北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学理试题.doc

东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学高三数学 理科 理科 学校学校 班级班级 姓名姓名 考号考号 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试时长 120 分 钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 本大题共一 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一 项 项 1 设集合 1 2 A 则满足 1 2 3 AB 的集合 B 的个数是 A 1 B 3 C 4 D 8 2 已知a是实数 i 1 i a 是纯虚数 则a等于 A 1 B 1 C 2 D 2 3 已知 n a为等差数列 其前n项和为 n S 若 3 6a 3 12S 则公差d等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 4 执行如图所示的程序框图 输出的k的值为 A 4 B 5 C 6 D 7 5 若a b是两个非零向量 则 abab 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知x y满足不等式组 0 0 24 x y xys yx 当35s 时 目标函数yxz23 的最大值的变化范 围是 A 6 15 B 7 15 C 6 8 D 7 8 7 已知抛物线 2 2ypx 的焦点F与双曲线 22 1 79 xy 的右焦点重合 抛物线的准线与x轴的交 点为K 点A在抛物线上且 2 AKAF 则 AFK的面积为 A 4 B 8 C 16 D 32 8 给出下列命题 在区间 0 上 函数 1 yx 1 2 yx 2 1 yx 3 yx 中有三个是增函 数 若log 3log 30 mn 则01nm 若函数 f x是奇函数 则 1 f x 的图象关于点 1 0 A对称 已知函数 2 3 3 2 log 1 2 x x f x xx 则方程 1 2 f x 有2个实数根 其中正确命 题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 第第 卷卷 共 110 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若 3 sin 5 且tan0 则cos 10 图中阴影部分的面积等于 11 已知圆C 22 680 xyx 则圆心C的坐标为 若直线ykx 与圆C相切 且切点在第四象限 则k 12 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 13 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次提价 p 第二次提 价 q 方案乙 每次都提价 2 pq 若0pq 则提价多的方案是 14 定义映射 fAB 其中 Am n m n R B R 已知对所有的有 序正整数对 m n满足下述条件 1 1f m 若nm 0f m n 1 1 f mnn f m nf m n 则 2 2 f 2 f n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 2 3sin coscosf xxxxa x y O1 3 y 3x2 求 f x的最小正周期及单调递减区间 若 f x在区间 6 3 上的最大值与最小值的和为 3 2 求a的值 16 本小题共 13 分 已知 n a为等比数列 其前n项和为 n S 且2n n Sa n N 求a的值及数列 n a的通项公式 若 21 nn bna 求数列 n b的前n项和 n T 17 本小题共 14 分 如图 在菱形ABCD中 60DAB E是AB的中点 MA 平面ABCD 且在矩形 ADNM中 2AD 3 7 7 AM 求证 AC BN 求证 AN 平面MEC 求二面角MECD 的大小 18 本小题共 13 分 已知a R 函数 ln1 a f xx x AB C D E N M 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线方程 求 f x在区间 0 e上的最小值 19 本小题共 13 分 在平面直角坐标系xOy中 动点P到两点 3 0 3 0 的距离之和等于4 设点P的轨迹为 曲线C 直线l过点 1 0 E 且与曲线C交于A B两点 求曲线C的轨迹方程 是否存在 AOB面积的最大值 若存在 求出 AOB的面积 若不存在 说明理由 20 本小题共 14 分 已知实数组成的数组 123 n x x xx 满足条件 1 0 n i i x 1 1 n i i x 当2n 时 求 1 x 2 x的值 当3n 时 求证 123 321xxx 设 123n aaaa 且 1n aa 2 n 求证 1 1 1 2 n iin i a xaa 东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 C 2 B 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 