（运筹学与控制论专业论文）凸体及星体的不等式与极值问题.pdf

摘要 本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况，本博士论文 以研究一般凸体、星体以及单形和超平行体等特殊类凸体的度量不等式和极值问题 为主要内容，研究工作分为两个方面 一方面是利用几何分析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究一般凸体 和星体的度量不等式和极值问题，由第二章和第三章构成。由于p e t t y - s c h n e i d e r 问 题是凸体几何中一个热点问题，第二章首先推广p e t t y s c h n e i d e r 问题到一般的均质 积分情形；b a l l 在研究p e t t y - s c h n e i d e r 问题时讨论了球和立方体的截面性质，受 b a l l 思想的启发，我们给出了球的截面的两个新的度量不等式；关于凸体的b r u n n m i n k o w s k i 不等式是凸体理论的精髓，混合投影体的b r u n n m i n k o w s k i 不等式也由 l u t w a k 所证明，我们则证明了投影体的极体的b r u n n m i n k o w s k i 型不等式。星体的 对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论是上世纪7 0 年代产生的新兴研究领域，第三章我们建立 了星体对偶均质积分的两个新型不等式，它们形式上类似于正实数的初等对称函数 的m a r c u s l o p e s 不等式和b e r g s t r o m 不等式，也类似于行列式的f a nk y 不等式。此 外，我们还证明了星体的对偶混合均质积分和对偶混合p 一均质积分的相关性质。 另一方面的工作是利用外微分和代数的方法研究一些特殊类的凸体( 如单形、 超平行体等) 的度量不等式和极值性质，这方面的研究工作由第四章、第五章和第 六章构成。凸体的混合体积为几何中的各类度量提供了统一的处理模式，它是有限 个凸体的连续函数，本文第四章引入凸体混合体积的离散形式：两个有限向量集的 混合体积的概念，同时利用外微分为工具证明了向量集的混合体积与由两向量集分 别张成的平行体体积之间的一个强有力的不等式；c a y l e y - m e n g e r 行列式是解决有 限点集不等式和嵌入问题的极好工具，我们则定义了两个点集的混合c a y l e y m e n g e r 行列式，获得了混合c a y l e y m e n g e r 行列式与向量集的混合体积以及两个单形体积 乘积之间的关系，这个关系式容量大，包含了不少的经典度量关系和近期被发现的 新结果；我们还引入两个单形的混合距离矩阵的概念，证明了它的行列式与两单形 的外径的等量关系在第四章最后，利用我们获得的主要结论简洁地证明了如单形 的正弦定理和平行体的h a d a x a a r d 不等式的逆形式等一些著名的结论。第五章的任 务是利用一个分析不等式和杨路一张景中质点组不等式和权变换的方法把关于两 个三角形的k l a x n k i n 不等式推广到高维空间，同时建立系列的涉及单形的体积、 各面面积、任意点到单形的各顶点距离的新的不等式第六章我们利用外微分的方 儿 法，首次给出了n 维单形中面的解析表达式，并且证明了单形中面类似于三角形中 线的性质，如对于一个给定的单形，存在另一个单形使得它的棱长分别等于给定单 形的中面面积的值，一个单形的所有中面有且仅有一个公共点等进一步，利用中 面的表达式建立了一系列涉及单形的棱长、各面面积、外径、中线长等的新的不等 式。 关键词：凸体，星体，极值，不等式，混合体积，对偶混合体积，均质积分，b r u n n - m i n k o w s k i 理论，单形。 a b s t r a c t i i i t h e d e v e l o p m e n ts u r v e ya n dm a i nr e s e a r c hd i r e c t i o n so fc o n v e xg e o m e t r ya 2 f ep r o 。 s e n t e di nt h ep r e f a c e t h i sp h d d i s s e r t a t i o nr e s e a r c ht h ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u m p r o p e r t i e sf o rc o n v e xb o d i e s ，s t a rb o d i e sa n d8 0 m es p e c i f i cc o n v e xb o d i e ss u c ha ss i m p l i - c i e sa n dp a r a l l e l o t o p e s t h er e s e a x c hw o r k so ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s t a s p e c t ，s o m ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e s a r ee s t a b l i s h e db y a p p l y i n g t h e a s y m p t o t i ct h e o r y , l o c a lt h e o r y a n d i n t e g r a lt r a n s f o r m s t h ep e t t y - s c h n e i d e r p r o b l e mh a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no ft h o s ew o r k i n gi n c o n v e xg e o m e t r y c h a p t e