a m i l yo f c o m p l e xq u a d r a t i cm a p p i n g s ， a n d g i v e s t w oc o n t i n u o u s m a p p i n g s ， g e t s t h e c o n n e c t i o n so ft h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so ft h eg e n e r a lf a m i l yo fc o m p l e x q u a d r a t i cm a p p i n g sg ：w 专a w 2 + b w + ea n dt h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so f t h ec o m p l e xf a m i l yo fq u a d r a t i cm a p p i n g sf ：z 争z 2 + c ( c c )w h i c hw eh a v e k n o w n t h ep a p e ra l s og i v e st h ei m a g e so ft h em a n d e l b r o ts e t sa n dj u l i as e t so ft h e s e c o m p l e xq u a d r a t i cm a p p i n g sf a m i l yw i t l lt h ec o r r e s p o n d i n gi n i t i a lv a l u e w i t ht h e i m a g e s ，t h i sp a p e r t e s t st h ec o r r e c t n e s so ft h eg i v e nt h e o r e m k e yw o r d s ：f r a c t a l ；m a n d e l b r o ts e t s ；j u l i as e t s ；c o m p l e xm a p p i n g s ；c l a d o g r a m ； c o n v e n g e n c ed o m a i n l i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：衣吲缉一日期：盈q 埠雌 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名； 日 期： 也趁 丑哗嘲1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：墟 日 期：趁受益鲤i 砼 电话： 邮编； 东北师范大学硕士学位论文 己i 言 丁l口 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何，在历史上科学技术的发展 与几何学的进步始终是密切相关的，在经典几何学中，可以用直线，圆锥，球等 一类规则的形状去描述诸如车轮，道路建筑物等人造物体。因为这些物体本来是 根据欧式几何的规则图形生成的。然而在自然界中，却存在着许许多多极其复杂， 极不规则的形状。例如，海岸线，山川，河流，岩石，断裂，森林，闪电等等， 它们都是非规则形状，用欧几里德几何是无能为力的。 分形( f r a c t a l ) 这个术语是数学家m a n d e l b r o t 为描述所有尺度上复杂结构的 不规则、破碎形状而创造的。他在1 9 7 7 年出版的分形：形状、给予和维数 一书以及在1 9 8 2 年出版的自然界的分形几何一书，将分形的理论及应用推 动到一个全新的阶段。 美籍数学家b b m a n d e l b r o t 于上世纪7 0 年代中期开创了分形几何理论在理 论的完美性和应用的广泛性上都取得了突出的成就，被誉为开创了2 0 世纪数学 的重要阶段。一方面，分形几何中的主要角色都是由传统数学中的“病态 结 构或数学“怪物”所扮演的：g c a n t o r 集，k o c h 曲线，p e a n o 曲线，m a n d e l b r o t 把它们放在分形几何中统一处理，其提出了分形维数的概念。客观世界固有的自 相似与无限可分特征及计算机强大的迭代运算于一体，创造性地构思形成了分形 几何的概念。即：分形是一种由许多个与整体有某种相似性的局部所构成的形 成。，也即分数维几何对象。另一方面，分形几何为研究自然界中形形色色的复 杂形状和结构提供了十分简洁的工具，因而在天文、地理、物理、化学、生物、 医学、材料乃至语言学、经济学等领域得到了十分广泛的应用口1 们。 早在上世纪八十年代m a n d e l b r o tb b 就已经对著名的复映射z 专z 2 一c 进行 了分析，给出了这个映射的m a n d e l b r o t 集图像，并且给出了这个函数图像所具 有的一些性质，他绘制出了这个映射的m a n d e l b r o t 集的图像，并且对其图像进 行了分析，结果他发现在图像的内部具有好多自相似的图形，这些图像具有相似 的性质，这样使得学者们对m a n d e l b r o t 集图形的分形结构更加的好奇了，使得 他们对这个图像产生了浓厚的兴趣，吸引了很多的学者们的研究n 螂1 。 