4 5 10 1 11 3 0 2 4 12 754 10 13 乙 14 2 22 n 注 两个空的填空题第一个空填对得 3 分 第二个空填对得 2 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 31 cos2 sin2 22 x f xxa 1 sin 2 62 xa 3 分 所以T 4 分 由 3 222 262 kxk 得 2 63 kxk 故函数 f x的单调递减区间是 2 63 kk k Z 7 分 因为 63 x 所以 5 2 666 x 所以 1 sin 2 1 26 x 10 分 因为函数 f x在 6 3 上的最大值与最小值的和 1113 1 2222 aa 所以0a 13 分 16 共 13 分 解 当1n 时 11 2Saa 1 分 当2n 时 1 1 2n nnn aSS 3 分 因为 n a是等比数列 所以 1 1 1 221aa 即 1 1a 1a 5 分 所以数列 n a的通项公式为 1 2n n a n N 6 分 由 得 1 21 21 2n nn bnan 则 231 1 1 3 25 27 2 21 2n n Tn 231 21 23 25 2 23 2 21 2 nn n Tnn 得 21 1 12 22 22 2 21 2 nn n Tn 9 分 21 12 222 21 2 nn n 1 14 21 21 2 nn n 23 23 n n 12 分 所以 23 23 n n Tn 13 分 17 共 14 分 解 连结BD 则ACBD 由已知DN 平面ABCD 因为DNDBD 所以AC 平面NDB 2 分 又因为BN 平面NDB 所以ACBN 4 分 CM与BN交于F 连结EF 由已知可得四边形BCNM是平行四边形 所以F是BN的中点 因为E是AB的中点 所以 ANEF 7 分 又EF 平面MEC AN 平面MEC 所以 AN平面MEC 9 分 由于四边形ABCD是菱形 E是AB的中点 可得DEAB 如图建立空间直角坐标系Dxyz 则 0 0 0 D 3 0 0 E 0 2 0 C 3 7 3 1 7 M 3 2 0 CE 3 7 0 1 7 EM 10 分 设平面MEC的法向量为 x y z n 则 0 0 CE EM n n 所以 320 3 7 0 7 xy yz 令2x F AB C D E N M y x z 所以 21 2 3 3 n 12 分 又平面ADE的法向量 0 0 1 m 所以 1 cos 2 m n m n m n 所以二面角MECD 的大小是 60 14 分 18 共 13 分 解 当1a 时 1 ln1f xx x 0 x 所以 22 111 x fx xxx 0 x 2 分 因此 1 2 4 f 即曲线 xfy 在点 2 2 f处的切线斜率为 1 4 4 分 又 1 2 ln2 2 f 所以曲线 xfy 在点 2 2 f处的切线方程为 11 ln2 2 24 yx 即44ln240 xy 6 分 因为 ln1 a f xx x 所以 22 1 axa fx xxx 令 0fx 得xa 8 分 若a 0 则 0fx f x在区间 0 e上单调递增 此时函数 f x无最小值 若0ea 当 0 xa 时 0fx 函数 f x在区间 0 a上单调递减 当 exa 时 0fx 函数 f x在区间 ea上单调递增 所以当xa 时 函数 f x取得最小值lna 10 分 若ea 则当 0 ex 时 0fx 函数 f x在区间 0 e上单调递减 所以当ex 时 函数 f x取得最小值 e a 12 分 综上可知 当a 0时 函数 f x在区间 0 e上无最小值 当0ea 时 函数 f x在区间 0 e上的最小值为lna 当ea 时 函数 f x在区间 0 e上的最小值为 e a 13 分 19 共 13 分 解 由椭圆定义可知 点P的轨迹 C 是以 3 0 3 0 为焦点 长半轴长为2 的椭 圆 3 分 故曲线C的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 存在 AOB面积的最大值 6 分 因为直线l过点 1 0 E 可设直线l的方程为 1xmy 或0y 舍 则 2 2 1 4 1 x y xmy 整理得 22 4 230mymy 7 分 由 22 2 12 4 0mm 设 1122 A xyB xy 解得 2 1 2 23 4 mm y m 2 2 2 23 4 mm y m 则 2 21 2 43 4 m yy m 因为 12 1 2 AOB SOEyy 2 2 2 2 232 1 4 3 3 m m m m 10 分 设 1 g tt t 2 3tm 3t 则 g t在区间 3 上为增函数 所以 4 3 3 g t 所以 3 2 AOB S 当且仅当0m 时取等号 即 max 3 2 AOB S 所以 AOB S 的最大值为 3 2 13 分 20 共 14 分 解 12 12 0 1 1 2 xx xx 由 1 得 21 xx 再由 2 知 1 0 x 且 2 0 x 当 1 0 x 时 2 0 x 得 1 21x 所以 1 2 1 2 1 2 x x 2 分 当 1 0 x 时 同理得 1 2 1 2 1 2 x x 4 分 证明 当3n 时 由已知 123 0 xxx 123 1xxx 所以 12311233 322 xxxxxxxx 13 xx 13 1xx 9 分