（理论物理专业论文）黑洞的拟正则模.pdf

上 海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 摘要 广义相对论从理论上预言了黑洞的存在 但是人们无法直接观测到它们 因此 理论物理学家们建立各种黑洞的模型 并把这些黑洞物理模型放入各种 模拟的环境中 从理论上获得在不同环境中各种黑洞传出的各种各样的信息 这些信息希望在不久的将来通过引力波装置的探测能够得到证实 黑洞的拟正 则模就是近几年发展起来的研究黑洞的一种方法 这种方法主要描述黑洞受到 外界扰动后的后期 黑洞传出的 回音 衰减和振荡的特性 我们通过数值模 拟的方法 对黑洞传出的 回音 的复频率的实部和虚部分别进行计算和分析 得到各种不同的黑洞拟正则模的特性 从而为进一步探讨黑洞物理特性做准备 本篇论文分四部分来介绍黑洞的拟正则模 主要讨论史瓦西黑洞的拟正则 模 介绍了这一领域的起源 发展及应用 本文结构安排如下 第一章 我们介绍了黑洞理论发展过程 黑洞的类型及观测上得到的证据 第二章 我们介绍了史瓦西黑洞的拟正则模的理论起源和其中波函数满足 的边界条件 第三章 我们用两个例子来说明史瓦西黑洞拟正则模的两种数值模拟方法 一 种是利用差分方程来进行数值计算 另一种是应用f r o b e n i u s 多项式来进行数 值计算 第四章 这一部分是我们研究工作的主体部分 我们研究了在 a d s时空中 的史瓦西小黑洞周围的电磁场的拟正则模 我们对这个在 a d s时空中的史瓦西 小黑洞给予一个电磁扰动 显然这个外界扰动的演化满足麦克斯韦方程 然后 经过计算由麦克斯韦方程得到一个只包含径向距离和时间的波动方程 再利用 差分方法对这个波动方程进行数值模拟 得到史瓦西小黑洞的电磁场拟正则模 并对其特性及相应的物理意义进行了深入的分析和研究 上海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 ab s t r a c t t h e g e n e r a l t h e o r y o f r e l a t i v i t y p r e d ic t e d t h e e x i s t e n c e o f b l a c k h o l e s b u t p e o p l e c a n t d e t e c t b l a c k h o l e s d i r e c t l y s o t h e t h e o r e t i c a l p h y s i c i s t s s e t u p v a r i o u s m o d e l s o f b l a c k h o l e s i n d i f f e r e n t e n v i r o n me n t t o a c q u i r e a l l k i n d s o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e b l a c k h o l e s i n t h e o ry h o p i n g t o o b t a i n t h e p r o o f s t h r o u g h g r a v i t a t io n a l w a v e o b s e r v a t io n i n t h e f u t u r e i n t h e l a s t f e w y e a r s q u a s i n o r m a l m o d e s o f b l a c k h o l e s h a v e b e e n s t u d i e d t h e i d e a o f t h e q u a s i n o r m a l m o d e s i s t h a t a ft e r t h e i n i t i a l p u l s e t h e r e i s a q u a s i n o r m a l r i n g i n g o u t s i d e t h e b l a c k h o l e t h e f r e q u e n c i e s a n d d a m p i n g t i m e s o f t h e r i n g a r e e n t i r e l y f i x e d b y t h e s t r u c t u r e o f t h e b a c k g r o u n d s p a c e t i m e a n d t h i s i s b e l i e v e d t o b e a u n i q u e f i n g e r p r i n t i n d i r e c t l y i d e n t i f y i n g t h e e x i s t e n c e o f b l a c k h o l e s b y t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n w e a c q u i r e t h e r e a l a n d t h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f r e q u e n c y o f t h e r i