由于分形是一种采用算法来表示的，人们为了得到更精确的图像效果，对前 人已给出的算法进行不断的改进，在改进的条件下人们能更深刻，更彻底的了解 m a n d e l b r o t 与j u l i a 集的性质n 纠钥，同时人们对复多项式的m a n d e l b r o t 与j u l i a 集 的性质进行了不断的研究，并且得到了丰硕的成果。人们给出了不同阶数的复多 项式的m a n d e l b r o t 与j u l i a 集的性质，大连理工大学的王兴元老师对不同阶数的 东北师范大学硕士学位论文 复映射f ：z 一，+ c ( c c ) 进行了不断的研究，他给出在不同阶数的情况下的该 复映射族的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对称性，并且对复映射族增加扰动，给出 增加扰动的情况下的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对称性如何变化，他不只给出了 在整数阶的对称性的性质，而且在小数阶和负数阶的情况都做了讨论，并且给出 了相应的结论，绘制出了相应的图像乜1 叫1 ，山东大学的隋守刚发现在复多项式映 射的j u l i a 集的图像放大和缩小的时候有三个特征是不变的，基于这些不变的特 征，他给出了复映射的j u l i a 的伸缩和旋转变换，并且绘制出了在相应情况下的 j u l i a 集的图像，并且给出了相应图像具有的性质n 蚰。 在2 0 0 1 年，盛中平给出了复m a n d e l b r o t 映射乙+ l = c - - 乙2 与复l o g i s t i c 映射 卅= r w ( 1 一) 之间的内在变换关系，形成了分形动力系统的分形变换思想。 基于上述关系，盛中平独立给出了复l o g i s t i c 映射+ l = r w ( 1 - w ) 的m a n d e l b r o t 集、j u l i a 集和分支图，并得到了二类映射相应的m a n d e l b r o t 集之间、j u l i a 集之 间和分支图之间的对应关系，并给出了两类m a n d e l b r o t 集、j u l i a 集的具体定界 估计。就此指导了九七级本科生毕业论文。 盛中平提出了映射序列变换思想方法，引入了m a n d e l b r o t 集合序列泛函 掣= 乞( ) ) 基， = ( ) ：。与j u l i a 集合序列泛函“j = z 。( ) 二， 叫= ( ) ) ：。， 并引入了m a n d e l b r o t 集算子m ，m 。、j u l i a 集算子，以，并给出了变换表述与 证明的范例，由此形成了一套动力系统分形变换的表述与证明体系。 本文研究了经典复m a n d e l b r o t 映射所产生的m a n d e l b r o t 集合、j u l i a 集合， 在各种复二次映射中的表现形式。讨论了不同初始值的m a n d e l b r o t 集图像的基 础上对一般复二次多项式的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知复二次多项式的 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系。并且对于不同的复二次多项式的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集本文都找到了一个映射或两个映射与它复合，就构建出了它与已知 的复二次多项式的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系。这样我们就把二次复多 项式的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集之间建立了对应关系，这对我们在以后研究它们 的性质是非常有帮助的。在文章的第一节，介绍了文章的背景，给出近年来学者 们研究m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的现状，并且介绍了m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的 一些有关知识；第二节，给出了复二次映射g ：w _ a w 2 + p 在不同参数情况下的 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知复二次映射的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系； 第三节，构造了复二次映射g ：w _ ( w 一) 2 + p 在不同参数情况下的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知复二次映射的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系，以及给出 2 东北师范大学硕士学位论文 了相应的图像进行检验，证明本文给出定理的正确性。