（基础数学专业论文）clifford分析中的k正则函数.pdf

摘要 七一正则函数是c l i 舶r d 分析中一类性质良好的函数类，是正则函数的一种自然形式 的推广正则函数一定为七一正则函数，但七一正则函数不一定为正则函数，例如：当l 厂( z ) 为正则函数时，z t 厂( z ) 不是正则函数，但它是2 一正则函数并且有一个规律就是七一1 一 正则函数一定为七一正则的，但反之是不成立的因此研究七一正则函数有一定的理论和 应用价值 在第一章中给出了预备知识和一些重要引理这些引理在本文中起到了非常重要的 作用 在第二章中讨论了七一正则函数的若干性质，如唯一性定理、当七为偶数时七一正则 函数的判定定理等，使我们对克一正则函数有了更清楚的认识我们是用庇一正则函数 的级数和七一正则函数所定义区域的连通性来证明唯一性定理的这点告诉我们后一正则 函数的唯一性定理是以连通开子集为基础的并且这种方法对单复变中解析函数以及实 c l i 舶r d 分析中正则函数，双正则函数，超正则函数都适用七为偶数时庇一正则函数的判定 定理使我们简化了对七一正则函数的判定 在第三章中讨论了定义于r n 中的有界域上取值于c l i f f o r d 代数c ( k ，o ) 的r 次连续 可微函数的c a u c h y p o m p e i u 公式及岛一正则函数的高阶c a u c h y 积分公式，平均值定理， c a u c h y 不等式等这些都是后一正则函数的基本定理，其中高阶c a u c h y 积分公式是基础， 它是七一正则函数的积分表示，是我们研究七一正则函数的重要工具平均值定理，c a u c h y 不等式都是应用高阶c a u c h y 积分公式得出的另外在研究有关尼一正则函数边值问题时， 高阶c a u c h y 型积分是主要的研究工具之一我们注意到高阶c a u c h y 型积分与c a u c h y 型 积分的区别是多了一些弱奇性的项本文主要采用的手法是把高阶c a u c h y 型积分分成两 部分，一部分是我们所熟悉的c a u c h y 型积分，另一部分是那些具有弱奇性项的和接下来 我们应用球坐标变换的方法，讨论了定义于r 礼中的有界域上取值于c l i f f o r d 代数c ( k ，o ) 的r 次连续可微函数的高阶c a u c h y 型积分的c a u c h y 主值，p l e m e l j 公式及边值的h 6 l d e r 连续性，然后给出了高阶c a u c h y 型积分的p n v a l o v 定理在证明p 1 e m e l j 公式时，我们主 要证的是高阶c a u c h y 型积分具有弱奇性的那些项的和的连续性采用的手法是把区域内 的点趋近于边界上的点的方式分成两种情况来讨论，一种情况是不沿边界上的点的切平 面方向趋近，另一种情况是沿边界上的点的切平面方向趋近并且应用高阶c a u c h y 积分 公式和高阶c a u c h y 型积分的p l e m e l j 公式，可以得到七一正则函数的开拓定理证明边值 的h 羽d e r 连续性和高阶c a u c h y 型积分的p n v a l o v 定理时都采用了把积分曲面分成有奇 性和没有奇性两部分来加以证明的我们从三种情况来证明p r i v a l o v 定理：首先是两点都 在边界上，应用边值的h 6 1 d e r 连续性即可得证；然后是一点在区域内，一点在边界上，应 t t l 用了最近距离点的性质及一些技巧得出结论；最后是两点都在区域内，类似第二种情况 进行讨论 在第四章中讨论了定义在册的无界域上取值于c l i 勖r d 代数c ( ，o ) 的7 次连续可 微函数的c a u c h y p o m p e i u 公式，七一正则函数的高阶c a u c h y 积分公式及高阶c a u c h y 型 积分的c a u c h y 主值，p 1 e m e l j 公式等。主要是借助关于正则函数在无界域上处理的思想，应 用球坐标变换和在第三章中采用的方法得以解决的 i v 关键字：c a u c h y p o m p e i u 公式高阶c a u c h y 积分公式p l e m e l j 公式 a b s t r a c t k r e g u l a rf u n c t i o ni sak i n do ff u n c t i o nc l a s so fg o o dn a t u r ea n d an a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n o fm er e g u l a rf u n c t i o n r e g u l a rf u n c t i o ni s 七一r e g u l a rf u n c t i o n ，b u t 七一r e g u l a rf u n c t i o ni sn o t s u r er e g u l a rf u n c t i o n f o re x a m p l e ：w h e n 厂( z ) i sr e g u l a rf u n c t i o n ，z ，( z ) i sn o tr e g u l a rf u n c t i o n ， b u ti ti s2 一r e g u l a rf u n c t i o n a n dm e r ei sar u l em a t 七一1 一r e g u l a rf u n c t i o ni s 七一r e g u l a rf u n c t i o n 0 nt h eo t h e rh