n g i n g t h e n a n a l y z i n g t h e s e d a t a w e g e t d i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e b l a c k h o l e p r e p a r i n g f o r t h e f u r t h e r s t u d y o f b l a c k h o l e s t h e r e a r e f o u r c h a p t e r s i n t h i s p a p e r t o r e p o rt t h e q u a s i n o r m a l m o d e o f b l a c k h o l e s w h e r e t h e q u a s i n o r m a l r i n g i n g o f s c h w a r z s c h i ld b l a c k h o l e s a r e m a i n l y d i s c u s s e d t h e p a p e r i s a r r a n g e d a s f o l l o w i n g i n c h a p t e r o n e w e r e p o r t t h e d e v e l o p m e n t o f b l a c k h o l e t h e o r i e s t h e t y p e s o f b l a c k h o l e s t h e p r o o f s o f t h e e x i s t e n c e o f b l a c k h o l e s t h a t g e t f r o m t h e a s t r o n o m y o b s e r v a t i o n s i n c h a p t e r t w o w e r e p o rt t h e d e v e l o p m e n t o f t h e q u a s i n o r m a l m o d e o f s c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e s a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h i s m o d e t h e w a v e f u n c t i o n m u s t o b e y i n c h a p t e r t h r e e w e i n t r o d u c e t w o m e t h o d s o f n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n a b o u t t h e q u a s i n o r m a l m o d e o f s c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e s w i t h t w o e x a m p l e s o n e i s t h e f in i t e d i f f e r e n c e me t h o d t h e o t h e r i s t h e m e t h o d o f f r o b e n i u s i n c h a p t e r f o u r t h e m a i n p a r t o f o u r w o r k u e s t u d i e d t h e e l e c t r o m a g n e t i c q u a s i n o r m a l r i n g i n g o f t h e s m a l l s c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e i n a d s s p a c e i f g i v i n g t h i s s m a l l b l a c k h o l e a n e l e c t r o m a g n e t i c p u l s e t h e e v o l u t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d a r o u n d t h e b l a c k h o l e o b e y s t h e m a x w e l l e q u a t i o n s t h e n w e g e t a t w o d i m e n s i o n a l w a v e e q u a t i o n b y n u m e r i c a l s i m u l a t io n o f t h e w a v e e q u a t i o n u s i n g t h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d w e g e t t h e e l e c t r o m a g n e t i c q u a s i n o r m a l r in g i n g o f t h e