r2 e x t e n dp e t t y s c h n e i d e rt h e o r e mf o rp r o j e c t i o nb o d i e s ( z o n o i d s ) t oq u e r m a s s i n t e g r a l s t w o i n e q u a l i t i e sf o rs e c t i o n so f c e n t e r e db o d i e sa r eg i v e n ，w h i c ha r em o t i v a t e db yt h es o - c a l l e d h y p e r p l a n ec o n j e c t u r ef o rc o n v e xb o d i e s t h ec l a s s i c a lb r u n n - m i n k o w s k i si n e q u a l i t yi s t h eh e a r to fc o n v e xb o d i e st h e o r y t h eb r u n n - m i n k o w s k i si n e q u a l i t yf o rm i x e dp r o j e c t i o n b o d i e sw a so b t a i n e db yl u t w a k ，w ef i n dt h eb r u n n m i n k o w s k i si n e q u a l i t yf o rt h ep o l a r o fm i x e dp r o j e c t i o nb o d i e s t h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k it h e o r ye a r n si t sp l a c ea s a l l e s s e n t i a lt o o li ng e o m e t r i ct o m o g r a p h y i nc h a p t e r3 ，t h ei n e q u a l i t i e sa b o u tt h ed u a l q u e r m a s s i n t e g r a l so fs t a rb o d i e si nr ”a r ee s t a b l i s h e d ，w h i c ha r ea n a l o g u en o to n l yt o m a r c u s l o p e s si n e q u a l i t ya n db e r g s t r o m si n e q u a l i t yf o re l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n s o fp o s i t i v er e a l s ，b u ta l s ot of a nk y si n e q u a l i t yf o rd e t e r m i n a n t o nt h eo t h e rh a n d ，t h e d u a lm i x e dq u e r m a s s i n t e g r a l sa n dt h ed u a lm i x e dp q u e r m a s s i n t e g r a l sa r ei n t r o d u c e d w e g e n e r a l i z et h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y t h eo t h e rp a r to ft h er e s e a r c hw o r ki sp r e s e n t e di nc h a p t e r4 7c h a p t e r5a n dc h a p t e r 6 w ef i n dt h ei n e q u a l i t i e sa n de x t r e m u mp r o p e r t i e sf o rs p e c i f i cc o n v e xb o d i e ss u c ha s s i m p l i c i e sa n dp a r a l l e l o t o p e sb ye m p o y i n g t h ee x t e r i o rd i f f e r e n t i a lm e t h o d sa n da l g e b r a i c m e a n s t h et h e o r yo fm i x e dv o l u m e sp r o v i d e sau n i f i e dt r e a t m e n to fv a r i o u si m p o r t a n t m e t r i cq u a n t i t i e si ng e o m e t r y , s u c ha sv o l u m e s u r f a c ea r e aa n dm e a n w i d t h c h a p t e r4 i n t r o d u c et h ec o n c e p to ft h em i x e dv o l u m eo ft w of i n i t ev e c t o rs e t si nr “：w h i c hc a nb e r e g a r da st h ed i s c r e t ef o r mo fm i x e dv o l u m eo ft w oc o n v e xb o d i e s a nn e wa n dp o w e r f u l i n e q u a l i t ya s s o c i a t i n gw i t ht h em i x e dv o l u m eo ft w of i n i t ev e