a n d ，七一r e g u l a rf u n c t i o ni sn o tc e r t a i n l y 惫一1 一r e g u l a rf u n c t i o n t h u s ，t h e r ei s s o m et h e o r e t i c a la n da p p l i c a b l ev a l u et os m d yi t i nc h a p t e r1 ，t h ep r e l i m i n 撕e sa n ds o m ei m p o n a n tl e m m a sa r eg i v e n t h el e m m a sw e o b t a i n e di nt h i sp a np l a yav e r yi m p o n a n tr 0 1 ei nt h i sp 印e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so f 后一r e g u l a rf u n c t i o n s ，s u c ha su n i q u e n e s st h e o r e m a n dm ed e t e n n i n a t i o nt h e o r e mo f 惫一r e g u l a rf u n c t i o n sw h e n 七i se v e nn u m b e ra n ds oo n f h e p r o p e n i e sw e d i s c u s sm a k eu su n d e r s t a n d 七一r e g u l a rf u n c t i o n sc l e a u r l y t h es 酣e so f 后一r e g u l a r f u n c t i o n sa n dt h ec o n n e c t i v i t yo ft h ed o m a i nw h i c hi st h e 七一r e g u l a rf u n c t i o n sd e 6 n e do na r e u s e dt op r o v em eu n i q u e n e s sm e o r e m t h i st e l l su st h eu n i q u e n e s st h e o r e mo f 后一r e g u l a rf u n c - t i o n si so nt h eb a s eo fc o n n e c t e do p e ns u b s e t a n dt h em e t h o di s 印p l i c a b l ef o rt h ea n a l y t i c f u n c t i o n sw i t ho n ec o m p l e xv a r i a b l ea n dr e g u l a rf u n c t i o n s ，b i r e g u l a rf u n c t i o n s ，h y p e m o n o g e n i cf u n c t i o n si nr e a lc 1 i f f b r da n a l y s i s i tb e c o m e ss i m p l et oj u d g e 七一r e g u l a rf u n c t i o n sb yt h e d e t e 彻i n a t i o nt h e o r e mo f 七一r e g u l a rf u n c t i o n sw h e n 七i se v e nn u m b e r i nc h 印t e r3 ，t 1 1 ec a u c h y p o m p e i uf o m u l ao frt i m e sc o n t i n u o u s l yd i 胁e n t i a b l ef u n c t i o n sd e f i n e do v e rb o u n d e dd o m a i n si n 冗凡a n dw i t hv a l u e si nc l i 舶r da l g e b r ac ( 碥，o ) i sd e v e l o p e da n dh i 曲e ro r d e rc a u c h yi n t e g r a lf o 肌u l a ，m e a nv a l u et h e o r e m ，c a u c h yi n e q u a l 时o f 惫一r e g u l a rf u n c t i o n s a r es t u d i e d t h e s et h e o r e m sa r ee s s e n t i a lt h e o r e m so f 老一r e g u l a rf u n c t i o n s t h eh 培h e ro r d e rc a u c h yi n t e g r a lf o m u l ai sb a s a l ，b e c a u s ei ti st h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no f 七一r e g u l a rf u n c t i o n sa n dt h ei m p o r t a n t t 0 0 1t os t u d y 后一r e g u l a rf u n c t i o n s o t h e r w i s e ，h i 曲e