s m a l l s c h w a r d z s c h i l d b l a c k h o l e a n d w e a n a l y z e i n d e t a i l i t s c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g p h y s i c a l m e a n i n g 海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 第一章 黑洞物理学概论 1 1 黑洞物理学发展的简介 黑洞的概念最初由一个英国天文业余爱好者迈克尔 r j mi c h e l l 提出的 他根据牛顿引力 提出这样的推测 一个直径比太阳大五倍 密度与太阳一样 的球体 其逃逸速度可能超过光速 并指出 在双星系中未发现伴星 则很可 能探测到黑洞m 口之后 拉普拉斯作了类似的计算后指出 如恒星的半径 r小 于2 g m c a 是光速 恒星表面所放的光将不能传播到无穷远处 从而远处的 观测者不能看到这颗恒星 在广义相对论里 爱因斯坦提出 处于上述情况中的恒星的外部会有一个 特殊的时空区 在那里光和其它粒子都只能单向的向引力源下落 而不能静止 或向外运动 恒星物质本身只能不断收缩而变成密度为无穷的奇点 这种特殊 的时空区叫作黑洞 1 9 1 6年 史瓦西 k s c h w a r z s c h i l d 求得了黑洞的球对称 2 g a 2 静 态 真 空 解 这 个 解 在 史 瓦 西 半 径气 二 兀 了 处 度 规 出 现 了 奇 性 但 爱 丁 顿 e d d i n g t o n 经过坐标变换发现那样的奇性是在史瓦西坐标中才出现的 换而 言之 只要取适当的坐标 这种奇性就会消失 到了六十年代 对黑洞的研究又一次发展起来 惠勒 wh e e l e r 在 1 9 6 3 年指出 引力坍缩为奇点 是当代基础物理的最大危机 这引起了物理学家 的注意 天体物理新发现相继出现 1 9 6 3年发现类星体 s c h m i d t 1 9 6 8年发 现脉冲星 h e w i s h 等 在理论上 求得了爱因斯坦方程的轴对称解 一 旋转 黑洞解 k e r r 1 9 6 3 2 1 1 9 6 5年求得带电的旋转黑洞解 k e r r n e w m a n i l 这是目前所知道的黑洞的最一般解 此后 从超新星爆发论证形成旋转中子星 p a c i n i 1 9 6 7 g o l d 1 9 6 8 c o c k e 1 9 6 9 1 1 也对黑洞的研究提供了 依据 七十年代 霍金 h a w k i n g 和潘罗斯等人对黑洞量子力学x5 1 及贝肯斯坦 b e k e n s t e i n 等人对黑洞热力学 fi b 方面的贡献 更促进了黑洞物理学的进一步 发展 用各种方法在不同坐标系中对黑洞动力学和黑洞相互作用进行了论证 完全相对论性的黑洞碰撞已经用大规模数值计算来研究了 用微扰理论来分析 黑洞的稳定性和与引力波的相互作用问题 卜 海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟 正则模 1 2 二种有关黑洞的理论 1 2 1 牛顿力学中的黑洞理论 1 7 9 8年 p s 拉扑拉斯写道 若一个发光的 星体 它的密 度与地球密度一 样 它的直径比太阳的直径大二百五十倍 则它由于吸引力的缘故 不允许光 线达到我们 因此 在宇宙中 可能最大的星体 由于这个原因而看不见 实 际上 用牛顿力学公式计算逃逸速度v 时 有 工 m y 2 g入 lm 生 v 旦 m 2 r 其中g为引力常数m为星体的质量 当r 2 ga 2 一 下一 时 逃逸速度 c 按拉普拉斯的说法 进行实际计算 地球密度为p g 5 5 3 x 1 护千克 米 太阳的直径为1 4 x1 0 米 设星体密度与地球密度相同 直径为太阳直径的2 5 0 倍 即半径 r 1 7 5 x 1 0 米 则该星体质量 a l 为 m 二普 一 千 克 2 gm 1 8 1 x 1 0 米 即得 2 g材 r c 按拉普拉斯的说法 进行实际计算 地球密度为p g 5 5 3 x 1 护千克 米 太阳的直径为1 4 x1 0 米 设星体密度与地球密度相同 直径为太阳直径的2 5 0 倍 即半径 r 1 7 5 x 1 0 米 则该星体质量 a l 为 m 二普 一 千 克 2 gm 1 8 1 x 1 0 米 即得 2 g材 r 一 一 一 了 一 由此可知光不能从该星体逃逸出来达到我们这里 我们看不到这个星体 它成 为一个 黑洞 当时虽然没用上 黑洞 这一术语 但己在牛顿力学基础上预 言 着它的存在 1 2 2 广义相对论中的黑洞理论f7 n l 1 9 1 6年 史瓦西求得了 爱因 斯坦方程对于球对称的质量为 a4的星体的精确 解 上海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 时 空 间 隔d s 用 度 规 张 量 s u 0 1 2 3 来 表 示 扩 一 易 d x d x 得到 一 一 2 g m 1c2rr 9 11一 一 2g mc2r 在 一 处 本 性 时 空 起 一 一 2 g mc 2 称 史 瓦 西 半 径 与 拉 普 拉 斯 所 得的结果一样 称为 视界 2 m 时 c o s h 4 m 4 a f s 1 