平面向量专题.doc

平面向量（一）一 向量的有关概念1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意:不能说向量就是有向线段.2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 表示与共线的单位向量 ；4 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 起点相同、终点相同的向量是相等向量，反之不一定成立； 向量相等具有传递性。5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。理解：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！即：。 三点共线共线；.平面内三点 练习：1,若，则x的值为( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)56相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的等价条件是它们的大小相同相同，方向相反。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_下列命题是否正确，不正确的说明理由。7. 向量的表示方法： (1) 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； (2) 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等； (3) 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底、，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。二 向量的运算运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积（向量）=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积（数量）记则=x1x2+y1y2练习：(1)化简：_ _； ； 。（2）若正方形的边长为1，则_ _;（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为 .补充：填空：设向量与都不是零向量(1)若向量与同向,则与的方向_,且_.(2)若与反向,且,则与的方向_,且_.运算律 (1)加法：(交换律); (结合律) (2)减法：(3)实数与向量的乘积：; ;(4)两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+ 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2= 1. 实数与向量的大小和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。2. 向量的共线向量基本定理 共线向量基本定理：与共线当且仅当存在唯一一个实数，使得。即与共线练习：1. 已知平面向量，平面向量若，则实数 2. 设向量若向量与向量共线，则 3.已知向量若平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D23. 平面向量的数量积（1）定义：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。（2）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。如：1已知，且，则向量在向量上的投影为 。2. 已知，的夹角，则向量在向量上的投影为 3. 在中， 3关于且，有下列几种说法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正确的个数是 （ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个（3）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；练习：1.已知向量，则实数的值为 2已知向量 3已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值4 已知，且的夹角为，若当，同向时，特别地，；当与反向时，；思考：（1）若，则是否为锐角？；（2）若，则是否为钝角？ 如：已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_.非零向量，夹角的计算公式：；。练习1. 求向量夹角的问题(1)平面向量，满足且满足，则的夹角为 ; (2).已知非零向量满足，则的夹角为 ; (3).已知平面向量满足且，则的夹角为 . 练习2. 求向量摸的问题（1）已知零向量 ； （2）已知向量满足 ； （3）已知向量， ； （4）已知向量的最大值为。 （5）.已知向量，设函数 求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如 如：（1）若，则 （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 基底满足的条件：（1）零向量不能作为基底非零； （2）非零的共线向量不能作为基底不共线。练习：1. (A) (B) (C) (D) 2. 已知课后练习1. 以下五个命题：2. 3. 已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 4. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）ABCD5. （2009北京卷文）已知向量，如果那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向 6. (2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.7. （2009全国卷文）设非零向量、满足，则( )A150 B.120 C.60 D.308. 已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.9. 若相异三点P（-2，m），Q(m，4)，R（-3，1-m）在一直线上，则实数m= 1011. 已知 =（4，3），向量是垂直于 的单位向量，则= 。12. 设、是两个不共线的非零向量（）（1）记那么t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若，那么实数x为何值时的值最小？ 13. 线段的定比分点1.定义:设是直线上的两点,点P是上不同于的任意一点,则存在一个实数使,叫做点P分有向线段所成的比.(如图)的符号与分点P的位置之间的关系P在线段上,P为内分点时,;P在线段或的延长线上, P为外分点时,.内分取 “+”, 外分取 “一”.例如：点分所成的比为，则分所成的比为 2. 定比分点坐标公式:设、， 则： 特殊地，得中点坐标公式：练习：1 若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为。3 已知点.求出下列情况下,点P分有向线段所成的比及P点的坐标:(1)点P在上且;(2)点P在的延长线上,且;(3) 点P在的反向延长线上,且;分析：本题主要考查向量定比分点公式的应用.要注意,起点、分点、终点是相对而言的, 起点、分点、终点不同时, 一般是不同的. 4 设的顶点A的坐标为,一组对边AB、CD的中点分别为，求其余顶点坐标.图形的平移平移公式：如果点按向量平移至，则（新=旧+移）例如：1 点 ，按向量平移后的对应点的坐标是，则向量是 （ ） A、 B、 C、 D、2 按向量把平移到，则按向量把点平移到点 。3已知，则线段的中点的坐标是_。4 把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）ABCD5 将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）常见结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；（2） 当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3） 在中，若，则其重心的坐标为。为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；例 设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值. 例 已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k0)，求练习1. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()()=0|-|()()不与垂直(3+2)(32)=9|2- 4|2中，真命题是( ) (A) (B) (C) (D)2. OAB中,=,=,=,若=，tR，则点P在( )(A)AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上3. 正方形对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=( )(A)（） (B)（） (C)（7，4） (D)（）4.已知,则实数x=_ _.5.已知则_ _, ,与的夹角的余弦值是 .6. 已知的三个顶点分别为求的大小. 7. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。8.在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.9.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标是( )(A)（m，n） (B)（am，bn） (C)（a2m，b2n） (D)（2am，2bn）10设，直线AB交轴于C点，则点C分所成的比为（ ） 11.设向量,则将按平移得到的坐标表示为( ) (A)(0,1) (B)(4,-11) (C)(7,-