ro r - d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a li so n eo ft h em a i ns t u d y i n gt 0 0 1 st or e s e a r c hb o u n d a d ，v a l u ep r o b l e m s o f 一r e g u l a rf u n c t i o n s t h ed i 髋r e n c eb e t w e e nh i 曲e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a la n dc a u c h y t y p ei n t e 伊a lw en o t i c ei st h a tt h e r ei ss o m e e x t r aw e a ks i n g u l 撕t yi t e m so f h i g h e ro r d e rc a u c h y t y p ei n t e g r a l t h em e a n sw ea d o p ti nt h i sp 印e ri st op u tt h eh i 曲e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a l i n t ot w os e c t i o n s o n es e c t i o ni st h ec a u c h yt y p ei n t e g r a lw h i c hi sf a m 订i a rt ou s ，a n dt h eo t h e r i st h es u mo ft h ew e a ks i n g u l a r i t yi t e m s 。n e x t ，u s i n gt h em e t h o do f 】o c a lg e n e r a l i z e ds p h e r e c o o r d i n a t e st r a n s f o m a t i o n ，w es t u d yc a u c h yp r i n c i p l ev a l u e ，p 1 e m e l jf 6 n n u l aa n dh 6 1 d e rc o n t i n u i t yo fh i 曲e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a lf o rrt i m e sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n s v d e f i n e do v e rb o u n d e dd o m a i n si nj a n dw i t hv a l u e si nc l i 饰r da l g e b r ac ( k ，o ) t h e nw eg i v e t h ep d v a l o vt h e o r e mo fh i 曲e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a l w 色m a i n l yv e r i 母t h a tt h es u mo f m ew e a ks i n g u l 撕t ) ，i t e m so fh i g h e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a li sc o n t i n u o u sw h e nw ep r 0 v e t h ep l e m e l jf o r m u l a t h em e t h o dw eu s ei st 0s u m m 撕z et h ew a y so fm ep o i n ti nm ed o m a i n a p p r o a c h i n gt h ep o i n to nt h eb o u n d a r yi n t ot w oc a s e s o n ec a s ei sm a tt h ea p p r o a c h i n gw a yi s n o ta 1 0 n gt h ed i r e c t i o n0 fm et a n g e n tp 1 锄e ，t h eo t h e ri st h a tm ea p p r o a c h i n gw a yi sa l o n gt h e d i r e c t i o no ft h et a n g e n tp l a n e a n dm ee x t e n s i o nt h e o r e mo f 七一r e g u l a rf u n c t i o n si so b t a i n e d b yh i 曲e ro r d e rc a u c h yi n t e g r a lf o 册u l aa n dt h ep 1 e m e l jf o 肌u l ao fm eh i g h e ro r d e rc a u c h y t y p ei n t e g r a l t i op r o v e t h eh 6 l d e rc o n t i n u i t yo ft h eb o u n d a r yv a l u e 粕dt h ep r i v a l o vt h e o r e m o ft h eh i g h