n h 4 m 当r 2 m 则t go 即对于远处观察者而言 粒子达到 2 m出所需的 时间为无穷大 应该指出 这只是巨大的红移所产生的表面上的光学效应 而 不是落向黑洞的粒子发生的真正的物理情况 为了说明这一点 让我们假设这个粒子一边下落一边发射出一定的光线 而这光线由 r值很大的 即远处的观察者所接收 其光谱发生红移的因子是 卜 海师范大学硕 l 研究生学位论文黑洞的拟正则模 1 生 2 ml 一 2 山 上 g oo 一 贬 一 y n v f m ql f t r 一 2 m a7 r u g c r x r h o 为了使这点更清楚 我们改用固有时来讨论 即我们考虑一个与此粒子一 道运动的观察者 他的时间由固有时dz 来测量 1 d r 2 m z i k 一1 d z又r 当 2 m时 生 k 一 dz 对于这个与粒子一道运动的观察者来讲 这是非常重要的一个结果 常数 只经过有限的时间 即达到 2 m处 现在来考虑r 2 区域的史瓦西解对 我们得到相应的度规为 d s d t 2 一 2 n 咖 k p 一 3 一 1 p 一 t d 0 s i n o d o 2 其 中 f 3 2 m 丫 l 2 我们知道上式满足真空r 2 m的区域的爱因斯坦方程 因 为只要对它进行一个坐标变换就能得到史瓦西解 由此可得出以下推论 通过 柯西延拓 它满足 s 2 m的爱因斯坦方程 因为r 二 2 m处并不包含任何时空奇 点 而且在r 二 0以前 这一直是对的 虽然我们知道真空中的史瓦西解能扩展到 2 m的区域 但是由于没有任 何物质 包括光 能逃出 2 的区域 不能得到r 2 m 区域的情况 史瓦西解描述了大量球形塌缩的最终状态 从恒星的坍缩 从广义相对论 的精确解 又有奇点定理 我们承认 时空奇点 实际是时空奇区 是我们目 前的认识所不能否定 不能排除的 那么 这种奇点是在黑洞内 还是裸露在 外的呢 对这个极为重要的问题的回答也无定论 然而 所有适当的理论分析 指出 下面的这种推测是对的 这种推测称为 宇宙监督原理 它指出 没有 卜 海帅范大学硕士研究生学位论文 黑同时 黑洞的度规 在黎曼空间中度规代表引力场 也将作用于物质场 电 磁场 中微子场等 在通常情况下 电磁场或中微子场的强度是一阶无穷小量 而它们的能一 动张量是二阶无穷小量 因此 若只保留一阶小量 则黑洞外物质 场的作用可略去 只剩下引力场 度规 对物质场的作用 此时可把物质场看作 实验粒子场 也就是说 如果史瓦西黑洞的视界外存在物质场 我们只考虑黑 洞的引力场对物质场的作用 而不必考虑物质场对引力场的作用 上述理论我 们把它称为史瓦西黑洞微扰理论 也可称为引力场的半经典量子理论 或称为 弯曲时空量子理论 2 2 史瓦西黑洞的 拟正则模 13 1 从上一节中的史瓦西黑洞的微扰理论中 我们知道黑洞的引力场对它周围 的物质场会产生作用 那么 黑洞的引力场对这些物质场作用过程中的传播和 演化又有哪些特征 除了入射的引力波外 也可设想用各种各样的方法去扰动黑洞 如一个物 体掉入黑洞 黑洞周围的物质的增长等等 或者我们可以考虑一个由球形的恒 星塌缩所形成的黑洞 它的后期可以用史瓦西解来描述 在上述这些情况中 如果这些扰动认为是 小的 那么在史瓦西黑洞的时空背景下 扰动的演化和 传播在原则上可以 用基本解v r rv 的线性组合来表示1 14 1 5 1 其中v r m 是扰 c 海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 第二章 史瓦西黑洞的拟正则模 2 1 史瓦西黑洞的 微扰理论 1 2 1 史瓦西黑洞是一个稳定的球对称黑洞 是黑洞模型中最简单也是最基本的 模型 这种类型的黑洞既不带电荷也不转动 是一种静态的黑洞模型 研究这 种黑洞物理模型 既可以忽略一些不重要的因素以便研究黑洞这一复杂的客体 的一些主要物理特性又可以为研究更复杂的黑洞模型打下基础 进一步接近真 实的黑洞特性 如果史瓦西黑洞的视界外面存在电磁场或中微子 则这些物质场通过它们 的能一 动张量影响黑洞的时空度规 即这些物质场对黑洞周围的引力场产生作 用 同时 黑洞的度规 在黎曼空间中度规代表引力场 也将作用于物质场 电 磁场 中微子场等 在通常情况下 电磁场或中微子场的强度是一阶无穷小量 而它们的能一 动张量是二阶无穷小量 因此 若只保留一阶小量 则黑洞外物质 场的作用可略去 只剩下引力场 度规 对物质场的作用 此时可把物质场看作 实验粒子场 也就是说 如果史瓦西黑洞的视界外存在物质场 我们只考虑黑 洞的引力场对物质场的作用 而不必考虑物质场对引力场的作用 上述理论我 们把它称为史瓦西黑洞微扰理论 也可称为引力场的半经典量子理论 或称为 弯曲时空量子理论 2 2 史瓦西黑洞的 拟正则模 13 1 从上一节中的史瓦西黑洞的微扰理论中 我们知道黑洞的引力场对它周围 的物质场会产生作用 那么 黑洞的引力场对这些物质场作用过程中的传播和 演化又有哪些特征 除了入射的引力波外 也可设想用各种各样的方法去扰动黑洞 如一个物 体掉入黑洞 黑洞周围的物质的增长等等 或者我们可以考虑一个由球形的恒 星塌缩所形成的黑洞 它的后期可以用史瓦西解来描述 在上述这些情况中 如果这些扰动认为是 小的 那么在史瓦西黑洞的时空背景下 扰动的演化和 传播在原则上可以 用基本解v r rv 的线性组合来表示1 14 1 5 1 其中v r m 是扰 卜 