c t o rs e t si so b t a i n e d t h e c a y l e y m e n g e rd e t e r m i n a n th a sp r o v e de x t r a o r d i n a r i l yu s e f u lt o o li nd e a l i n gw i t hs o m e i n e q u a l i t i e sf o rf i n i t ep o i n t ss e t s w ei n t r o d u c et h em i x e dc a y l e y - m e n g e rd e t e r m i n a n t i v a n do b t a i nt h ef o r m u l af o rv o l u m ep r o d u c to ft w o s i m p l i c e sw h i c h c o n t a i n sal o to fp a p e r s o nt h e p r o p e r t i e so f a p a i ro ft r i a n g l e s ( s i m p l i c e s ) m e a n w h i l e ，t h er e l a t i o nc o n c e r n i n gt h e d e t e r m i n a n to fm i x e dd i s t a n c em a t r i xa n dt h ec i r c u m - r a d i u so ft w on - s i m p l i c e si sg i v e n b e s i d e s ，e m p l o y i n gn e wa n ds i m p l em e t h o d s ，s o m ew e l l - k n o w nr e s u l t so fs i m p l i c e sa n d h a d a m a r d i n e q u a l i t ya r er e p r o v e d i nc h a p t e r5 ，b ya p p l y i n ga na n a l y t i ci n e q u a l i t ya n d t h em o m e n to fi n e r t i ai n e q u a h t yi n 彤w eg e n e r a l i z et h ek l a m k i n si n e q u a l i t yt os e v e r a l d i m e n s i o n sa n de s t a b l i s hs o m ei n e q u a l i t i e sf o rt h ev o l u m e ，f a c e ta r e a sa n dd i s t a n c e sb e - t w e e n a n yp o i n to f r “a n dv e r t i c e so fa n n - - s i r e p l e x t oo b t a i nt h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n f o r t h em i d - f a c e ta r e ao fan - d i m e n s i o n a ls i m p l e x ，t h ee x t e r i o rd i f f e r e n t i a lm e t h o di sa p p l i e d i nc h a p t e r6 f u r t h e r m o r e ，s o m ep r o p e r t i e so ft h em i d f a c e t so fas i m p l e x a n a l o g o u st o m e d i a nl i n e so fat r i a n g l e ( s u c ha sf o ra l lm i d - f a c e t so fas i m p l e x ，t h e r ee x i s t sa n o t h e r s i m p l e xs u c ht h a ti t se d g e - l e n g t h se q u a lt ot h e s em i d - f a c e t sa r e ar e s p e c t i v e l y ，a n da l lo f t h em i d - f a c e t so fa s i m p l e x h a v eac o m m o n p o i n t ) a r ec o n f i r m e d i nt h ee n d ，b yu s i n gt h e a n a l y t i ce x p r e s s i o n ，an u m b e ro fi n e q u a l i t i e sw h i c hc o r n b i n ee d g e - l e n g t h s ，c i r c u m - r a d i u s a n dm e d i a nl i n ew i t ht h em i d f a c e ta r e af o ras i m p l e xa r ee s t a b l i s h e d k e y w o r d s ：c o n v e x b o d i e s ，s t a rb o d i e s ，e x t r e m u m ，i n e q u a l i t i e s ，m i x e dv o l u m e s ， d u a lm i x e dv o l u m e s ，q u e r m a s s i n t e g r a l s ，b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y , s i m p l i c i e s 上海大学 。