e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a l ，t h ei n t e g r a ls u r f a c ei sd i v i d e di n t ot w op a n s ，锄o n g w h i c ho n eh a ss i n g u l 撕t ya n dt h eo t h e r h a sn os i n g u l 撕够w ep r o v et h ep r i v a l o vt h e o r e mf 幻m t h r e ec a s e s ：f i r s t l y ，m et h e o r e mc a nb ep r o v e db yt h eh 6 l d e rc o n t i n u i t yo ft h eb o u n ( 1 a r yv a l u e w h e nt h et w op o i n t sa r eb o t ho nm eb o u n d a r yo fm ed o m a i n ；t h e n ，t h ep r o p e r t i e so fm en e a r e s t d i s t a n c ep o i n ta i l ds o m es k i l l sa r eu s e dt op r o v em et h e o r e mw h e no n ep o i n ti nt h ed o m a i na n d t l l eo t h e ro nt h eb o u n d a r yo fm ed o m a i n ；l a s u y s i m i l a rt ot h es e c o n dc a s e ，m em e o r e mc a nb e p l r o v e dw h e nt h e 咖op o i n t sa r eb o t hi nt h ed o m a i n 1 nc h 印t e r4 ，t h ec a u c h y p o m p e i uf o 唧u l ao frt i m e sc o n t i n u o u s l yd i 仟e r e n t i a b l ef u n c t i o n sd e 6 n e do v e r 帅b o u n d e dd o m a i n si n 形a n dw i t hv a l u e si nc l i 仃o r da l g e b r ac ( k ，o ) i s i n t r o d u c e da n dh i g h e ro r d e rc a u c h yt ) ，p ei n t e g r a lo f 七一r e g u l a rf u n c t i o n s ，t h ec a u c h yp r i n c i p l e v a l u ea n dt h ep l e m e l jf o m u l ao fh i g h e ro r d e rc a u c h yt y p ei n t e g r a le t c a r ed i s c u s s e d i n s p i r e d b ym ei d e a sm a th a l l d l i n gm ec 1 i f j 6 d r dr e g u l a rf u n c t i o n so v e ru n b o u n d e dd o m a i n s ，锄du s i n g m em e t h o do fl o c a lg e n e r a l i z e ds p h e r ec o o r d i n a t e st r a n s f o n i l a i o na n dt h em e t h o da p l p l i e di n c h a p t e r3 ，w ep r o v e dt h ei m p o n a n tr e s u l t s k yw b r d s ：c a u c h y - p o m p e i ui n t e g r a lh i 曲e ro r d e rc a u c h yi n t e g r a lf o m u l ap 1 e m e l j f b n n u l a v i 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文c l i f f o r d 分析中的k 一正则函数，是在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：奎卜1 公 守? 年，月以日 指导教师确认( 签名) ： 乒p 呖) ! 年月谚日 学位论文版权使用授权书 和乏 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) i i 论文作者( 签名) ：否小巧全 莎口t 乎年上月日 指导教师( 签名) ：名净l v a 口。