海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 动演化和传播方程的解 是场的波函数 对于史瓦西黑洞的拟正则模来说 任 意的初始扰动都会在黑洞外部的时空结构中传播和演化 并且 在演化后期场 波函数的形态与初始脉冲的关系不大 犹如一个静止的弹簧振子 受到一个外 界的扰动后 开始做机械振动 到了振动的后期 振动的周期完全由弹簧振子 的固有属性来决定 即由弹簧的倔强系数和质量决定 而史瓦西黑洞的拟正则 模与弹簧振子的情形相类似 在扰动演化最后期 黑洞辐射出的引力波的频率 体现了波的振荡和衰减 是黑洞本身的特性所决定的 上述讨论构成黑洞的 拟正则模的概念的要素 从黑洞的拟正则模的概念的讨论中 可以得出所谓的拟正则模就是扰动演 化和传播方程的解y r r o 那么这些解在这演化和传播过程中有什么特点和 条件呢 这正是下面一节所要讨论的内容 2 3 拟 正 则 模的 边 界 条 件 13 1 一 7 1 精确的说 作为拟正则模扰动方程的解州 间 这些解具有复频率的 特 征且满足在无穷远处有纯出射波 在黑洞的视界处有纯入射波的合适的边界条 件 接下来的问 题是找到有关扰动方程的 解厂 0 iv 十 r 叫代表纯出 射波 的 波函 数 y r r m 代表纯入射波的 波函数 这些解都满足扰动方程 2 3 1 a 2 w 士 r 口 一十 a t a 2 梦 r co 一二二 卜 2 f r 笋 r c o 2 3 1 其中gr t r r o 写成如下形式 w 士 a 土 w e 一 眺 r 斗 0 0 v t i 峥a cm e e r w i 冲一 2 3 2 v r 是一个独立于 的有效势 有效势值的大小可以 按照量子理论里的标准 原理计算的 同时这些标准原理保证了有效势的可观测性 方程 2 3 2 显然 是求 特征值的问题 并且正是属于这些不同特征值的解定义了史瓦西黑洞的 拟正则模 首先 我们可以看到具有1 111 co 0 的指数式增长的不稳定的拟正则模模式 卜 海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 动演化和传播方程的解 是场的波函数 对于史瓦西黑洞的拟正则模来说 任 意的初始扰动都会在黑洞外部的时空结构中传播和演化 并且 在演化后期场 波函数的形态与初始脉冲的关系不大 犹如一个静止的弹簧振子 受到一个外 界的扰动后 开始做机械振动 到了振动的后期 振动的周期完全由弹簧振子 的固有属性来决定 即由弹簧的倔强系数和质量决定 而史瓦西黑洞的拟正则 模与弹簧振子的情形相类似 在扰动演化最后期 黑洞辐射出的引力波的频率 体现了波的振荡和衰减 是黑洞本身的特性所决定的 上述讨论构成黑洞的 拟正则模的概念的要素 从黑洞的拟正则模的概念的讨论中 可以得出所谓的拟正则模就是扰动演 化和传播方程的解y r r o 那么这些解在这演化和传播过程中有什么特点和 条件呢 这正是下面一节所要讨论的内容 2 3 拟 正 则 模的 边 界 条 件 13 1 一 7 1 精确的说 作为拟正则模扰动方程的解州 间 这些解具有复频率的 特 征且满足在无穷远处有纯出射波 在黑洞的视界处有纯入射波的合适的边界条 件 接下来的问 题是找到有关扰动方程的 解厂 0 iv 十 r 叫代表纯出 射波 的 波函 数 y r r m 代表纯入射波的 波函数 这些解都满足扰动方程 2 3 1 a 2 w 士 r 口 一十 a t a 2 梦 r co 一二二 卜 2 f r 笋 r c o 2 3 1 其中gr t r r o 写成如下形式 w 士 a 土 w e 一 眺 r 斗 0 0 v t i 峥a cm e e r w i 冲一 2 3 2 v r 是一个独立于 的有效势 有效势值的大小可以 按照量子理论里的标准 原理计算的 同时这些标准原理保证了有效势的可观测性 方程 2 3 2 显然 是求 特征值的问题 并且正是属于这些不同特征值的解定义了史瓦西黑洞的 拟正则模 首先 我们可以看到具有1 111 co 0 的指数式增长的不稳定的拟正则模模式 上 海师范大学硕j a 7 f 究生学位论文 黑洞的拟正则模 被能 量 积分 2 3 2 式 排 除 在外 如 果 这样的 模式 存 在 那 么 满足 边界 条 件 2 3 2 式方程的解在 斗士 时 指数式消失 对方程中的 求积分后集中到一点 这将使我们陷入矛盾中 因此 我们仅采用稳定的拟正则模的衰减 但是属于 它们的解在r 士 的处发散一这是在遥远的过去的一个无穷远的扰动的所暗含 的假定条件相对应的事实 接下来 我们看到对于v i r oi 和w i 动来说 特征频率 是相同的 如 果 是 特征频率并且y r r co 的 解是属于 那么根 据关系式可以 从 v r w 得到y r r c 的 解将满足具有下式的边界条件 2 1 1 一 co u u 2 2 1 2 ic m p c t 2 1 2 i c o m 2 3 3 其中m和召 均为常数 然后 式 2 3 3 将满足有关y r r o 的方程 令 w 一 r o 一 2 3 4 妙 r 我们发现我们必须解决的方程是 i to 一 沪 一 v 一 0 2 3 5 并且合适的边界条件是 沪 今 c o 当 分 必 斗 g 当 r 分一 2 3 6 方程 2 3 5 的解 满足方程 2 3 6 的边界条件 仅当 假设为一组离散的数组 一般 不知道这组离散的数组是有限还是无限的 2 4黑洞拟正则模研究的概况 在过去三十几年来 