y6 7 8 2 0 1 本文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学博士 学位论文质量要求 答辩委员会签名 主任：。挈振茗两等与、，节定久芬玖 印。苫f 乏缎巷爻 委员：萌也扔心( 扎卅咤争舛扛乏，轻摇1 豁乃参 尘治乔孚膨梭 彩归秀爿妣芬缝 蓟勿哪 加如若径 导师：冷岗松教授 答辩日期：2 0 0 4 年月日 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名壶。、苏日 本论文使用授权说明 期型：! ：堡 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 汉保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盔兰：垫导师签名：日期： o 口4 - 卑| b 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学凸体几何可分 为组合理论和度量理论，组合理论 5 1 】主要研究几何体( 如多胞形) 的组合关系， 讨论它们的面数、顶点数，棱数等的数量关系，例如，著名的e u e r 定理：三维凸多 胞形的顶点数矗、棱数，1 和面数，2 存在关系：，o 一 + 丘= 2 度量理论主要研 究几何体的度量性质，如几何体的构形、体积、表面积、宽度、角度投影等，其 中最富有吸引力的是形形色色的应用广泛的等周不等式【7 ，2 7 ，1 0 2 ，1 1 7 】。 凸体几何起源与1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基 者。2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支。2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在许多领域有 着广泛的应用。2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何分 析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使得 一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成为现代 数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖。进入2 0 世纪9 0 年代 后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体。1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目( ah a l f - y e a rp r o g r a m ) ，项目 结束后出版了两本书：”c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ”和”f l a v o r so fg e o m e t r y ”，这两 本书、特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出 这种研究将是近期数学研究的一个十分重要的方面。 凸体几何的度量理论与其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严 密的理论基础有具有广泛的应用前景，下面对凸体几何的度量理论中的一些主要的 研究方向做一个概述。 ( 1 ) b a n a c h 空间的局部理论，它是凸体几何与泛函分析结合的最引人注目 的产物，这被认为是现代国际数学研究的主流方向之一。此研究方向源于2 0 世纪 a d o l f h u r w i t z 的工作，h t a w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论文中运用球面调和分析对3 维工件的凸体证明了类似 2凸体及星体的不等式与极值问题 的不等式，随后，h m i n k o w s k i 球面调和分析的方法证明了3 一维常宽凸体的有趣特 征，由此开辟了运用分析和球面调和研究几何的方法，此方法具有很强的生命力， j e a nb o u r g a i n 和v i t 胡im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸渐近理论的研 究，在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果 9 3 ，9 4 ，他们合作的一篇关于凸体 的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文【15 是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一 论文。p i s i e r 1 0 5 ，l i n d e n s t r a u s s 等在该领域也作出了创见性的贡献 ( 2 ) b r u n n - m i n k o w s k i 理论，它起源于1 8 8 7 年h e r m a n nb r u n n 的论文和h e r m a n n m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e 的著名论著收集了 已经出版的结果，r s c h n e i d e r 的专著 1 1 2 是一部最近出版的极其优秀的参考书 b r u n n m i n k o w s k i 理论是e u c l i d e a n 空间的向量的m i n k o w s k i 线性组合和体积结合的 产物其精髓是混合体积的记号和基本的b r u n n m i n k o w s k i 不等式由于混合体积 记号的灵活性，它满足的一系列不等式被广泛用于解决极值问题，局部意义下的混 合体积可产生混合面积涣度，均值积分、m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度 都是混合体积和混合面积测度的特殊情形，它们与微分几何及积分几何密切相关 e l l i o t tl i e b 建立了一些重要的分析不等式，如运用b r u n n m i n k o w s k i 理论建立了被 广泛引用的b r a s c a m p - l i e b 不等式。