第四节，构造了复二次映 射g ：w - - - a ( w 一) 2 + p 在不同参数情况下的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与己知复二 次映射的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系，以及给出了相应的图像进行检验， 证明本文给出定理的正确性，第五节，构造了更一般的复二次映射 g ：w 哼a c + b w + e 在不同参数情况下的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集与已知复二次映 射的m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的对应关系，以及利用了相应的图像进行检验，证 明本文给出定理的正确性。 复平面上通过简单函数迭代产生的复杂结构分形集，以j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集最为典型，而且这二者的定义存在着很密切的联系。为了更好的研究 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集，接下来将给出一些这两个集合的相关概念以及性质。 首先，我们给出j u l i a 集的相关定义以及性质。 j u l i a 集是由法国数学家j u l i a 和f a t o u 在发展了复变函数迭代理论的基础上 获得的。在复平面上，对f ( z ) = z 2 + c p c ) 进行迭代，以水平的轴线代表实轴， 垂直的轴线代表虚轴，对于不同的c 值，能生成各种各样形状的分形，以如此方 式得到的复杂的集合称为j u l i a 集。 定义1 1 n 羽 对z 0 c 及n z + ，若有f ”( 毛) = z o 且f ( 气) = z o ，其中 k = l ，2 ，n - 1 ，则称气为厂的r 周期点。特别的，当刀= l 时，即有f ( z o ) = z o 时， 则称z 0 为厂的不动点。 定义1 2 n 羽对每一个g o c u o o ，迭代公式乙+ l = 厂( 乙) ，0 = 0 ，l ，2 ) 定义 了一个点序列，这一序列称为z o 的正轨道，记为o r b + 。 定义1 3 n 町在正轨道中，若气是复映射f ( z ) 的甩周期点，则有 o r b + ( z o ) = 5 0 ，f ( z o ) 9 , o 9 f ”1 ( 气) ，此时称o r b + ( z o ) 为n 周期轨。当r l 是满足上面 条件的最小整数时，则称刀为该轨线的周期。 定义1 4 口1 允= ( ”) ( z o ) 称为以周期点气= f ( 乙) ( 七= l ，2 ，n 一1 ) 的特征值。 由于有了特征值的定义，就有了对周期点的类别的定义。 ( 1 ) 当兄= 0 时，称周期点z o 为超吸引周期点，周期轨o r b + ( z o ) 为超吸引周期轨； ( 2 ) 当 1 时，称周期点气为斥性周期点，周期轨伽6 + ( 气) 为斥性周期轨。 从上面斥性周期点的分类出发，就给出了j u l i a 集新的定义： 定义1 5 盯3j u l i a 集j ，为多项式f 的斥性周期点的闭包，它是不包含孤立点的 不可数紧子集，如果z 是u ：厂( z ) 的闭包，j u l i a 集是的包含无穷远点 在内的每一吸引不动点的吸引域的边界，而且厂在，上的作用是混沌的。 还有一些其他的定义j u l i a 集的方法，比较通用的是下面的定义： 定义1 6 m设z ：0 0 是阶数大于1 且c 是参数的多项式，( c ) 表示c 中那些轨道不趋于无穷点的点的集合，即乃( c ) = z c ： | 正”( z ) 1 ) ：o 是有界的) 称此集为相应于z 的填充j u l i a 集，e ( c ) 的边界称为多项式无的j u l i a 集，记为 ( c ) ，即( c ) = 哆( c ) 。 定义1 7 埔j u l i a 集的余集称为f a t o u 集，记为f ，即f = c 一j ，其中 c 一= c w o o 。 下面给出几个j u l i a 集的简单性质： 设灭为一个有理函数，即r ( x ) = p ( x ) q ( x ) ，x c 一。这里尸和q 为没有公约因子 的多项式函数。 性质1 1 j ( r ) g ，且包含多于可数多个点。 性质1 2 n 羽尺和r k = 1 ，2 ，的j u l i a 集是相同的。 性质1 3 “8 1r ( j r ) = 厶= r 一1 ( 以) 。 