睥上月谚日 己l 吉 ，l口 c l i 舶r d 代数是_ 种可结合但不可交换的代数结构，创建于上世纪初c l i 仟o r d 分析是 上世纪7 0 年代新兴起的一个活跃的数学分支，具有重要的理论【1 和应用价值例如，麦 克斯韦方程，杨( 振宁) 米尔磁场理论，量子力学等【2 j 对c l i f f o r d 代数c ( 1 ，7 仇，0 ) 中有关 正则函数和超正则函数的内容，大量学者都已作了研究f 3 - 1 1 】正则函数的结论是关于单 复变量解析函数的经典理论的推广几乎单复变解析函数的经典理论都可以推广到正则 函数上但不足之处是，对于最常见的幂函数如扩却不是正则函数s 一l e r i k s s o n 等【9 1 0 】 引入的超正则函数弥补了这一缺陷，并对超正则函数做出了较系统的研究fb r a c k x 等【1 】 得到了许多关于超复函数的结论对于c l i 舶r d 分析中的边值问题的研究，徐振远【1 2 ，闻 国椿 1 3 j ，黄沙 1 4 15 f ，乔玉英( 1 6 1 7 等学者作了大量的工作1 9 7 6 年，f b r a c k x f l 8 】首先研究 实四元数代数的七一正则函数，建立了其c a u c h y 积分公式和泰勒展式1 9 7 7 年，r d e l a n 曲e 等【1 9 研究了定义于舻+ 1 取值于c ( i 厂n ，0 ) 上的七一正则函数，也相应给出了c a u c h y 积 分公式和泰勒展式h b e g e h r 等【2 0 】得出了定义于r “中有界域上取值于泛c l i 胁r d 代数 c ( k ，竹) 的r 次连续可微函数的高阶c a u c h y p o m p e i u 公式和尼一正则函数的c a u c h y 积分 公式七一正则函数是正则函数的一种自然形式的推广，因此研究尼一正则函数有一定的 理论和应用价值 本文第一章中给出了预备知识和一些重要引理 第二章讨论了七一正则函数的一些简单的性质 第三章中首先讨论了定义于r n 中的有界域上取值于c l i 仟o r d 代数c ( k o ) 的r 次连 续可微函数的c a u c h y - p o m p e i u 公式根据c a u c h y p o m p e i u 公式和斯托克斯引理就可得到 非常重要的七一正则函数的高阶c a u c h y 积分公式有了七一正则函数的高阶c a u c h y 积分 公式，在应用我们引理中那几个重要的不等式，就可以相应得出球外一点的高阶c a u c h y 积分公式，平均值定理，c a u c h y 不等式等并在此基础上，应用【3 中球坐标变换的方法， 讨论了定义于毋中的有界域上取值于c 1 i 怕r d 代数c ( k ，o ) 的r 次连续可微函数的高阶 c a u c h y 型积分的c a u c h y 主值，p l e m e l j 公式及边值的h 6 l d e r 连续性，然后给出了高阶 c a u c h y 型积分的蹦v a l o v 定理 但在许多实际的情况下，问题都是在无界域上给出的因此讨论无界域上的c a u c h y p o m p e i u 公式，高阶c a u c h y 积分公式，及高阶c a u c h y 型积分的c a u c h y 主值，p 1 e m e l j 公 式等有着重要的意义本文借助了1 7 _ 8 】关于正则函数在无界域上处理的思想，并仿照【2 0 的结论，应用 3 j 中球坐标变换的方法，在第四章中给出了定义于r 咒中无界域上取值于 c 1 i 筋r d 代数c ( o ) 的r 次连续可微函数的一些重要结论 1 1 预备知识 1 预备知识和一些重要引理 1 1 1 c u 仃o r d 代数c ( ，o ) 设e ，e 2 ，e n 是n ( 2 ) 维实线性空间k ，o 的一组基c ( k ，o ) 为2 n 维实线性空间， 它的基为 e a l 4 = ( 九1 ，危2 ，九r ) 尸，1 1 九2 r n ) ， 其中= 1 ，2 ，礼) ，p 表示所有 1 ，2 ，死) 的子集按自然顺序排列的集合a = 0 时，e a = e o 任意元素o c ( ，o ) 能表示成o = n a e a ，o a ( 兄) 为实数且有 e ；= 一1 ，i = 1 ，2 ，佗， e i 勺= 一勺e i ，1 i 歹佗， e l e | h 2 e r = e | 1 1 2 b ，1s 九l 竹仃 砑= 一e i ，i = 1 ，2 ，礼， a p = 万a ，a c ( k ，o ) ，p c ( k ，o ) c ( k o ) 中的范数为= 厕= ( 荨a 身) 5 ，当z 舻时，蚓2 ：一z 2 1 1 2 微分算子 设 c ( 7 ( q ，c ( k ，o ) ) = 篡，! 三篙竺剐) 厶( z ) c 7 ( q ，兄) ，z q i 且c ( r ) ( q ，c ( k ，o ) ) 的d i r a c 算子定义为 。，= 喜e i 差= 喜车印a 篆， ，。= 喜差e t = 喜莓e 鹏篆 则有d 2 m = ( 一1 ) m 嚣，n 为欧氏空间帮的l 印l a c e 算子且 2 n 孑= t l ，i m = 1 a 2 m i 厂 8 z 毛 艿z ； ( 1 1 ) ( 1 2 ) 定义1设qc 钟为非空开子集，c ( 1 ) ( q ，c ( o ) ) ：若对任意的z 满足 d 厂( z ) = 0 ( 厂( z ) d = 0 ) ，称，为q 上的左正则函数( 右正则函数) ，通常简称左正贝函 数为正则函数 定义2 设qc 舻为非空开子集，厂c ( ) ( q ，c ( k ，o ) ) ，( r 七。七 佗) 若对任意 的z q ，满足d 七，( z ) = o ( ，( z ) d 七= o ) ，称，为q 上的左七一正则函数( 右七正则函 数) ，通常简称左七一正则函数为七一正则函数 可见当孟= 1 时，七一正则函数为正则函数用研( q ) ( 磷( q ) ) 表示q 上足正则函 数( 右七一正则函数) 的全体，则当尼1 七2 时，有研1 ( q ) c 研2 ( q ) ( 研( q ) c 研：( q ) ) 另外这种包含确实是真包含，例如厂 ) 为正则函数，由定义知z ，( z ) 不是正则函数，但 z ，( z ) 是2 一正则函数并且对任意的自然数七，研( q ) 非空，本文以后所引进的高阶核函 数可作为例子 定义3 若厂( z ) 满足 厂( 名1 ) 一厂( z 2 ) l m l z l 一勿l q ，( o q 1 ) ， 对任意的名。