人们对黑洞的周围辐射场非常感兴趣 众所周知 如 果给黑洞一个外界扰动 那么黑洞周围的几何结构就会传出一个 回音 且这 个 回音 的衰减和振荡是由 这个黑洞的 本身决定的 和初始脉冲无关 拟正则 模模型的基本原理 这个信号被认为是判定黑洞是否存在的唯一证据 同时希 上 海师范大学硕j a 7 f 究生学位论文 黑洞的拟正则模 被能 量 积分 2 3 2 式 排 除 在外 如 果 这样的 模式 存 在 那 么 满足 边界 条 件 2 3 2 式方程的解在 斗士 时 指数式消失 对方程中的 求积分后集中到一点 这将使我们陷入矛盾中 因此 我们仅采用稳定的拟正则模的衰减 但是属于 它们的解在r 士 的处发散一这是在遥远的过去的一个无穷远的扰动的所暗含 的假定条件相对应的事实 接下来 我们看到对于v i r oi 和w i 动来说 特征频率 是相同的 如 果 是 特征频率并且y r r co 的 解是属于 那么根 据关系式可以 从 v r w 得到y r r c 的 解将满足具有下式的边界条件 2 1 1 一 co u u 2 2 1 2 ic m p c t 2 1 2 i c o m 2 3 3 其中m和召 均为常数 然后 式 2 3 3 将满足有关y r r o 的方程 令 w 一 r o 一 2 3 4 妙 r 我们发现我们必须解决的方程是 i to 一 沪 一 v 一 0 2 3 5 并且合适的边界条件是 沪 今 c o 当 分 必 斗 g 当 r 分一 2 3 6 方程 2 3 5 的解 满足方程 2 3 6 的边界条件 仅当 假设为一组离散的数组 一般 不知道这组离散的数组是有限还是无限的 2 4黑洞拟正则模研究的概况 在过去三十几年来 人们对黑洞的周围辐射场非常感兴趣 众所周知 如 果给黑洞一个外界扰动 那么黑洞周围的几何结构就会传出一个 回音 且这 个 回音 的衰减和振荡是由 这个黑洞的 本身决定的 和初始脉冲无关 拟正则 模模型的基本原理 这个信号被认为是判定黑洞是否存在的唯一证据 同时希 上 海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 望在不久的将来能够用引力波装置探测到这些信号 在理论方面 理论物理学 家对黑洞的拟正则模模型作了充分的探讨 在近似平坦空间里特别对球形黑洞 的拟正则模作了广泛的研究 p s 2 a 在近似平坦空间里对非球形黑洞的拟正则模 的探讨也正在进行中 2 5 2 7 黑洞处在一个膨胀的宇宙中时 d e s i t t e r 时空 宇宙 常数为正的 的黑 洞的 拟正则 模也正 在被考虑中 2 s 现 在 在a n t i d e s i t t e r 时空 宇 宙常数为负数 的史瓦西黑洞的拟正则模的正引起人们的关注 2 9 7 5 黑洞的 拟正 则模的研究为进一步研究黑洞的物理特性开辟了一条新的途径 上海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 第三章 史瓦西黑洞拟正则模的两种数值模拟方法 黑洞拟正则模的数值模拟方法经常用的两种方法 一种是利用差分方程来 进行计算 我们称它为有限差分法 另一种是应用 f r o b e n i u s 多项式来进行数值 计算 我们称它为f r o b e n i u s 方法 接下来我们就分别用一个具体的例子来说明 这两种计算方法 3 1史瓦西小黑洞周围标量场的拟正则模 3 6 1 3 1 1原理 在 a d s时空中 d 维的史瓦西小黑洞的线元为 d s f r d t 一 f 一 r d r 一 r d q z 3 1 1 其中 一 共 一 二 一3 大一lrl 上式中 r时 a d s时空的半径 r 是黑洞质量 m 有关的物理量 其中 m d 一 2 a e 2 心 一 1 6 而a 2 rr d 1i l i d 一 1 2 1 是d 2 维 单 位 球 的 面积 是黑洞的半径 r 是黑洞的 视界 小黑洞就是指r r 度规为 leseseseseses j onr 0 一 f r 0 r00 f 廿一 一一 户 g 标量场扰动的演化方程满足无质量的k l e i n g o r d o n 方程 口0二 0 3 1 2 其中 口 g v o 是 达朗贝 尔算符 t r a n g l e s r z 0 2 v t r y a n g l e s o 把式 3 1 1 代入式 3 1 2 得 f r 孚 f r 粤 一 r yl or乙 冲 3 1 3 和一韶 上海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 第三章 史瓦西黑洞拟正则模的两种数值模拟方法 黑洞拟正则模的数值模拟方法经常用的两种方法 一种是利用差分方程来 进行计算 我们称它为有限差分法 另一种是应用 f r o b e n i u s 多项式来进行数值 计算 我们称它为f r o b e n i u s 方法 接下来我们就分别用一个具体的例子来说明 这两种计算方法 3 1史瓦西小黑洞周围标量场的拟正则模 3 6 1 3 1 1原理 在 a d s时空中 d 维的史瓦西小黑洞的线元为 d s f r d t 一 f 一 r d r 一 r d q z 3 1 1 其中 一 共 一 二 一3 大一lrl 上式中 r时 a d s时空的半径 r 是黑洞质量 m 有关的物理量 其中 m d 一 2 a e 2 心 一 1 6 而a 2 