对于j u l i a 集的图形的绘制我们通常用的是反函数迭代法，这个方法主要的 想法是根据定义3 中对j u l i a 集的描述而形成的，对于填充j u l i a 集的图形的绘制 通常则用逃逸时间算法来实现。这个思想主要是应用了定义4 的描述来形成的。 上面介绍了一些有关j u l i a 集的一些定义与性质，接下来我们给出一些有关 m a n d e l b r o t 集的一些定义与性质。 m a n d e l b r o t 集是由法国数学家m a n d e l b r o t 在发展了复变函数迭代理论的基 4 东北师范大学硕士学位论文 础上获得的。在复平面上，对f ( z ) = z 2 + c c ) 进行迭代，以水平的轴线代表 实轴，垂直的轴线代表虚轴，由初始值z o = 0 进行迭代，就能生成一个相应c 值 下的图形，我们称这个图形为m a n d e l b r o t 集。当初始值气变化时，相应的图像 也跟着变化。下面就给出m a n d e l b r o t 集的定义。 定义1 8 吲复平面c 上当刀寸时，序列c ，c 2 + c ，不趋向于o o 的c 的集合 m 称为m a n d e l b r o t 集，简称m 集，m = p cic ，c 2 + f ，( c 2 + c ) 2 + c ，不趋于o o ) 。 我们可将上面的定义改写成下面的形式： 定义1 9 设复映射族z ：z z 2 + c ，那么由初始值= o 形成的m a n d e l b r o t 集为吩= p c i 力( o ) 嘲有界 。 下面给出m a n d e l b r o t 集的其它的定义方法。 定义1 1 0 设 x ：，r i = 1 ，2 ， 是依赖于一个参数五p 的迭代函数 系，彳( 旯) 表示迭代函数系的吸引子。令 m = 蹦有界 = p ci 劈( z o ) ) 幽有界 。 定义1 1 3 设六：oj0 是阶数大于1 且c 为参数的多项式， x ：，r = 1 ，2 ，n ) 是依赖于一个参数c p 的迭代函数系，a ( c ) 表示迭代函 数的吸引子。令呜= ( c p - , 4 ( c ) 是连通的) ，称吩为迭代函数系 x ：嵋，行= 1 ，2 ，n ) 的m a n d e l b r o t 集。其中相应的迭代函数系可以用反函数法 气 东北师范大学硕士学位论文 得到。 定义1 1 4 汹1 设z ：0 专0 是阶数大于1 且以c 为参数的多项式，则它的 m a n d e l b r o t 集可以定义为m ，= ( 名c ：，( z ) 是连通的) 。 引理1 1 设厂和g 两个复多项式迭代函数具有共轭关系式g = ( 矽一。f 。矽) ， 其中为复平面间的微分同胚映射。则 缸) ：二：是迭代函数厂的斥性周期轨，等价 于 q = 。1 炙) ：是迭代函数g 的斥性n 周期轨。此时称n - 周期轨 缸琵：与 q = 矽_ 1 钉) n 脚- 1 是关于共轭函数厂和g = ( 。f 。) 的互为共轭n 周期轨。 证明：已知 氕 ：是迭代函数厂的斥性n - 周期轨， 贝i j 有厂”( 氏) = 知，f ( 氏) 知，( 后= l ，2 ，n - 1 ) ，与if ”t ( 知) i l ，往证： g ”( 嘞) = ，g ( c o o ) ，( 七= 1 ，2 ，玎一1 ) ，与l 旷( ) l 1 。 由已知厂和g 的对应关系则有， = g 疗( c o o ) = ( 矽一。厂。) ”( ) = 矽。f ”。矽( ) = 。f ”( 氏) = 矽。1 ( 知) = c o o ， 则 q ) ：三是迭代函数g 的周期轨。 下面利用反证法来证 魄) ：是迭代函数g 的刀周期轨。即当七 高有界。记 e = a _ 1 c ，再由( 2 3 ) 知，其等价于由初值w o = 口一z o 开始的序列 ( e ) ：。有界。进 而等价于ee 畋( w 0 ) 。 又c = a e = 矽( p ) ，w o = 口z o = 。1 ( ) ， 从而 c = 矽( p ) 矽( m g ( 一( ) ) ) = 矽。畋。- 1 ( ) 。亦即吩( z o ) = 矽。畋。- 1 ( ) 。 同理可知收( ) = 矽。哆。矽( ) 。证毕。 上面的定理是在e 是参数且a 被固定时得到的m a n d e l b r o t 集与复映射族 z ：z 哼z 2 + c 的的m a n d e l b r o t 集的关系，下面我们给出在a 是参数r e 固定时， 这两类复映射的m a n d e l b r o t 集所具有的联系。 定理2 2 设复映射族z ：z 专z 2 + c c ) 构造的关于初值z o = 0 的 m a n d e l b r o t 集为吩( o ) 。给定p c o ，设复映射族g 口：w 专a w 2 + p ( 口c ) 构 造的关于初值w o = o 的m a n d e l b r o t 集为畋( o ) 。