，勿撕2 成立，其中m 为常数，与z l ，2 2 的位置无关称函数。厂( z ) ：a q _ c ( 1 1 名，o ) 在魂上是h 况d e r 连续的，用表示a q 上指标为q 的h 6 1 d e r 连续函数集合 1 1 3 高阶核函数 啦) = 叁品，歹 扎， 铲 哥茹 z 2 i 剥n ( 2 r 一船) r = 1 ，歹= 2 i ，歹 几，i = 1 ，2 ， ，歹= 2 i + 1 ，歹 n ，i = 0 ，1 ， ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中z 珊= r n 。) ，甜n = 最孝为r n 中单位球的表面积，称( 1 3 ) 所定义的函数 蟛( z ) 为高阶核函数并可得到 3 酬= 去赤一瑶， 磁+ 。( z ) = 麦磁( z ) 虿，z 珊，i 二1 ，2 i + 1 n ， 魄( z ) =( 2 i 一仡)上吃一1 ( z ) 虿，z 月君，i = 1 ，2 ，2 i 礼 d 月：( z ) = 月j ( z ) d = o ，z 月孑， d 哆+ 1 ( z ) = 月知1 ( z ) d = 三哆( z ) ，z 月器，1 j 礼一1 显然高阶核函数域( z ) 为七一正则函数 1 1 4 微元 记 d 磊= 如1 八八如t 一1 八出i + 1 如n ，i = 1 ，2 ，n ， d 盯= ( 一1 ) 仁1 e l 峨， ( 1 5 ) ( 1 6 ) 啦为单位外法向量力的第i 个分量，则有如= 育d s d s 为面积微元，如几为体积微元， 其中如n = 如1 八八如n 1 2 一些重要引理 引理1 【1 】设m 为一个钆维可微紧致定向的流形，包含在非空开集qc 彤中， c ( r ( q ，g ( k ，o ) ) ，夕c ( 7 ) ( q ，c ( k ，o ) ) ，r l ，且a m 是由m 定向所决定的，那么有 厂( z ) d 9 ( z ) = ， ( ，( z ) d ) 夕( z ) + ，( z ) ( d 夕( z ) ) 】d 矿 j8 mjm 引理2 歹= 0 ，1 ，克一1 ，对任意的自然数p ，有 a 砍，a 魂， z z ) j + 1 z z i n 坞( 礼) z z i n + p 一0 + 1 ) 其中后1 ，k = 1 ，2 ，佗，鸠( n ) 是与p ，佗，歹有关的常数 证明：当p = 1 时 4 孓 + l z i 扎+ 亿写掣i z z l ”t ( 1 7 ) 他 龟 曲 = 才 n 甜 哗 ，铷 i | 譬 一 l a 一 一a 所以 假设p 时结论成立，即有 所以 如1 歹十1 z z i n j a z k + 扎 z z l 他一， ( 霹 1 下面证p + 1 时结论成立：当歹为偶数的时候 一 p 7 陋 。 扎 ， 、当 糊。，l 1jm p。l p p 扛一kp k p 一陋p k p 一陟 一k p k 型砷扛一kl 一陋 江一k 弓i 理6 2 2 1 ( 1 ) 若妒月矗，o p q 1 ，贝0 妒月磊；( 2 ) 若 ( z ) ，2 ( z ) 丑孙， 贝0 ( z ) 士厶( z ) 上；( 3 ) 设，( z ) =厶( z ) e a ， a 若厶( z ) 满足 ( z ) 则厂( z ) 碥，0 q 1 ；特别地，若，c ( 7 ( a q ，c ( k ，o ) ) ，则厂( z ) ，o q 1 ，r 1 引理7 2 3 】 q ，a q 如上所述，冁，0 q o ，使得i z z l m i z 一劲l ，l z 一劲i 尬i z z l ，则存在m ，使得 1 0 证明： ( z z ) 歹+ 1 z z i n ( z 一力j + 1 z z i n ( z z ) j + 1 z z i n ( z 一劲) j + 1 l z 一徇l n 一铂) j + 1 i z 一劲i 佗 ( z 一徇) 升1 i z z 卜+ 鲁掣 l z 一名o f z z o i n j 。 ( z 一劲) 升1 i z z o 卜 ! 兰二兰旦凼兰二兰坚! 兰二兰上二：! 兰二垫! ：! 兰二塑! 翌 一 l z z i n ( 1 1 0 ) ，0 0 p 圣 圣 一- + 00 0 ， ，1 2 1 2 一 l l | i 、，、l， 缅 劲 ，il，il + 一 圣 垂 ，j、_， i 三二剑三二型掣坚丝型堕生塑 一 l z z o l 竹 +2 一劲忪一绚l 。坶( 1 + 尬+ 聊+ + 聊- 1 ) z z o 卜 兰器蚜【( 1 + 尬+ 聊+ + 埘) + ( 1 + m + 聊+ + 孵一1 ) i z z o l z z o | 礼一j 其中m = 坶( 1 + 尬+ 孵+ + 聊+ 1 + 尬+ 懈+ + 蛑一1 ) 口 引理1 0 设z ，z ，z o 舻，z ，z o 为舻中的固定点，且满足2 1 名l 22 i 知l ， 赡3 ，则有 ( z z ) j + 1 l z z 卜 ( z 一缅) j + 1 l z 一名。卜蚓n ) 制， j = 0 ，1 ，2 ，七一1 ，七 扎，勺( 佗) 为关于歹，礼的常数 证明：当歹= 0 时， 由引理4 及上述两个式子得 ( z 一名) z z l n ( z 一名o ) z z o