d a v i dj o r i s o n 解决了关于容积的m i n k o w s k i 。t y p e 问题b u s e m a r m p e t t y 问题 2 4 是一个极富有挑战性的热点问题，l a r m a n 和r o g e r s 利用概率论巧妙地证明了当忆1 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立 6 4 ；b a l l 利 用立方体和球的截面和体积的关系证明了当n21 0 时，b u s e m a n n p e t t y 问题不成 立 5 ；g i a n n a p o u l o s 【4 5 】和b o u r g a l n 1 4 分别独立她利用适当的圆柱体和球的任 意小的摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当n 7 时b u s e m a n n - p e t t y 问 题的否定回答后来，e l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o nb o d y ) 的概念，发现了 b u s e m a n n p e t t y 问题的解与相交体的关系，为后来彻底解决该问题开创了新的局面 【8 7 j ，进步，p a p a d i m i t r a k i s 9 7 和g a r d n e r s s 也分别独立地利用适当的圆柱体取 代立方体，证明了当n 5 时b u s e m & n n p e t t y 问题不成立；g a r d n e r 对 = 3 时 的b u s e m a n n p e t t y 问题给出了肯定的回答；旅美华人数学家g a o y o n gz h a n g ( 张高 勇) 1 9 9 9 年发表在a n n a l sm a t h 上论文的f 1 3 3 解决了b u s e m a n p e t t y 问题最后遗留 的末解决情形一即n = 4 的情形，最近，a k o l d o b s k y 用调和分析的方法给出了 b u s e m a n p e t t y 问题n = 4 情形的一个简短证明 6 1 这里特别强调b r u n n - m i n k o w s k i 理论中最核心的b r u n n m i n k o w s k i 不等式：设 2 0 d 4 上海大学博士学位论文 3 a 和b 是郧的凸体，则 y ( ( 1 一a ) a 十 b ) 熹( 1 一a ) y ( a ) 去+ a y ( b ) 丢，v a o ，1 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类涉及 体积、表面积、宽度等度量关系难题的漂亮和强有力的工具。上个世纪中叶，当l u s t e r n i k 、h a d w i g e r 等建立b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的推广情形以及讨论它在l e b e s g u e 测度集的等式条件时，它已漫游到了分析的王国，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分 形式常被称为p r e k o p a - l e i n d l e r 不等式一一h s l d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和 l i e b 的巨大努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的 加强形式的特殊情形，a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一 种最强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地令人惊讶地发 现了a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容积不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被用来解决容积的m i n k o w s k i 问题，m i l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s k i 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特 写形式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等 周不等式的离散数学、组合理论和图论联系密切。以b r u n n m i n k o w s k i 不等式为中 心，环抱着一系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式和z h a n g 的仿 射s o b o l e v 等周不等式。