数学建模案例E空调问题.pdf

数学建模论文 第 1 页2010 5 14 电力节能 空调 问题电力节能 空调 问题 作者 朱小翔作者 朱小翔 3023001176302300117630230011763023001176 李楠李楠 程勇程勇 问题提出问题提出 如今能源问题已经成为世界所面临的一大挑战 我们在寻找新型能源的同时 也应该注 意能源的合理利 以避免不必要的浪费 浙江等省 从 2003 年开始就已经进入了能源 电 力 水力 的危机 转眼又一个酷暑即将来临 我们如何应对电力的不足 我们小组从炎炎 夏日家庭必备的空调出发 先讨论如何合理利用空调 在把该方法引入其他类似的方面领域 问题 当一个人想外出一定时间 0 t 6 hour 时 是关了空调 还是继续让其开着 或者还有其他更好的办法 总之 既能让他一回来就可以享受比外界低温的舒适 又能让在 此期间空调消耗的电能最少 背景知识背景知识 变频空调在每次开始启动时 先以最大功率 最大风量进行制热或制冷 迅速接近所设 定的温度 此后 压缩机便在低转速 低能耗状态下运转 仅以所需的功率维持设定的温度 这样不但温度稳定 还避免了压缩机频繁地开开停停所造成的对寿命的衰减 而且耗电量大 大下降 实现了高效节能 基本假设基本假设 1 房间为长方体 墙壁由同种材料制成 空气均匀分布 2 设室内热量流失是由热传导引起的 没有内外空气对流 3 人都是浪费厌恶型的 4 人在离开时室内温度已经达到空调设定温度 5 空调都为变频空调 考虑空调为制冷模式 基本参数基本参数 房间体积 V传热面积 S墙壁导热率 墙壁厚度 d空气热容 C室外温度T0 空调效率 墙壁导热系数 k S记外出时间为 1 t空调设定温度为TS p 为稳定时功率P 为最大额定功率 过程过程 1 1 1 1 不关机不关机 要保持空调从室内转移热量等于通过墙壁传导进来的热量 k ptT t d i k WptT t d i 有效 则 1 Wk T t W d i i 有效 输入 2 2 2 2 关机关机 QC T 11 dQ C TC T ttT t dt 01 dQk TT t dtd 数学建模论文 第 2 页2010 5 14 1101 k C T ttT tTT tt d i 0 11 0 kTk T tT t CdCd 有初始条件 1 0 S TT 可以解出 0 1 0 ktk t CdCd S kT T teedT Cd 1000 1 ktkk tt CdCdCd SS T teT eTTeTT 代 1 t入 1 T t 可以解出此时房间内温度 11 1 TT t 人回来后开机 恢复设定温度 期间空调一直以最大额定功率工作 2202 k C T ttT tPTT tt d i 0 22 1 0 kTk T tT tP CddC 有初始条件 2 0 1TT 可以解得 0 2 1 1 kk tt CdCd kTd T tep eT kd 200 1 kk tt CdCd dd T tTppeTTe kk 2 T tT S可以解得降温所需时间2 t 从而 2 WPt 有效 2 Pt W 输入 P 为空调最大额定功率 3 3 3 3 不关机不关机 但是改变空调设定温度 回来后再恢复至原来的设定温度但是改变空调设定温度 回来后再恢复至原来的设定温度 第一步 通过内外热传导使室温升至 S T这过程需要时间为 3 t 3303 k C T ttT tTT tt d i 0 33 0 kTk T tT t CdCd 其实这个过程就相当于关机的情况 300 k t Cd S T tTeTT 由 31 S T tT tT 可以解出 3 t 则在人回来之前空调消耗的功率 13 13 S k Wp ttTTtt d i 有效1 13 S Wk WTTtt d i 有效 输入1 数学建模论文 第 3 页2010 5 14 人回来后 空调开始制冷 以最大额定功率 P 工作 这步也与步骤 2 类似 4404 k C T ttT tPTT tt d i 0 44 1 0 kTk T tT tP CddC 有初始条件 4 0 S TT 可以解得 0 4 1 kk tt CdCd S kTd T tep eT kd 400 kk tt CdCd S dd T tTppeTTe kk 再由 4 T tT S可以解得降温所需时间2 t 则在人回来之后到室温降到预设温度空调消耗的功率为 4 WPt 有效2 4 WPt W 有效 输入2 空调消耗总功率 4 1312 S Ptk WWWTTtt d i 输入输入输入 对模型测试分析对模型测试分析 令 k K C 取具体的数据对模型进行测试 求解 1 3 40 24 30 2 0 1 10 0 3 2 1800 0 6 out S S TC TC TC thour Kk dm Pw 以 匹计 三种情况下的消耗功率 1 不关机情况下 14 Wk T Wtt d i i 有效 输入 4 56 kwh 2 关机情况下 1 3 111 1 40 16 t TT tT te 解得131 8TC 数学建模论文 第 4 页2010 5 14 11 66 33 2 403 1018003 10180011 5 tt T tee 由 2 24T tTC S 解得 t2 1 02 hour 2 Pt W 输入 3 06 kwh 3 改变空调设定温度情况下 1 3 3 40 16 t T te 由 3 S T tT 解得 t3 1 41 hour 人回来之前 63 13 101 97 10 10 0 59 3 S Wk WTTttkJ d i 有效 输入1 11 66 33 4 403 1018003 10180010 tt T tee 由 T4 Ts 解得 t4 0 97 hour 4 WPt W 有效 输入2 6 126 1 97 101 8 0 972 29 3 81 3 6 10 WWWkwhkwh 输入输入输入 从以上的三组计算结果可以看出 在 t 2 hour 的情况下 外出时将空调关机 回 来后再将空调打开是最省电的 但是在这种情况下 人回来以后还要忍受 1 个多小时的炎热 这对于很多情况下的人们的心理是不相符的 三种情况下第一种方法费的电最多 也是最浪 费的 第二种方法是最理想的 他的用电量比不关机时少了 20 左右 而且这种情况下人 也能再回来时就感受到与外界明显的温差 获得舒适感 模型的改进与应用模型的改进与应用 在以上的模型中进行了很多简化 要进一步分析该模型 还应该考虑其他因素 1 室外的温度是变化的 而在该模型中假定室外温度是不变的 可以将 T0设成时 间的函数 2 由于外出时间长短有不同 所以该模型只在一定的时间长度范围内适用 时间 比较长时 自然会选择关机 而时间很短时 只有几分钟 又不需要做得如此复杂