rr d 1i l i d 一 1 2 1 是d 2 维 单 位 球 的 面积 是黑洞的半径 r 是黑洞的 视界 小黑洞就是指r 0 的扰动 我们能明确的表明有效势一定为正的 在视界处的有效势的值为零 即此时相应的 斗 在 分 处 有效势的 值是一个有限的量 相对应的 也是一个有限的值 这就要求0 1 r 0 在无穷远 处消失 上述边界条件满足这个波动方程 上海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 4 3 数值模拟 4 3 1数值模拟的方法 引入光锥坐标 u t一 r v t十 r r lesl 其中u 和 是积分常数 当 2 g m u 描述光的径向向内的运动 v 描述光的径 向向外的运动 根据上式得 旦 a t 山 a a u a u a 4 3 1 护 郎 护一韶 a r 丽丽 a u a r a l a r a 2 a 加 z 日 u z 把式 4 3 1 代入 4 2 8 得 4 里 v 二 a u a v v r y 4 3 2 考虑到这样一个事实 电磁场扰动的衰变和传播过程对初始条件并不敏感 我们采用在风 v d 点处一个具有 宽 度的高 斯脉冲作为初始脉冲 这个高斯脉冲 的中心在v 处 要求 远离于叼且 u 和 v 处设场为零 另外 我们可以比 较随意的设置 v 的 值 因为它对这个测试场的演化没有什么重大的影响 在本 章中 我们设 v 1 0 刃 r 一 v i u i u u v exoi 一 1 l u v u v v o 0 4 3 3 首先 利用有限差分法从数值上解答方程 4 3 2 0使用泰勒原理 该方程 可分解成 上海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 4 3 数值模拟 4 3 1数值模拟的方法 引入光锥坐标 u t一 r v t十 r r lesl 其中u 和 是积分常数 当 2 g m u 描述光的径向向内的运动 v 描述光的径 向向外的运动 根据上式得 旦 a t 山 a a u a u a 4 3 1 护 郎 护一韶 a r 丽丽 a u a r a l a r a 2 a 加 z 日 u z 把式 4 3 1 代入 4 2 8 得 4 里 v 二 a u a v v r y 4 3 2 考虑到这样一个事实 电磁场扰动的衰变和传播过程对初始条件并不敏感 我们采用在风 v d 点处一个具有 宽 度的高 斯脉冲作为初始脉冲 这个高斯脉冲 的中心在v 处 要求 远离于叼且 u 和 v 处设场为零 另外 我们可以比 较随意的设置 v 的 值 因为它对这个测试场的演化没有什么重大的影响 在本 章中 我们设 v 1 0 刃 r 一 v i u i u u v exoi 一 1 l u v u v v o 0 4 3 3 首先 利用有限差分法从数值上解答方程 4 3 2 0使用泰勒原理 该方程 可分解成 卜 海师范大学硕1 4讲 究生学位论文黑洞的拟正则模 一了 y n v t y 一 w 一 v n v 一u n一u g 4 fv e 竺 iv g o 0 4 x 4 3 4 其中我们定义的点分别为 n u a v a w u a v e u v a 和 就越大 r 的减少而变小 也就意味 这个现象不同于论文 7 6 4 中所 描述的小黑洞周围的标量场的拟正则模的频率的实部的变化 在论文 3 6 中 作 卜 海师范大学硕1 4讲 究生学位论文黑洞的拟正则模 一了 y n v t y 一 w 一 v n v 一u n一u g 4 fv e 竺 iv g o 0 4 x 4 3 4 其中我们定义的点分别为 n u a v a w u a v e u v a 和 就越大 r 的减少而变小 也就意味 这个现象不同于论文 7 6 4 中所 描述的小黑洞周围的标量场的拟正则模的频率的实部的变化 在论文 3 6 中 作 上海师范大学硕士研究生学位论文黑洞的拟正则模 者论证了小黑洞周围的标量场的拟正则模的振动周期对于各种不同视界 是一 个常数 当然 小黑洞周围电磁场的拟正则模的振动周期的变化也不同于大黑 洞周围电磁场的拟正则模振动周期的变化 在论文r 7 1 中提到一些大黑洞周围的 电磁场的拟正则模不会振动 它们只会衰变 因为它们只有纯的虚频 同时 在论文 3 7 1 中还提到质量 m 0的无穷小黑洞的情况 它说此类黑洞的拟正则模 频率的实部不依赖于视界 的大小 显然 这个结论也与我们得到的结论不同 在图 1中 我们展现了不同 视界大小 r 0 2 0 4 0 6 0 8 处电磁场扰动的演化 曲线 同时我们也计算了其它几个视界处的拟正则模的演化曲线 但没有发现 在论文 3 7 1 中所描述的那种情况 从图1 中 我们也能 看出 在不同的视界中 拟正则模的 频率的衰减的速率 它 与 拟正则 模频 率的 虚部 有 关 儿乎 是相同的 这个结果不同 于论文13 6 和论文 3 7 1得 到的结果 在论文 3 6 1 中 它的结论是衰减的速率随着视界的变化而变化 而在 图 1中 我们看对于不同的视界 衰减的速率几乎没有什么差别 即小黑洞周 围的电磁场扰动的衰减对视界大小的依赖没有小黑洞周围的标量场扰动的衰减 对视界大小的依赖性强 根据论文 3 7 1在 a d s时空中的史瓦西大黑洞的拟正则 模频率的虚部的值与视界大小成正比 质量 m 0的无穷小黑洞的复频率的虚 部得值与视界大小的平方成正比 显然 小黑洞周围的电磁场的演化有它自己 