由参数c 产生的序列记为 乙( c ) 全z ”( o ) ，0 = o ，1 ，2 ) ，由参数a产生韵序列记为 ( 口) 全g e ”( 0 ) ，= 0 , 1 ，2 ，) 。令复映射矽：z 专e z 。则 ( 1 ) 当c = e a ，算子乙( ) ，( 刀= o ，1 ，2 ) 与算子( ) ，仰= 0 ，1 ，2 ，) 满足 乙( c ) = a ( 口) ( 刀= 0 ，1 ，2 ，) 。 ( 2 ) m a n d e l b r o t 集算子吩与畋在零点满足如下关系 m z ( o ) = 。 靠。矽。1 ( o ) ， ( o ) = 。 0 。矽( o ) 。 证明：( a ) 已知乙( c ) 全乙，( 口) 叁满足如下的迭代关系 f 乙q = 乏+ c = z ( 磊) ，q = o ，1 ，2 ，)( 2 4 ) t 心+ 1 ：口嵋2 + p ：g 口( ) ， ：0 ，l ，2 ，)( 2 5 ) 对任意c c ，记口= p c ，贝, l j a c 。由两个复映射的迭代关系可以得到，在( 1 ) 中 作变换 2 叱，就能把( 1 ) 转化为( 2 ) 。再由乞( c ) 与( 口) 的定义，这样就得到 lc = a e ” 乙( f ) = 口( 口) ( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 嘞对任意c ，( 0 ) ，等价于由初值气= 0 开始的序列纯( 0 矗有界记 口= 口。c ，再由( 26 ) 知，其等价于由初值w 0 = e 。1 = 0 开始的序列 嵋( p ) ) 二有界 进而等价于口e 坂( o ) 。又c = d e = ( 呻，w o = 8 “气= 妒4 瓴) ，从而 c = ( 田( 以p “) = 。蝶。一( 气) 。亦即坼( o ) = 。坎。( o ) 同理可知肼。( 0 ) = 。 0 。( 0 ) 。证毕 从上面的两个定理就已经得出了这两类复映射的m a n d e l b r o t 集所具有的联 系，下面我们给出两类复映射在相对应的情况下的m a n d e l b r o t 集的图像，我们 来检验一下我们定理的正确性。这里对于复映射族正：z 呻z 2 + c 的初始值要分两 种情况，一是初始值气= 0 ，一个是初始值岛0 。 当e 是参数且口被固定且岛= 0 时的m a n d e l b r o t 集的图像为： 酬翻 口= 1 d = 1 + 日= 1 一ia = 1 + fp 1 一i 当e 是参数且口被固定且z o = 0 2 + 02 i 时的m a n d e l b r o t 集的图像为： 囵圃商 东北师范大学硕士学位论文 口= - - 0 6 一i口= - 0 6 + i口= 06 一i 从当e 是参数且d 被固定且矗= 0 时的m a n d e l b l _ 0 t 集的图像上可以得到： 当r e a 增加时，图像绕着原点做逆时针的旋转，当r e a 减少时，图像绕着 原点做顺时针的旋转，当i m a 增加时，图像绕着原点做逆时针的旋转，当h a 减 少时图像绕着原点做顺时针的旋转，设变化前的a = “，那么图像变为变化前 的划。 l a l 从当。是参数且e 被固定时的m a n d e l b m t 集的图像上可以得到： 当r e e 增加时，图像绕着原点做逆时针的旋转，当r c e 减少时，图像绕着原 点做顺时针的旋转，当i m e 增加时，图像绕着原点做逆时针的旋转，当i m e 减少 时，图像绕着原点做顺时针的旋转，设变化前的e = e o ，并且图像压缩为变化前 东北师范大学硕士学位论文 的掣。 e l 从上面的两个结论就可以发现，这与我们定理得到的结论是相同的，所以现在就 可以说，这两类复映射族的m a n d e l b r o t 集之间具有定理所述的结论。 从上面的图像上还可以清晰的看到，当我们用以原点为圆心，以2 为半径的 圆去覆盖这个圆的时候在特殊的复二次多项式的m a n d e l b r o t 集有的时候是大了 一些，有的时候又小了一些，在这个复映射下的m a n d e l b r o t 集只发生了旋转， 中心位置没有发生改变，下面我们就来介绍一下这样m a n d e l b r o t 集的图像的上 确界的求法。 上面讨论了这两个复映射m a n d e l b r o t 集的联系，下面讨论一下它们j u l i a 集 就有的联系，对于复映射f ：z _ z 2 + c 0 c ) 的j u l i a 集读者都已经很熟悉了，对 于它的图形的绘制方法前面已经介绍过了，可以利用随机迭代法就能生成，对于 复映射族g ：w 哼a w 2 + p 的j u l i a 集的图形我们也很容易的绘制出来，从图像上我 们可以看出这两个图像是有联系的，从接下来的定理我们将给出它们的联系。 定理2 3 设由关于参数c c 的复映射工：z 寸z 2 + c ( c c ) 构造的j u l i a 集 为，( c ) 。给定a c 0 ) ，设由关于参数e c 的复映射g e ：w 专a w 2 + e ( e c ) 构 造的j u l i a 集为以( p ) 。