b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空 间、g u a s s 空间有着不同的版本 对偶的b r u n n m i n k o w s k i 理论也可归为b r u n n m i n k o w s k i 理论，自1 9 7 5 年著名 数学家l u t w a k 引入星体的对偶混合体积 8 4 】的概念以来，便开创了对偶的b r u n n m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i 、b l a s c h k e 、a l e k s a n d r o v 等开创的经典的凸体 理论有着惊人的相似，其基本想法是“星体”对应“凸体”、“m i n k o w s k i 和”对应 “m i n k o w s k i 径向和”、“混合体积”对应“对偶混合体积”、“支撑函数”对应“径 向函数”、“投影体”对应“截面体”。2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决 了一系列长期未能取得进展的重要课题f 3 9 ，4 0 ，4 l ，6 0 ，6 l ，6 2 ，1 3 0 ，1 3 3 1 。 值得一提的是p r c o o d e y 4 6 ，e l g r i n b e r g 4 7 ，h c r o e m e r 4 8 ，p m c r u b e r 4 9 等也在该领域作出了重要贡献由于国际上众多数学家的重要贡献，惊人的发展仍 在继续。 ( 3 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 是凸体几何与医学c t 及体视 学、几何刺探等的交叉学科，它研究如何从几何对象的低维信息( 如投影信息、截 4 凸体及星体的不等式与教值问题 面信息、x 一射线信息等) 重构该几何对象或者对该对象的性质作出推断在1 9 6 1 年，pc h a m m e r 教授在美国数学会上提出了这样一个问题：平面上的一个凸体 最少能被几张x _ 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一大批数学家积极投入到这个问题的研究，并且获得了确切 的答案 1 2 1 j ：平面上的一个凸体能被4 个方向上的x 一射线完全确定。只要这4 个 方向不是某个仿射正多边形边的方向集的子集当今世界上对几何断层学的研究可 分为两大群体，其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者，他 们获得了一大批令人羡慕的成果，1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这方面的所 有成果，撰写了专著 ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 4 1 】，其二是由于几何断层学有很强 的实际应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw i l l s k y 为代表的应用研 究者，自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层 学在计算机上的应用。此外，几何断层学在医学、体视学、几何刺探等方面都得到 了很好的应用 ( 4 ) 积分几何方法在凸体几何与几何概率研究中的应用，积分几何渊源于几 何概率，由于w ，b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统的工作，在2 0 实际3 0 年代积分几何正式成为独立的数学分支，当然s t a n t a l 6 在积分几何领域中也是无可 争辩的主将积分几何的研究与几何概率问题始终紧密相关，因此，积分几何的方 法在凸体几何与几何概率的研究中具有十分重要的作用，该领域的研究愈来愈受到 国际数学界的重视，欧美等国均有一批高水平的数学家从事该领域的研究2 0 世 纪4 0 年代，陈省身【2 9 】教授和a w e i l 教授将局部紧群上的不变测度的观念纳入积 分几何，从而形成齐性空间理论结构的积分几何，对这门学科的进一步发展作出了 极为卓越的贡献。吴大任是我国最早从事积分几何方面研究的数学家之一，他第一 个对椭圆空间的积分几何作系统的研究，获得了运动基本公式等重要结果，他证明 了关于欧氏平面和空间中的凸体弦幂积分的一系列不等式，并由此导出一些关于几 何概率和几何中值不等式任德麟在积分几何、随机几何和凸体论的研究中取得了 丰硕成果 1 0 6 ，1 0 7 ，积分几何学引论是我国目前唯一积分几何专著，同时被国 际同行广泛引用， ( 5 ) 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的构形问题， 几何体的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是凸体几 何研究的一个充满活力的方向我国著名数学家吴文俊的研究工作涉及到数学的诸 多领域，在多年的研究中取得了丰硕成果，他曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解决了 2 0 0 4 上海大学博圭学位论文 5 复合形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题而举世瞩目，享誉世界。著名数学家杨路 教授及张景中院士不断推出创见，做出了系统的、创造的成就，则因2 0 世纪8 0 年 代在单形不等式与极值问题、初等图形的嵌入问题等方面作出了开创性的工作，独 创的证明不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法，至今仍被国际同行 广泛引用，影响深远 1 2 4 ，1 2 5 ，1 2 6 ，1 2 9 】。宗传明 1 3 6 在凸体几何和离散几何中的 球堆积与密码方面有着突出贡献，得到了国际学术界的重视和高度评价。 1 2 主要工作 本文属于凸体几何的度量理论中的等周极值问题，等周极值问题有着历史的渊 源，长期以来吸引了众多数学家的关注，它在几何凸性领域占据着中心地位，其中 大量的不等式被广泛应用在其它领域，如常微分和偏微分方程 1 、函数分析( 8 2 、 数值几何 5 0 、离散几何 4 9 、随机几何和立体逻辑学【1 2 0 】以及m i n k o w s k i 几何 【2 4 等。