的独特的方面 目 前为止 具有最小角参数 l 1 的小黑洞周围的电 磁场的演化已 经讨论过 了 接下来 我们将在图2中展示 在不同的角参数1 的情况下 在a d s时空 中 史瓦西小黑洞周围的电磁场的演化行为 从图 2中 可以看到拟正则模的 振荡周期和衰减周期随着角参数1 变化的情况 上 海师范大学硕 卜 研究生学位论文黑洞的拟正则模 l o g p s i 一 5 叼 二 节 家 二卜 乡叼级到 一 许一 共 丫 一 e v f ig 2 t h e w a v e f u n ct i o n s f o r s m a l l a d s b l a c k h o le s f o r d e ff e r e n t f w i t h 几 二 0 4 一方面 我们从图2中看到振荡周期随着角参数 i 的增加而少量的减小 也就是说 拟正则模的频率的实部 户 增加 这个结果与 论文 3 6 1 中的结论相似 但它不同于论文13 7 1 的第四部分所得出的结果 在这一部分中告诉我们在 m 0 无穷小的黑洞的拟正则模的频率的实部不依赖于角参数l 口当然 它也不同于大 黑洞周围的电 磁场的拟正则模的频率的实部 在论文13 7 1 中 的变化 因为一些大 黑洞周围的电磁场扰动不振荡 它们只有纯的衰减模型 另一方面 衰减周期 增加 随着角参数 i 的增加而变慢 这个结论与论 文 3 6 1 中的结沦相似 但是我们还注意到 如果角参数取足够的大 那么衰减的 变化率几乎是相同的 而这个结果与论文 3 6 1 和论文 3 7 1 的结果都不相同 在图 2 中 和i 的关系不同于 大黑洞周围电 磁场的 和i 的 关系 因为后者的 频率 的虚部的值与视界的大小成正比 通过与论文13 6 1 和论文 3 7 1 的比较 我们得到的大部分结果不同这两篇论文中 的结论是合理的 因为我们得到的有效势和它们的有效势是不一样 4 4 结论 我们研究了在 a d s时空中的史瓦西小黑洞周围的电 磁场的拟正则模 黑洞 越小 振荡地 越快 相 应的 说 当r 增加时 减小 然而 的值几乎是 相同 的 但是当 足够 很小时 减小 的 很快 这个结 论 得到论文 四的 论证 同 上 海师范大学硕 卜 研究生学位论文黑洞的拟正则模 l o g p s i 一 5 叼 二 节 家 二卜 乡叼级到 一 许一 共 丫 一 e v f ig 2 t h e w a v e f u n ct i o n s f o r s m a l l a d s b l a c k h o le s f o r d e ff e r e n t f w i t h 几 二 0 4 一方面 我们从图2中看到振荡周期随着角参数 i 的增加而少量的减小 也就是说 拟正则模的频率的实部 户 增加 这个结果与 论文 3 6 1 中的结论相似 但它不同于论文13 7 1 的第四部分所得出的结果 在这一部分中告诉我们在 m 0 无穷小的黑洞的拟正则模的频率的实部不依赖于角参数l 口当然 它也不同于大 黑洞周围的电 磁场的拟正则模的频率的实部 在论文13 7 1 中 的变化 因为一些大 黑洞周围的电磁场扰动不振荡 它们只有纯的衰减模型 另一方面 衰减周期 增加 随着角参数 i 的增加而变慢 这个结论与论 文 3 6 1 中的结沦相似 但是我们还注意到 如果角参数取足够的大 那么衰减的 变化率几乎是相同的 而这个结果与论文 3 6 1 和论文 3 7 1 的结果都不相同 在图 2 中 和i 的关系不同于 大黑洞周围电 磁场的 和i 的 关系 因为后者的 频率 的虚部的值与视界的大小成正比 通过与论文13 6 1 和论文 3 7 1 的比较 我们得到的大部分结果不同这两篇论文中 的结论是合理的 因为我们得到的有效势和它们的有效势是不一样 4 4 结论 我们研究了在 a d s时空中的史瓦西小黑洞周围的电 磁场的拟正则模 黑洞 越小 振荡地 越快 相 应的 说 当r 增加时 减小 然而 的值几乎是 相同 的 但是当 足够 很小时 减小 的 很快 这个结 论 得到论文 四的 论证 同 上海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 时我们也发现了小黑洞周围的电磁场的扰动的衰减对角参数 1 非常敏感 这个 结果与论文 3 6 和论文 3 7 的结果相同 即 随着 i 的 增加而增加 但是当足够 1 大时 衰减的变化率几乎是相同的 并且小黑洞周围的电 磁场拟正则模中的 随着 1 的增加而增加 这个结论得到了论文 3 7 的支持 所有这些特性都有利于进 一步研究黑洞 上海师范大学硕士研究生学位论文 黑洞的拟正则模 参考文献 1 1 mi c h e l j p h i l o s t r a n s 7 4 1 7 8 3 3 5 5 7 2 1 k e r r r p p h y s r e v l e t t 1 1 1 9 6 3 2 3 7 2 3 8 3 1 n e w m a n e t ma t h p h u s 6 1 9 6 5 9 1 8 9 1 9 4 1 c o c k e w n a t u r e 2 2 1 1 9 6 9 5 2 5 5 2 7 5 1 h a w k i n g s w n a t u r e 2 4 8 1 9 7 4 3 0 3 1 6 1 b e k e n s t e i n j d p h y s r e