设给定的参数c 与p 满足关系式c = a e ，由任意初值z o 产 生的序列记为z ( z o ) 垒z ”( z o ) ，= o ，l ，2 ) ，由任意初值w o 产生的序列记为 w ( w o ) 全g e ”( ) ，( 甩= 0 ，l ，2 ) 。给定复平面到复平面的同胚映射矽：z 斗a z 。则 ( 1 ) 算子乞( - ) ，( 聆= o ，1 ，2 ) 与算子( ) ，0 = 0 ，1 ，2 ) 关于矽共轭，亦即有 捌：勰勰；i ，v z o c v w oc 巾- o ，啦山 ( 2 7 ， 【( w 0 ) = ( o 乙。矽) ( ) ， 、 若z o = a w o ，则序列z n ( z 0 ) 与( w 0 ) 满足倍数关系： z n ( z o ) = a w n ( w o ) ，w n ( w o ) = 口。1 乙( 气) ，( n = 0 ，1 ，2 ，) 。 ( 2 8 ) ( 2 ) 迭代函数z 与关于矽共轭，亦即有 i z ( z ) = ( 。g 。妒。1 ) ( z ) ，v z c 【( w ) = ( 矽。1 。z 。矽) ( 叻，v w c 1 2 东北师范大学硕士学位论文 亦即函数表达式z ( z ) - 与g a w ) 满足关系：z ( z ) = ( 口一z ) ，( 川- a _ z ( 州。 ( 3 ) 算子与算子以共轭，亦即有 以( c ) = 。以。( c ) ，以( p ) = 痧。( p ) 。 若p = 口一c ，则j u l i a 集以( c ) - - 与j s ( e ) 满足倍数关系：d i ( c ) = a d g ( e ) 。 证明：( a ) 简记乙垒乙( 毛) ，全( w o ) ，0 = 1 ，2 ，) ，则其满足如下迭代关系 i 磊+ l = 玄+ c = z ( 磊) ，伽= 0 ，1 ，2 ，)( 2 9 ) i 比+ l = 口嵋2 + p = ( ) ，= 0 ，1 ，2 ，)( 2 1 0 ) 对胛= o ，1 ，2 ，记乞( 气) = ( 矽。矿。1 ) ( ) = 口( 口z o ) ，则有 乞+ l ( 气) = 口+ 1 ( 口一z o ) ， 乞( 毛) 2 + c = ( 口心( 口一1 气) ) 2 + c = 口( 口( 口一1 z o ) 2 + p ) 。 再由( 2 8 ) 知+ l ( 口一z o ) = 口( 口一1 z o ) 2 + p ，进而有 毛+ 1 ( 毛) = 乞( 气) + c ，仰= 0 ，1 ，2 ，) 。 亦即磊( z o ) 满足( 2 9 ) 。又磊( ) 也满足( 2 9 ) ，再由定义知 z o ( z o ) = z o ( z o ) = z o ，e o ( z o ) = a w o ( a 1 乞) = 口o ( 口z o ) = z o 故知初值相同均为z o 。故知磊( 气) = 乞( 气) = ( 矽。- 1 ) ( z o ) ，c 。 同理可知( w o ) = ( 妒。z n 。矿) ( w o ) ，v w o c 。亦即( 2 7 ) 成立。 再由z o = a w o 及( 2 8 ) 知： 气( 气) = ( 矽。妒- 1 ) ( 气) - 0 3 缈n ( a z o ) = 讲屹( ) 进而可知或同理可知有( ) - a _ 乙( 气) 。 ( b ) 由e = 0 - 1 c 计算可知： ( 矽。矽一x z ) = q g 。( 口一1 z ) = 口( 口( 口一1 z ) 2 + p ) = z 2 + c = z ( z ) 形一1 。z 。) ( w ) = 口一1 z ( 州- - a 一1 ( 口( 鲫) 2 + c ) = w 2 + p = ( w ) ( c ) 记弓( c ) 为z 的所有斥性周期轨的并集，则p ) = 虿丽。记i ) 为的 所有斥性周期轨的并集，贝j jj e ( e ) = t s ( e ) 。对任意对z 弓( c ) 。则z 位于z 的一 1 3 东北师范大学硕士学位论文 个斥性周期轨上缸) 上，不妨设：= 白。从而由气( 定义知 纯( 岛) ) = k 由( 2 8 ) 知占。的轨道 k ( 旷知) 满足 w ( a - 1 靠) = 口1 毛( 靠) ( h = 0 ，l ，2 ，。 故 一( 旷。g o ) 7 - o ；口。 靠( 知) 二= 旷 = 一( 知) ) 二= 口4 矗) 二，从而由引理1 4 易 见轨道 峙( d 1 知) 是邑。的一个斥性周期轨。故( ( “靠) ) 二 ( 口_ 1 c ) ，从而 口。白= w o ( a - 。e o ) e r , ( a - 1 c ) 。进而z = - o = a w o ( a “知) e d ( 旷。c ) 。 故知 弓如) c n ( 口。0 = 。妒。0 ) 同理可证弓( 砷3 。，( c ) ， 故 弓( p ) = 。瓦。一( c ) 。由p = 口“c 知r i ( c ) = 口t ( e ) ，从