本博士论文主要以凸体、星体和特殊凸体如单形、平行体等的不等式与极值 问题为重点研究内容，其主要研究工作分为两个方面。一方面的工作是利用几何分 析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究凸体的度量不等式和极值问题，重点 研究凸体或星体的投影和截面的极值性质，这是近期凸几何分析研究的一个热点， 如p e t t y s c h n e i d e r 问题，研究凸体的投影体以及它的极体的混合体积的不等式；研 究一般星体的对偶均质积分的理论与有相关背景的不等式等。另一方面的工作是利 用外微分和代数的方法研究一些特殊类的凸体( 如单形、超平行体等) 的度量关系 和极值性质，引入了混合体积的离散形式并筒洁地证明了一些著名定理；建立了涉 及两个单形的一系列新的不等式和等量关系；建立了涉及一个单形与任意点之间的 高维k l a m k i n 不等式；利用独特的外微分方法得到了单形的中面的解析表达式等。 本博士论文共分六章，下面分别对各章内容作一简要介绍。 第一章介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章研究著名的p e t t y - s c h n e i d e r 问题的一个均质积分( q u e r m a s s i n t e g r a l ) 版 本，建立关于中心对称凸体的截面的两个新的不等式，并且给出了凸体投影体的极 ( p o l a r ) 的b r u n n - m i i l k o w s k i 不等式。 1 9 6 4 年，s h e p h a r d 【1 1 5 】提出一个问题：假设k ，l 霹加维中心对称凸体，且 对所有引js n 一1 m 维单位球面，有 v ( g l 玩) v ( l l e 。) 6凸体及星体的不等武与极值问题 问：是否有 v ( g ) y ( l ) ?( b ) p e t t y 1 0 3 和s c h n e i d e r 1 1 3 】分别独立地给出了在一般情况下的否定的回答，证 明了当上不是中心对称的凸体时，存在凸体k 使( a ) 成立但不等式( b ) 反向。 s c h n e i d e r 1 1 3 还证明了如下结果t 当是中心对称的有充分光滑的正的曲率 函数的凸体时，如果k 不是投影体，则存在不是投影体的中心对称体三，使( 8 ) 成 立但不等式( b ) 反向 但当是投影体时，回答是肯定的，他们建立了如下定理：假设k 8 ，二“， 且对所有“s ”1 有 v ( kj 日) v ( l i 玩) ， 则 v ( k ) s y ( 三) ， 当且仅当k 与l 在平移的意义下相等时等号成立 本节的主要任务是给出上面定理更一般均质积分的情形，它是著名的p e t t y s c h n e i d e r 定理的推广形式。 设k 1 c “，五“且对所有“一1 及某个0 i n 一1 有 w i ( k e u ) ”t ( 厶j e 。) 则 暇陋) 职( 工) ， 当且仅当k 与l 在平移的意义下相等时等号成立。 本章的第二个工作是受b a l l 在文f 4 】中证明了高维立方体的截面体积的性质的 激励，给出了球的截面体积和均质积分不等式。 设k 睇，则存在一个k 的仿射像 ，使得对任意r ”的i 维子空间f ( o i n ) ，有 k ( 耳n f ) 二拓1 k ( b n ) ， 竹， 。 识f ( 雨嘉厩一i ( 最) 2 0 0 4 上海大学博士学位论文7 本章的第三个工作是建立了两个b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式。 众所周知，对一般凸体冠l 舻有经典的b r u n n m i n k o w s k i 不等式 1 1 2 ： v ( k + 三) 1 “y ( 面) 1 ”+ y ( 三) 1 “， 等号成立当且仅当k 和工是相似的 在1 9 9 3 年，l u t w a k 证明了下面混合投影体的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 8 6 1 ： v ( i i ( k + 工) ) 1 “一1 ) v ( i l k ) 1 加( a - t ) + v ( n l ) t “( n - i j ， 。 等号成立当且仅当k 和l 是相似的 但是对于凸体的极以及混合投影体的极，至今并未证明它们对应的b r u n n - m i n k o w 8 k i 不等式，本文证明了中一5 - 对称凸体的极的一个b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式( 该成果 发表在中国科学2 0 0 4 ，3 4 ( 1 ) ：1 1 8 1 2 8 ) 若k l 娣，则 4 v ( ( k + 五) + ) 1 加v ( g + ) 1 “+ v ( l + ) 1 加， 等号成立当且仅当k = l ， 同时，给出了混合投影体的极的一个b r u n n m i n k o w s k i 型不等式 若k ，l ，k j ，j f n 一1 咒“， ：p 0 ，且c = ( k 2 ，j 0 1 ) ，a 日 4 v ( n + ( a k + i l l ，e ) ) 1 “a v ( h + ( kg ) ) 1 加+ p y ( + ( 三，g ) ) 1 加， 等号成立当且仅当h ( k , c ) = n ( l ，g ) 第三章主要的工作是证明两个关于星体对偶混合均质积分的两个不等式，它们 是对偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式的新的版本它们形式上类似于m a r c u s l o p e s 、 b e r g s t r o m 和k yf a n 关于正实数的初等对称函数和正定对称矩阵的行列式的不等 式。 设。，y 是两个正实数组，e k ( x ) 是第而个初等对称函数，m a r c l l s